4.3.2　课后达标检测（教师版）

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1．下列关于独立性检验的说法正确的是(　　)
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用χ2独立性检验推断高糖饮食与患糖尿病的关联中，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为高糖饮食与患糖尿病有关系时，则我们可以说在100个高糖饮食的人中，有99人患糖尿病
D．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
解析：选D.对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误；对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误；对于C，99%是指“高糖饮食”和“患糖尿病”存在关联的可能性，并非高糖饮食的人中患糖尿病的发病率，故错误；对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确．故选D.
2．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是(　　)
A．有99%的人认为该电视栏目优秀
B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．有99%以上的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有充分的理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
解析：选D.因为χ2＜2.706，所以没有充分的理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系．故选D.
3．分类变量X和Y的列联表如下：
Y1 Y2 总计
X1 a b a＋b
X2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
则下列说法中正确的是(　　)
A．ad－bc越小，说明X与Y之间的关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y之间的关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y之间的关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y之间的关系越强
解析：选C.由公式χ2＝知，(ad－bc)2越大，χ2的值也越大，说明X与Y之间的关系越强．
4．某校期中考试后，对甲、乙两个班学生的数学成绩按优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
优秀 及格 总计
甲班 11 34 45
乙班 8 37 45
总计 19 71 90
则χ2的值约为(　　)
A．0.600 B．0.828
C．2.712 D．6.004
解析：选A.根据列联表中的数据，可得χ2＝≈0.600.故选A.
5．(2024·内蒙古呼和浩特校考)在一次独立性检验中得到如下列联表：
A1 A2 总计
B1 200 800 1 000
B2 180 a 180＋a
总计 380 800＋a 1 180＋a
若这两个分类变量A和B没有关系，则a的可能值是(　　)
A．200 B．720
C．100 D．180
解析：选B.将选项中的值一一代入，当a＝720时，χ2＝＝0，易知此时两个分类变量没有关系．故选B.
6．(多选)某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为(　　)
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
A.12 B．34
C．36 D．48
解析：选CD.设男生人数为3x，则女生人数为x，且x∈N＋，可得列联表如下：
男生 女生 总计
喜欢滑冰 2x
不喜欢滑冰 x
总计 3x x 4x
所以χ2＝＝，因为有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，所以∈[3.841，＋∞)，解得x≥11.203，又x∈N＋，所以x≥12，所以3x≥36，且男生人数满足3的倍数，结合选项只有C，D符合条件．故选CD.
7．为了判断某高中学生选修文理与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表．已知P(χ2≥3.841)＝0.05，P(χ2≥6.635)＝0.01，则认为选修文理与性别有关系出错的概率为________．
理科 文科 总计
男 13 10 23
女 7 20 27
总计 20 30 50
参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解析：因为χ2＝≈4.844，则P(χ2≥3.841)＝0.05，由于6.635>4.844>3.841，所以认为选修文理与性别有关系出错的概率约为0.05.
答案：0.05
8．有两个变量X与Y，其一组观测值如2×2列联表所示：
Y1 Y2 总计
X1 a 20－a 20
X2 15－a 30＋a 45
总计 15 50 65
则正整数a的最小值为________时，有90%的把握判断“X与Y之间有关系”．
解析：由题意χ2＝
＝>2.706，易得a＝1满足题意．
答案：1
9．(2024·山东德州月考)某中学统计了一个班40名学生中每一个学生的英语成绩与语文成绩，并制成了一个不完整的2×2列联表如下：
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20
语文成绩不及格 11
总计 25 40
则________(填“有”或“没有”)99%的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
解析：由题意可得2×2列联表如下：
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20 4 24
语文成绩不及格 5 11 16
总计 25 15 40
则χ2＝≈11.111>6.635，因此有99%的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
答案：有
10．(2024·辽宁沈阳月考)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不晕机的为56人．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试判断是否有95%的把握认为晕机与性别有关？
参考数据：
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)2×2列联表如下：
晕机 不晕机 总计
男乘客 28 28 56
女乘客 28 56 84
总计 56 84 140
(2)χ2＝＝≈3.889，因为1－95%＝5%，而且查表可得P(χ2≥3.841)＝0.05，3.889>3.841，所以有95%的把握认为是否晕机与性别有关．
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11．为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出参观学习，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一， 有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则得到的正确结论是(　　)
参考数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
A．有99%的把握认为“选择方案与性别有关”
B．有99%的把握认为“选择方案与性别无关”
C．有95%的把握认为“选择方案与性别有关”
D．有95%的把握认为“选择方案与性别无关”
解析：选C.设该校男老师的人数为x，女老师的人数为y，则可得如下列联表：
选择方案一 选择方案二 总计
男 0.5x 0.5x x
女 0.25y 0.75y y
总计 0.5x＋0.25y 0.5x＋0.75y x＋y
由题意＝0.4，可得＝，又x＋y＝70，所以x＝30，y＝40，则χ2＝≈4.667，又因为查表可得，P(χ2≥3.841)＝0.05，由于4.667>3.841，所以有95%的把握认为“选择方案与性别有关”．
12．(多选)为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
选物理 不选物理 总计
数学成绩优异 20 7 27
数学成绩一般 10 13 23
总计 30 20 50
由以上数据，计算得到χ2＝≈4.844，根据临界值表，以下说法正确的是(　　)
参考数据：
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关
C.95%的数学成绩优异的同学选择物理
D．若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化
解析：选AB.因为4.844> 3.841，由临界值表知，P(χ2≥3.841)＝0.05，所以有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关；在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关；若表中的数据都扩大为原来的10倍，χ2＝≈48.443，又48.443>10.828，故结论发生变化．故选AB.
13．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得到下表中的数据：
无效 有效 总计
男性患者 15 35 50
女性患者 6 44 50
总计 21 79 100
则χ2≈________(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不超过________.
解析：由公式计算得χ2≈4.882，因为4.882＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为服用此药的效果与患者的性别有关．
答案：4.882　5%
14．在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特地对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：
分数段 [29，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
午休考生人数 23 47 30 21 14 31 14
不午休考生人数 17 51 67 15 30 17 3
(1)根据上述表格完成列联表(单位：人)：
及格 不及格 总计
午休
不午休
总计
(2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？
参考数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)2×2列联表如下表所示：
及格 不及格 总计
午休 80 100 180
不午休 65 135 200
总计 145 235 380
(2)计算可知，χ2≈5.728＞3.841，有95%的把握判断午休与考生及格有关，且午休的考生及格率为P1＝＝，不午休的考生的及格率为P2＝＝，P1>P2，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．
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15．为了调查学生是否喜欢网络课程，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为20k(k∈N＋)，则k＝________．
解析：设男、女学生的总人数为2n，则2n＝20k(k∈N＋)，可得2×2列联表如下：
喜欢网络课程 不喜欢网络课程 总计
男生 0.8n 0.2n n
女生 0.6n 0.4n n
总计 1.4n 0.6n 2n
所以χ2＝＝.又因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，所以3.841≤<6.635，即80.661≤2n<139.335.又2n＝20k，所以4.033 05≤k<6.966 75，因为k∈N＋，所以k＝5或k＝6.
答案：5或6
16．某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表(单位：人)：
体能一般 体能优秀 总计
数学一般 50 50 100
数学优秀 40 60 100
总计 90 110 200
(1)根据以上数据，能否有90%的把握认为体能是否优秀与数学成绩有关？
(2)①先从抽取的数学优秀的人中，按“体能优秀”与“体能一般”进行分层抽样抽取10人，再从这10人中随机选出4人，求其中至少有2个人是“体能优秀”的概率；
②将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取10人参加座谈会，记其中“体能优秀”的人数为X，求X的数学期望和方差．
解：(1)χ2＝≈2.020.又因为1－90%＝10%，查表可得P(χ2≥2.706)＝0.1，由于2.02<2.706，所以没有90%的把握认为体能是否优秀与数学成绩有关．
(2)①抽取的数学优秀的人中，“体能一般”的有10×＝4(人)，“体能优秀”的有10×＝6(人)，则选出的4人中至少有2人是“体能优秀”的概率P＝1－ eq \f(CC,C) － eq \f(CC,C) ＝.
②由题表可知，“体能优秀”的频率为＝，所以从人群中任意抽取一人，恰好抽到“体能优秀”的概率为.由题意可得“体能优秀”的人数X～B(10，)，所以E(X)＝10×＝，D(X)＝10××(1－)＝.