4.2.5 第1课时　课后达标检测（教师版）

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1．若正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体的均值为(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．2
解析：选C.因为直线x＝μ为其对称轴，所以μ＝0.故选C.
2．函数f(x)＝e－(其中μ<0)的图象可能为(　　)
INCLUDEPICTURE "../../25HB-14.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-14.tif" \* MERGEFORMATINET
解析：选A.函数f(x)图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ<0，所以排除B，D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C.故选A.
3．若随机变量X的正态曲线上的最高点的坐标是(10，)，则该随机变量的方差为(　　)
A．10 B．100
C． D．
解析：选C.由正态曲线上的最高点为知＝，即σ＝，所以D(X)＝σ2＝.故选C.
4．(多选)若概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是(　　)
A．μ＝1 B．σ2＝π
C．σ＝π D．μ＝－1
解析：选AB.将函数解析式变形为φμ，σ(x)＝·e－，则μ＝1，σ＝，所以σ2＝π.故选AB.
5．(多选)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态曲线，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../25HB-16.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-16.tif" \* MERGEFORMATINET
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中丙品牌的质量最好
解析：选AC.根据正态曲线的性质和题图可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态曲线的对称轴都是y轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确，B错误；由正态曲线的形状，可得σ甲＜σ乙＜σ丙，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙，所以C正确；由σ甲＜σ乙＜σ丙，可得甲种品牌手表日走时误差分布最集中，最稳定，质量最好，所以D错误．故选AC.
6．(2024·北京市西城区期末)若一个随机变量X的均值为μ，标准差为σ，且已知函数f(x)＝e－的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的均值E(X)＝_________________________________________，方差D(X)＝________．
INCLUDEPICTURE "../../25HB-17.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-17.tif" \* MERGEFORMATINET
解析：由题图可知，当x＝5时，f(x)＝e－有最大值为，所以μ＝5，σ＝1，所以X～N(5，1)，所以E(X)＝μ＝5，D(X)＝σ2＝1.
答案：5　1
7．某校对全市的某次高三英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态曲线p(x)＝e－非常拟合．已知p(x)max＝p(95)＝，则方差为___________________________________；
据此估计，在全市随机抽取10名高三同学，设X表示10名同学中英语成绩超过95分的人数，X的均值是________．
解析：由p(x)max＝p(95)＝，可知μ＝95，σ＝8，故方差σ2＝64，由正态曲线的对称性知p(x>95)＝，故X～B(10，)，所以X的均值E(X)＝10×＝5.
答案：64　5
8．已知当σ＝1，μ＝0时，密度函数为P(x)＝e－(x∈R)，则P(x)的最大值为__________________________________．
解析：令t＝－≤0，则f(t)＝et在(－∞，0]上单调递增，所以当t＝0，即x＝0时，P(x)取得最大值.
答案：
9．若一个正态曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态曲线的解析式．
解：由于该正态曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4，故该正态曲线的解析式φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞).
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10．若f(x)＝e－，x∈R，则f(x)(　　)
A．有最大值，也有最小值
B．有最大值，但无最小值
C．无最大值，也无最小值
D．有最小值，但无最大值
解析：选B.当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝＝，无最小值．故选B.
11．(2024·辽宁辽阳月考)把一正态曲线C1沿着x轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是(　　)
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2
D．以曲线C2为正态曲线的总体的均值比以曲线C1为正态曲线的总体的均值大2
解析：选C.曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没有改变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标不变，从而σ不变，所以方差不变．但图象平移后对称轴变了，即μ变了，均值比原来的均值大2.故选C.
12．设随机变量X的概率密度函数是f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，则E(2X＋1)的值是(　　)
A．5 B．9
C．3 D．2
解析：选C.由f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)知μ＝E(X)＝1，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3.故选C.
13．若正态曲线对应的函数为φμ，σ(x)＝·e－，分别写出正态曲线与x轴在下列区间内所围面积：
(1)[μ－σ，μ]；(2)[μ－2σ，μ].
解：(1)根据对称性，正态曲线与x轴在区间[μ，μ＋σ]内所围面积与在区间[μ－σ，μ]内所围面积相等，约为0.341 3.
(2) 根据对称性，正态曲线与x轴在区间[μ－2σ，μ]内所围面积与在区间[μ，μ＋2σ]内所围面积相等，约为0.341 3＋0.135 9＝0.477 2.
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14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)的正态曲线如图所示，且样本方差为4.
INCLUDEPICTURE "../../25HB-20.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-20.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)求该正态曲线与x轴在区间[58.5，62.5]内所围面积(保留3位有效数字)；
(2)若体重大于58.5 kg小于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为多少？
解：(1)依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故该正态曲线与x轴在区间[58.5，62.5]内所围面积是在区间[60.5，62.5]内所围面积的2倍，约为0.341 3×2≈0.683.
(2)属于正常情况的人数约为1 000×0.683＝683.