4.2.5 第2课时　正态分布（教师版）

第2课时　正态分布
1.了解标准正态分布与正态分布的关系．　2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小．　3.掌握正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．
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INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
思考　某足球生产厂家生产一批直径为22 cm的足球，如果通过抽样估计得到这批足球的直径的标准差为0.02，则应该怎样来判断这批足球的质量？如果产品中发现一个足球的直径为22.10 cm，则说明了什么情况？
提示：足球的直径越接近于22 cm，足球的质量越高；如果产品中发现一个足球的直径为22.10 cm，则说明小概率事件发生，足球的质量不合格．
1．定义：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为________的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数，且μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差．
2．3σ原则
P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝________；
P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；
P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；
P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________．
[答案自填] μ与σ　50%　68.3%　95.4%
99.7%
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例2)设X～N(1，4)，试求：
(1)P(－1≤X≤3)；
(2)P(－1≤X≤1)；
(3)P(3＜X≤5).
【解】　易知X～N(1，22)，
所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683.
(2)由该正态曲线关于直线x＝1对称，结合图象(图略)可知P(－1≤X≤1)＝P(－1≤X≤3)≈×0.683＝0.341 5.
(3)P(3＜X≤5)＝P(－3≤X<－1)，
所以P(3＜X≤5)＝[P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)]＝[P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)]＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0.954－0.683)＝0.135 5.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用正态分布求概率的2个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X＞μ＋a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.683，0.954，0.997求解．　
[跟踪训练1] (2024·辽宁营口期末)已知随机变量X～N(10，σ2)，且P(X＜11)＝0.7，则P(10≤X＜11)＝(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
解析：选B.根据正态曲线的对称性，可得P(10≤X＜11)＝P(X＜11)－P(X＜10)＝0.7－0.5＝0.2.故选B.
3σ原则
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约________的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”．
[答案自填] 0.3%
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例3)某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)ξ～N(10，0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常．
【解】　因为ξ～N(10，0.22)，正态总体几乎总取值于区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常．因为μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6，μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，9.52在[9.4，10.6]内，9.98在[9.4，10.6]内，所以该厂这一天的生产状况是正常的．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
正态分布的实际应用
解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．　
[跟踪训练2] (1)某班有45名学生，最近一次的市联考的数学成绩X服从正态分布N(95，σ2)，若X∈[75，115]的学生人数为18，则P(X＞115)＝(　　)
A．0.2 B．0.25
C．0.3 D．0.35
解析：选C.由题设可知P(X＞115)＝P(X＜75)＝m，则P(75≤X≤115)＝1－2m，又X∈[75，115]的学生人数为45(1－2m)＝18，故m＝0.3.故选C.
(2)已知某批产品的质量指标X服从正态分布N(25，0.16)，其中X∈[24.6，26.2]的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.
解析：由题意知，该产品服从X～N(25，0.16)，则μ＝25，σ＝0.4，所以P(24.6≤X≤26.2)＝P(25－0.4≤X≤25＋3×0.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋3σ)≈＋＝0.84，即抽到“可用产品”的概率约为0.84.
答案：0.84
1．定义
μ＝0且σ＝1的正态分布称为________________________，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果Y～N(μ，σ2)，那么令X＝________，则可以证明X～N(0，1)，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．
2．标准正态分布下的概率表示
如果X～N(0，1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(X3．性质
根据正态曲线的对称性，可以知道Φ(a)具有性质Φ(－a)＋Φ(a)＝1.
[答案自填] 标准正态分布　
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)已知随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，且P(ξ＜－2)＝a，则P(0≤ξ≤2)＝(　　)
A． B．1－a
C．－a D．a
(2)(多选)若随机变量ξ～N(0，1)，Φ(x)＝P(ξA．Φ(－x)＝1－Φ(x)
B．Φ(2x)＝2Φ(x)
C．P(|ξ|＜x)＝2Φ(x)－1
D．P(|ξ|＞x)＝2－Φ(x)
【解析】　(1)因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以μ＝0，对称轴是y轴．因为P(ξ<－2)＝a，所以P(0≤ξ≤2)＝P(－2≤ξ≤0)＝－a.
(2)因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于直线x＝0对称，如图所示．因为Φ(x)＝P(ξ1，Φ(2x)≠2Φ(x)，故B错误；
P(|ξ|P(|ξ|＞x)＝P(ξ＞x或ξ＜－x)＝1－Φ(x)＋Φ(－x)＝2[1－Φ(x)]，故D错误．
【答案】　(1)C　(2)AC
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)实际上，很少有随机变量恰好服从标准正态分布，但是任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布．即：如果X～N(μ，σ2)，则Z＝～N(0，1).
(2)Φ(a)＝P(X[跟踪训练3] 设随机变量ξ服从标准正态分布，若已知Φ(1.88)＝0.97，则P(|ξ|＜1.88)＝(　　)
A．0.03 B．0.06
C．0.97 D．0.94
解析：选D.因为Φ(1.88)＝0.97，所以P(ξ＜1.88)＝0.97，P(ξ≥1.88)＝0.03，因为标准正态曲线关于直线x＝0对称，
所以P(ξ≥1.88)＋P(ξ≤－1.88)＝0.03＋0.03＝0.06，故P(|ξ|＜1.88)＝1－0.06＝0.94.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P97练习BT4改编)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X＞2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝(　　)
A．0.85 B．0.70
C．0.35 D．0.15
解析：选C.P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X＞2)＝0.35.
2．设随机变量X～N(0，1)，则X的概率密度函数为(　　)
A．f(x)＝e－ B．f(x)＝e－
C．f(x)＝e－ D．f(x)＝e－
解析：选A.因为X～N(0，1)，所以μ＝0，σ2＝1，即σ＝1，所以X的概率密度函数为A.故选A.
3．(2024·山东日照期末)据调查统计，某校男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174，9).若该校有男生3 000人，则估计该校男生身高在[174，180]范围内的人数为________．
解析：因为身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3.所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在[168，180]范围内的概率约为95.4%.因为μ＝174，所以身高在[168，174]和[174，180]范围内的概率相等，均约为47.7%.故该校男生身高在[174，180]范围内的人数约为3 000×47.7%＝1 431.
答案：1 431
4．(教材P97练习BT5改编)已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是上升的，在(80，＋∞)上是下降的，且P(72≤X≤88)≈0.683.
(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64≤X<72).
解：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是上升的，在(80，＋∞)上是下降的，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P(72≤X≤88)≈0.683.结合P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，可知σ＝8.
(2)因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(64≤X≤96)≈0.954.P(64≤X<72)＝[P(64≤X≤96)－P(72≤X≤88)]≈0.135 5.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)正态分布；
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值；
(3)标准正态分布．
2．须贯通：求正态总体在三个特殊区间内取值的概率值、标准正态分布时要学会运用转化化归．
3．应注意：正态分布与标准正态分布的转化错误．