4.2.5 第2课时 课后达标检测（教师版）
文档属性
| 名称 | 4.2.5 第2课时 课后达标检测（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 319.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
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1．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X<4)＝0.9，则P(0A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.9
解析：选B.随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X<4)＝0.9，则P(X≥4)＝0.1，P(02．已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，若X落在区间(－2，－1)和(1，2)内的概率分别为p1，p2，则( )
A．p1＞p2 B．p1＜p2
C．p1＝p2 D．p1≤p2
解析：选C.易知标准正态分布N(0，1)对应的正态曲线关于直线x＝0对称，因此p1＝p2.故选C.
3．设随机变量X～N(0，1)，已知Φ(－2.8)＝0.037，则P(|X|>2.8)＝( )
A．0.037 B．0.074
C．0.926 D．0.975
解析：选B.P(|X|>2.8)＝P(X<－2.8)＋P(X>2.8)＝Φ(－2.8)＋1－Φ(2.8)＝Φ(－2.8)＋Φ(－2.8)＝2×0.037＝0.074.故选B.
4．(2024·山东济南阶段练习)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其概率密度函数为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是( )
A．该地水稻的平均株高为10 cm
B．该地水稻株高的方差为10 cm
C．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
D．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比在70 cm以下的概率大
解析：选D.对于A，B，由f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)得μ＝100，σ＝10，所以该地水稻的平均株高为μ＝100 cm，所以A错误；该地水稻株高的方差为σ2＝100，所以B错误；对于C，根据正态曲线的对称性可知，P(100＜x＜110)＝P(90＜x＜100)＞P(80＜x＜90)，所以株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率不一样大，所以C错误；对于D，P(x＞120)＝P(x＜80)＞P(x＜70)，所以株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大，所以D正确．故选D.
5．(多选)(2024·辽宁葫芦岛期末)某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5，0.25)，则下列结论正确的是( )
A．该正态分布的均值为3.5
B．P(X＞3.5)＝
C．P(4＜X≤4.5)≥
D．P(X＞4.5)＝P(X≤3)
解析：选AB.因为X～N(3.5，0.25)，对于A，该正态分布的均值为μ＝3.5，A正确；对于B，P(X＞3.5)＝，B正确；对于C，P(4＜X≤4.5)＜P(X＞3.5)＝，C错误；对于D，由正态曲线的对称性可知，P(X≤3)＝P(X≥4)＞P(X＞4.5)，D错误．故选AB.
6．(多选)设随机变量X服从正态分布N(0，1)，则下列结论中正确的是( )
A．P(|X|＜a)＝P(|X|＜a)＋P(|X|＝a)(a＞0)
B．P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0)
C．P(|X|＜a)＝1－2P(X＜a)(a＞0)
D．P(|X|＜a)＝1－P(|X|＞a)(a＞0)
解析：选ABD.服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以P(|X|＝a)＝0，A正确；X～N(0，1)，μ＝0，所以正态曲线关于直线x＝0对称，因为a>0，所以P(|X|＜a)＋2P(X＞a)＝1.又P(X＞a)＋P(X＜a)＝1，所以P(|X|＜a)＋2[1－P(X＜a)]＝1，即P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0)，B正确，C错误；P(|X|＜a)＋P(|X|＞a)＝1(a＞0)，D正确．
7．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式．若小明选择自驾，则从家到公司所用的时间(单位：min)服从正态分布N1(38，25)；若小明选择地铁，则从家到公司所用的时间(单位：min)服从正态分布N2(45，9)；若小明选择公交，则从家到公司所用的时间(单位：min)服从正态分布N3(36，16).若小明上午8：12从家出发，则选择________上班迟到的可能性最小．(填“自驾”“公交”或“地铁”)
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
解析：由题意可知从家到公司所用的时间不超过48 min，小明就不会迟到．若选择自驾，则P(X>48)＝P(X>μ＋2σ)≈；若选择地铁，则P(X>48)＝P(X>μ＋σ)≈；若选择公交，则P(X>48)＝P(X>μ＋3σ)≈，而>>，故选择公交上班迟到的可能性最小．
答案：公交
8．某工厂生产一批零件(单位：cm)，其尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X≤20)＝0.2，P(X＜26)＝0.8，则μ＝________．
解析：因为X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X≤20)＝0.2，P(X＜26)＝0.8，则P(X≥26)＝1－P(X＜26)＝1－0.8＝0.2＝P(X≤20)，所以μ＝＝23.
答案：23
9．已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(μ，σ2)，其概率密度函数φμ，σ(x)＝·e－的曲线如图所示，则σ＝________；从中随机取一件，其长度误差落在[－6，－3)内的概率约为________．(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈99.7%)
解析：由题意得σ＝3，又由题图可知μ＝0，则长度[－6，－3)内的概率为P(－6≤X<－3)＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0.954－0.683)＝0.135 5.
答案：3 0.135 5
10．已知某公司人均月收入X服从正态分布，其概率密度函数的图象如图所示．
(1)写出此公司人均月收入的概率密度函数的解析式；
(2)求此公司人均月收入在[8 000，8 500]之间的人数所占的百分比．
解：(1)设公司人均月收入为X～N(μ，σ2)，结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.
此公司人均月收入的概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝e－＝e－，x∈(0，＋∞).
(2)由(1)知X～N(8 000，5002)，则P(7 500≤X≤8 500)＝P(8 000－500≤X≤8 000＋500)≈0.683，所以P(8 000≤X≤8 500)＝P(7 500≤X≤8 500)≈0.341 5＝34.15%.
故公司人均月收入在[8 000，8 500]之间的人数所占的百分比为34.15%.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "../../能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．(2024·山东德州期末)为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取k(k∈N＋)罐咖啡，并测量其质量(单位：g).由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布N(μ，σ2).假设生产状态正常，记X表示每天抽取的k罐咖啡中质量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的罐数，若X的数学期望E(X)＞0.03，则k的最小值为( )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：选B.因为P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997，所以1－0.997≈0.003，故X～B(k，0.003)，所以E(X)＝0.003k＞0.03，解得k＞10，因为k∈N＋，故k的最小值为11.故选B.
12.
阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车．若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其正态曲线如图所示，则以下结论错误的是( )
A．Y的数据较X更集中
B．若有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．P(X＞30)＋P(Y≤30)＝1
解析：选D.观察题中图象知，X～N(30，σ)，Y～N(34，σ)，对于A，Y的正态曲线“瘦”、X的正态曲线“胖”，即随机变量Y的标准差小于X的标准差，即σ1＞σ2，因此Y的数据较X更集中，故A正确；对于B，显然P(X≤34)＞＝P(Y≤34)，则当有34 min可用时，坐公交车不迟到的概率大，故B正确；对于C，显然P(X≤38)＜P(Y≤38)，则当有38 min可用时，骑自行车不迟到的概率大，故C正确；对于D，显然P(X＞30)＝，P(Y≤30)＜P(Y＜34)＝，因此P(X＞30)＋P(Y≤30)＜1，故D错误．故选D.
13．在某次大型人才招聘活动中，共有2 000人参加笔试，笔试成绩位于区间[70，80)，[80，90)，[90，100]的人数分别为683，271，46，已知此次笔试满分为100分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标准差约为________________________________________________________________________．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%)
解析：由题意知，设笔试成绩X～N(μ，σ2)，由70分及以上的人数为683＋271＋46＝1 000，得P(X≥70)＝＝＝P(X≥μ)，故μ的值可估计为70，由参考数据知P(X＞μ＋2σ)＝≈0.023，而P(X≥90)＝＝0.023，故μ＋2σ的值可估计为90，故σ＝≈＝10.
答案：10
14．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(单位：min)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，到达时间Y(单位：min)服从正态分布N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
解：还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5还有6.5分钟时：若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率P3＝P(X≤6.5)＝P(X≤5)＋P(5P4，所以应选第一条路线．
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "../../素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
15．(多选)假设两所学校的数学联考成绩(分别记为X，Y)均服从正态分布，即X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，X，Y的正态曲线如图所示，则下列说法正确的有( )
(参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.4%)
A．μ1＞μ2
B．σ1＜σ2
C．P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋σ1)≈0.818 5
D．P(Y≤μ1)＜P(Y≤μ2)
解析：选CD.对于A，由题图可知μ1＜μ2，故A错误；对于B，由题图可知Y分布更集中，所以σ>σ，则σ1＞σ2，故B错误；对于C，由正态分布，P(μ1－2σ1≤X<μ1－σ1)＝
≈0.135 5，则P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋σ1)＝P(μ1－2σ1≤X<μ1－σ1)＋P(μ1－σ1≤X≤μ1＋σ1)≈0.135 5＋0.683＝0.818 5，故C正确；对于D，由题图可知，μ1＜μ2，所以P(Y≤μ1)＜P(Y≤μ2)＝0.5，故D正确．故选CD.
16．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分以上(含360分)的高分考生有30名．
(1)求最低录取分数(结果按四舍五入保留整数)；
(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，则能否获得高薪职位？请说明理由．
参考数据：①当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1).②当Y～N(0，1)时，P(Y<2.17)≈0.985，P(Y<1.28)≈0.900，P(Y<1.09)≈0.863，P(Y<1.04)≈0.850.
解：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X服从正态分布，即X～N(180，σ2)，令Y＝，则Y～N(0，1).由360分以上(含360分)的高分考生有30名，可得P(X≥360)＝，即P(X<360)＝1－＝0.985，则有P＝0.985，则≈2.17，解得σ≈83，可得X～N(180，832).设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)＝P＝，
则P＝1－＝0.85，所以≈1.04，解得x0≈266，故最低录取分数约为266分．
(2)因为286＞266，所以考生甲能被录取．
P(X<286)＝P≈P(Y＜1.28)≈0.9，这说明不低于考生甲的成绩的考生人数大约为总人数的1－0.9＝0.1，大约有2 000×0.1＝200(人)，即考生甲大约排在第200名，在前275名之内，所以能被录取为高薪职位．
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "../../基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X<4)＝0.9，则P(0
C．0.5 D．0.9
解析：选B.随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X<4)＝0.9，则P(X≥4)＝0.1，P(0
A．p1＞p2 B．p1＜p2
C．p1＝p2 D．p1≤p2
解析：选C.易知标准正态分布N(0，1)对应的正态曲线关于直线x＝0对称，因此p1＝p2.故选C.
3．设随机变量X～N(0，1)，已知Φ(－2.8)＝0.037，则P(|X|>2.8)＝( )
A．0.037 B．0.074
C．0.926 D．0.975
解析：选B.P(|X|>2.8)＝P(X<－2.8)＋P(X>2.8)＝Φ(－2.8)＋1－Φ(2.8)＝Φ(－2.8)＋Φ(－2.8)＝2×0.037＝0.074.故选B.
4．(2024·山东济南阶段练习)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其概率密度函数为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是( )
A．该地水稻的平均株高为10 cm
B．该地水稻株高的方差为10 cm
C．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
D．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比在70 cm以下的概率大
解析：选D.对于A，B，由f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)得μ＝100，σ＝10，所以该地水稻的平均株高为μ＝100 cm，所以A错误；该地水稻株高的方差为σ2＝100，所以B错误；对于C，根据正态曲线的对称性可知，P(100＜x＜110)＝P(90＜x＜100)＞P(80＜x＜90)，所以株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率不一样大，所以C错误；对于D，P(x＞120)＝P(x＜80)＞P(x＜70)，所以株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大，所以D正确．故选D.
5．(多选)(2024·辽宁葫芦岛期末)某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5，0.25)，则下列结论正确的是( )
A．该正态分布的均值为3.5
B．P(X＞3.5)＝
C．P(4＜X≤4.5)≥
D．P(X＞4.5)＝P(X≤3)
解析：选AB.因为X～N(3.5，0.25)，对于A，该正态分布的均值为μ＝3.5，A正确；对于B，P(X＞3.5)＝，B正确；对于C，P(4＜X≤4.5)＜P(X＞3.5)＝，C错误；对于D，由正态曲线的对称性可知，P(X≤3)＝P(X≥4)＞P(X＞4.5)，D错误．故选AB.
6．(多选)设随机变量X服从正态分布N(0，1)，则下列结论中正确的是( )
A．P(|X|＜a)＝P(|X|＜a)＋P(|X|＝a)(a＞0)
B．P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0)
C．P(|X|＜a)＝1－2P(X＜a)(a＞0)
D．P(|X|＜a)＝1－P(|X|＞a)(a＞0)
解析：选ABD.服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以P(|X|＝a)＝0，A正确；X～N(0，1)，μ＝0，所以正态曲线关于直线x＝0对称，因为a>0，所以P(|X|＜a)＋2P(X＞a)＝1.又P(X＞a)＋P(X＜a)＝1，所以P(|X|＜a)＋2[1－P(X＜a)]＝1，即P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0)，B正确，C错误；P(|X|＜a)＋P(|X|＞a)＝1(a＞0)，D正确．
7．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式．若小明选择自驾，则从家到公司所用的时间(单位：min)服从正态分布N1(38，25)；若小明选择地铁，则从家到公司所用的时间(单位：min)服从正态分布N2(45，9)；若小明选择公交，则从家到公司所用的时间(单位：min)服从正态分布N3(36，16).若小明上午8：12从家出发，则选择________上班迟到的可能性最小．(填“自驾”“公交”或“地铁”)
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
解析：由题意可知从家到公司所用的时间不超过48 min，小明就不会迟到．若选择自驾，则P(X>48)＝P(X>μ＋2σ)≈；若选择地铁，则P(X>48)＝P(X>μ＋σ)≈；若选择公交，则P(X>48)＝P(X>μ＋3σ)≈，而>>，故选择公交上班迟到的可能性最小．
答案：公交
8．某工厂生产一批零件(单位：cm)，其尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X≤20)＝0.2，P(X＜26)＝0.8，则μ＝________．
解析：因为X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X≤20)＝0.2，P(X＜26)＝0.8，则P(X≥26)＝1－P(X＜26)＝1－0.8＝0.2＝P(X≤20)，所以μ＝＝23.
答案：23
9．已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(μ，σ2)，其概率密度函数φμ，σ(x)＝·e－的曲线如图所示，则σ＝________；从中随机取一件，其长度误差落在[－6，－3)内的概率约为________．(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈99.7%)
解析：由题意得σ＝3，又由题图可知μ＝0，则长度[－6，－3)内的概率为P(－6≤X<－3)＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0.954－0.683)＝0.135 5.
答案：3 0.135 5
10．已知某公司人均月收入X服从正态分布，其概率密度函数的图象如图所示．
(1)写出此公司人均月收入的概率密度函数的解析式；
(2)求此公司人均月收入在[8 000，8 500]之间的人数所占的百分比．
解：(1)设公司人均月收入为X～N(μ，σ2)，结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.
此公司人均月收入的概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝e－＝e－，x∈(0，＋∞).
(2)由(1)知X～N(8 000，5002)，则P(7 500≤X≤8 500)＝P(8 000－500≤X≤8 000＋500)≈0.683，所以P(8 000≤X≤8 500)＝P(7 500≤X≤8 500)≈0.341 5＝34.15%.
故公司人均月收入在[8 000，8 500]之间的人数所占的百分比为34.15%.
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11．(2024·山东德州期末)为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取k(k∈N＋)罐咖啡，并测量其质量(单位：g).由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布N(μ，σ2).假设生产状态正常，记X表示每天抽取的k罐咖啡中质量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的罐数，若X的数学期望E(X)＞0.03，则k的最小值为( )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：选B.因为P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997，所以1－0.997≈0.003，故X～B(k，0.003)，所以E(X)＝0.003k＞0.03，解得k＞10，因为k∈N＋，故k的最小值为11.故选B.
12.
阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车．若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其正态曲线如图所示，则以下结论错误的是( )
A．Y的数据较X更集中
B．若有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．P(X＞30)＋P(Y≤30)＝1
解析：选D.观察题中图象知，X～N(30，σ)，Y～N(34，σ)，对于A，Y的正态曲线“瘦”、X的正态曲线“胖”，即随机变量Y的标准差小于X的标准差，即σ1＞σ2，因此Y的数据较X更集中，故A正确；对于B，显然P(X≤34)＞＝P(Y≤34)，则当有34 min可用时，坐公交车不迟到的概率大，故B正确；对于C，显然P(X≤38)＜P(Y≤38)，则当有38 min可用时，骑自行车不迟到的概率大，故C正确；对于D，显然P(X＞30)＝，P(Y≤30)＜P(Y＜34)＝，因此P(X＞30)＋P(Y≤30)＜1，故D错误．故选D.
13．在某次大型人才招聘活动中，共有2 000人参加笔试，笔试成绩位于区间[70，80)，[80，90)，[90，100]的人数分别为683，271，46，已知此次笔试满分为100分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标准差约为________________________________________________________________________．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%)
解析：由题意知，设笔试成绩X～N(μ，σ2)，由70分及以上的人数为683＋271＋46＝1 000，得P(X≥70)＝＝＝P(X≥μ)，故μ的值可估计为70，由参考数据知P(X＞μ＋2σ)＝≈0.023，而P(X≥90)＝＝0.023，故μ＋2σ的值可估计为90，故σ＝≈＝10.
答案：10
14．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(单位：min)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，到达时间Y(单位：min)服从正态分布N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
解：还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5
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15．(多选)假设两所学校的数学联考成绩(分别记为X，Y)均服从正态分布，即X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，X，Y的正态曲线如图所示，则下列说法正确的有( )
(参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.4%)
A．μ1＞μ2
B．σ1＜σ2
C．P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋σ1)≈0.818 5
D．P(Y≤μ1)＜P(Y≤μ2)
解析：选CD.对于A，由题图可知μ1＜μ2，故A错误；对于B，由题图可知Y分布更集中，所以σ>σ，则σ1＞σ2，故B错误；对于C，由正态分布，P(μ1－2σ1≤X<μ1－σ1)＝
≈0.135 5，则P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋σ1)＝P(μ1－2σ1≤X<μ1－σ1)＋P(μ1－σ1≤X≤μ1＋σ1)≈0.135 5＋0.683＝0.818 5，故C正确；对于D，由题图可知，μ1＜μ2，所以P(Y≤μ1)＜P(Y≤μ2)＝0.5，故D正确．故选CD.
16．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分以上(含360分)的高分考生有30名．
(1)求最低录取分数(结果按四舍五入保留整数)；
(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，则能否获得高薪职位？请说明理由．
参考数据：①当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1).②当Y～N(0，1)时，P(Y<2.17)≈0.985，P(Y<1.28)≈0.900，P(Y<1.09)≈0.863，P(Y<1.04)≈0.850.
解：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X服从正态分布，即X～N(180，σ2)，令Y＝，则Y～N(0，1).由360分以上(含360分)的高分考生有30名，可得P(X≥360)＝，即P(X<360)＝1－＝0.985，则有P＝0.985，则≈2.17，解得σ≈83，可得X～N(180，832).设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)＝P＝，
则P＝1－＝0.85，所以≈1.04，解得x0≈266，故最低录取分数约为266分．
(2)因为286＞266，所以考生甲能被录取．
P(X<286)＝P≈P(Y＜1.28)≈0.9，这说明不低于考生甲的成绩的考生人数大约为总人数的1－0.9＝0.1，大约有2 000×0.1＝200(人)，即考生甲大约排在第200名，在前275名之内，所以能被录取为高薪职位．