4.3.2　独立性检验（教师版）

4．3.2　独立性检验
1.了解2×2列联表、随机变量χ2的意义．　2.理解独立性检验中P(χ2≥k)的具体含义．　3.掌握独立性检验的方法和步骤，并能解决实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
思考　若想调查晕车与性别之间的关系，我们需要调查哪些数据？
提示：需要调查一定数量的人数(即总人数)，男人人数，女人人数，男人中晕车的人数，男人中不晕车的人数，女人中晕车的人数，女人中不晕车的人数．
如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下．
A 总计
B a b a＋b
c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
记n＝a＋b＋c＋d，则由表可知：
(1)事件A发生的概率可估计为P(A)＝；
(2)事件B发生的概率可估计为P(B)＝______；
(3)事件AB发生的概率可估计为P(AB)＝______；
(4)χ2＝.
[答案自填] 　
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　随着全民运动健康意识的提高，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表．
平均每周进行长跑训练的天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天
人数 30 130 40
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松长跑训练，试估计其中“热烈参与者”的人数；
(2)根据上表的数据，填写下列2×2列联表(单位：人).
热烈参与者 非热烈参与者 总计
男 140
女 55
总计
【解】　(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为20 000×＝4 000.
(2)由题意可得2×2列联表如下(单位：人)：
热烈参与者 非热烈参与者 总计
男 35 105 140
女 5 55 60
总计 40 160 200
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
2×2列联表的应用
(1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．注意应该是4行4列，计算时要准确无误．
(2)利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，直观判断两个分类变量间是否相互影响．　
[跟踪训练1] (2024·辽宁辽阳月考)在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人的饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．
(1)请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表；
(2)求年龄在六十岁以上且饮食以肉类为主的人群的概率．
解：(1)饮食习惯与年龄的2×2列联表如下(单位：人)：
六十岁以上 六十岁以下 总计
以蔬菜为主 43 21 64
以肉类为主 27 33 60
总计 70 54 124
(2)由列联表得，年龄在六十岁以上且饮食以肉类为主的人群的概率为.
1．任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数).χ2是一个随机变量，其分布能够求出，上面的概率是可以计算的．因此，如果根据样本数据算出χ2的值后，发现χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过____的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有______的把握认为A与B有关．若χ22．统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示．
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[答案自填] α　1－α
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③长跑爱好者得膝盖痛病的概率；④爱好长跑是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有(　　)
A．①②③ B．②④⑤
C．②③④⑤ D．①②③④⑤
【解析】　独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验解决．
【答案】　B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
独立性检验是对两个分类变量的相关性的检验，具有一定的随机性，独立性检验确认两个变量的相关程度．　
[跟踪训练2] (多选)在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是(参考数据：P(χ2≥6.635)＝0.01)(　　)
A．若χ2的观测值满足χ2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系
B．若χ2的观测值满足χ2≥6.635，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病
C．从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病
D．从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误
解析：选AD.因为χ2的观测值满足χ2≥6.635，所以有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，也就是说有1%的可能性使推断出现错误，因此选项A，D正确，选项B，C不正确．
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例2)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均体育运动时间(单位：h)的样本数据．
(1)应收集多少名女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图)，其中样本数据的分组区间为[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4 h的概率；
(3)在样本数据中，有60名女生的每周平均体育运动时间超过4 h，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．
附：
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.879
χ2＝.
【解】　(1)由分层抽样可得300×＝90，所以应收集90名女生的样本数据．
(2)由题中频率分布直方图得学生每周平均体育运动超过4 h的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4 h的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4 h，75人的每周平均体育运动时间不超过4 h.样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，可得每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不超过4 h 45 30 75
每周平均体育运动时间超过4 h 165 60 225
总计 210 90 300
结合列联表可算得χ2＝≈4.762.又因为1－95%＝5%，而且查表得P(χ2≥3.841)＝0.05，由于4.762＞3.841，
所以有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
独立性检验的应用需要注意的问题
(1)χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心．
(2)判断时把计算结果与临界值比较，其值越大，有关的可信度越高．　
[跟踪训练3] 为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲、乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，人数统计如表：
优秀人数 非优秀人数 总计
甲校 60 40 100
乙校 70 30 100
总计 130 70 200
(1)甲、乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少？
(2)能否有95%的把握认为甲校成绩与乙校成绩有差异？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
解：(1)甲学校竞赛成绩优秀的频率为＝，乙学校竞赛成绩优秀的频率为＝.
(2)由列联表可得χ2＝＝≈2.198，又因为1－95%＝5%，而查表可得P(χ2≥3.841)＝0.05，又2.198<3.841，故没有95%的把握认为甲校成绩与乙校成绩有差异．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．如表是2×2列联表，则表中的a，b的值分别为(　　)
y1 y2 总计
x1 a 8 35
x2 11 34 45
总计 b 42 80
A.27，38 B．28，38
C．27，37 D．28，37
解析：选A.a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.故选A.
2．下列关于χ2的说法中正确的是(　　)
A．χ2越大，“事件A，B有关”的可信度越小
B．χ2越大，“事件A，B无关”的可信度越大
C．χ2越小，“事件A，B有关”的可信度越小
D．χ2越小，“事件A，B无关”的可信度越小
解析：选C.χ2越大，“事件A，B有关”的可信度越大，“事件A，B无关”的可信度越小；χ2越小，“事件A，B有关”的可信度越小，“事件A，B无关”的可信度越大．
3．(多选)(教材P120练习BT1改编)某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算χ2≈5.059，则可以推断出(　　)
满意 不满意 总计
男生 18 9 27
女生 8 15 23
总计 26 24 50
附：
α＝P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.005
k 3.841 6.635 7.879
A.该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为
B．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意
C．有95%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异
D．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异
解析：选ABC.对于A项，该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为＝，故A正确；对于B项，该俱乐部的女性会员对运动场所满意的概率的估计值为，而＝>＝，故B正确；对于C，D两项，因为6.635>χ2≈5.059>3.841，所以有95%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异，故C正确，D错误．
4．(教材P120练习BT2改编)在研究某种药物对某病毒的治疗效果时，对150只动物服用药物，其中132只动物存活，18只动物死亡，对照组150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试问：有99%的把握认为该种药物是否对治疗该病毒有效吗？
解：(1)2×2列联表如下：
存活数 死亡数 总计
服用药物 132 18 150
未服药物 114 36 150
总计 246 54 300
(2)由(1)知χ2＝≈7.317.
又因为1－99%＝1%，
查表可得P(χ2≥6.635)＝0.01，
因为7.317>6.635，
故有99%的把握认为该种药物对治疗该病毒有效果．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)2×2列联表；(2)独立性检验的理解及应用．
2．须贯通：掌握公式法求χ2，培养数学运算的数学素养．
3．应注意：(1)要注意公式χ2的计算准确性；(2)求出χ2之后要注意与最接近的k值相比较．