培优2 二项分布与超几何分布的辨析（教师版）

INCLUDEPICTURE "培优2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../培优2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\培优2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　二项分布与超几何分布的辨析
类型一 二项分布、超几何分布的概念
INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　分别指出下列随机变量服从什么分布，并用合适的符号表示：
(1)某班级共有30名学生，其中有10名学生戴眼镜，随机从这个班级中抽取5人，设抽到的不戴眼镜的人数为X；
(2)已知女性患色盲的概率为0.25%，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为X；
(3)学校要从3名男教师和4名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中男教师的人数为X.
(4)某同学投篮的命中率为0.6，设10次投篮命中的次数为X.
【解】　(1)依题意不戴眼镜的人数X服从参数为30，5，20的超几何分布，即X～H(30，5，20).
(2)依题意每次抽到患色盲的女性的概率为0.25%，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为X，则X服从二项分布，即X～B(300，0.25%).
(3)抽取的人中男教师的人数X服从参数为7，3，3的超几何分布，即X～H(7，3，3).
(4)10次投篮命中的次数X服从二项分布，即X～B(10，0.6).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)二项分布公式适用条件：只能用来求解“独立重复试验”中的事件概率．
(2)超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类型的小球等概率模型，其随机变量分别是正品(或次品)的件数、某种小球的个数等问题，往往由差异明显的两部分组成．　
类型二 二项分布、超几何分布的区别
角度1　从抽样方法来区分
INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　盒子中有大小、质地相同的4个红球和6个黑球.
(1)从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球次数X的分布列；
(2)从中逐个不放回的抽取出3个球(效果等同于一次同时取出3个球)，求取到红球个数Y的分布列．
【解】　(1)由已知X～B(3，0.4)，P(X＝k)＝C·0.4k·(1－0.4)3－k(k＝0，1，2，3)，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)由已知得，Y服从N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．P(Y＝k)＝ eq \f(CC,C) (k＝0，1，2，3)，所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
角度2　从抽取产品的总数N和其中所含次品的件数M是否明确来区分
INCLUDEPICTURE "典例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../典例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\典例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有2件次品.
(1)从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X，求X的分布列；
(2)用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机有放回的抽取3件，其中次品件数为Y，求Y的分布列．
【解】　(1)根据题意X服从N＝10，M＝2，n＝3的超几何分布，X的取值范围是{0，1，2}，
P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) (k＝0，1，2)，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)Y的取值范围为{0，1，2，3}，
根据题意Y～B(3，0.2)，
所以P(Y＝k)＝C·0.2k·(1－0.2)3－k(k＝0，1，2，3)，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
两种分布列的区别与转化
类别 超几何分布 二项分布
抽取方式 不放回抽取，各次抽取不独立 有放回抽取，各次抽取相互独立
总体个数 有限个 有限，未知或无限
随机变量取值的概率 利用排列组合计算 利用相互独立事件计算
转化 当保持不变，若N越大，每次不放回抽取，抽到次品的概率与相差越小，因此，当N很大时，超几何分布可以近似看成二项分布
　
类型三 超几何分布和二项分布的应用
INCLUDEPICTURE "典例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../典例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\典例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量(单位：本)的数据分成7组，即[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到样本的频率分布直方图，如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../25SX5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25SX5.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)求阅读量小于60本的人数；
(2)已知阅读量在[20，30)，[30，40)，[40，50)内的学生人数比为2∶3∶5.为了进一步了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40)内的学生中随机选取3人进行调查，用X表示所选学生阅读量在[20，30)内的人数，求X的分布列；
(3)视频率为概率，从该高校的全体学生中任选3人，用Y表示所选学生阅读量在[60，70)内的人数，求Y的分布列．
【解】　(1)阅读量小于60本的人数为100－100×10×(0.04＋0.02×2)＝20.
(2)由已知条件及(1)可知，阅读量在[20，50)内的人数为20－100×0.01×10＝10，故阅读量在[20，30)内的人数为2，在[30，40)内的人数为3，在[40，50)内的人数为5.易知X服从参数为5，3，2的超几何分布，所以X的取值范围为{0，1，2}，则P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)由题中频率分布直方图知阅读量在[60，70)内的频率为0.02×10＝0.2，即从该高校的全体学生中任选1人，其阅读量在[60，70)内的概率为.则由题意知Y～B(3，).所以P(Y＝k)＝C×()k×()3－k(k＝0，1，2，3)，即
P(Y＝0)＝C×()0×()3＝，
P(Y＝1)＝C××()2＝，
P(Y＝2)＝C×()2×＝，
P(Y＝3)＝C×()3×()0＝.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
超几何分布和二项分布的应用基本步骤
(1)首先根据两种分布的概念，确定是超几何分布还是二项分布．
(2)根据概率公式求概率，列分布列：二项分布的概率公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n；超几何分布的概率公式P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) ，k＝t，t＋1，…，s(其中s是M，n中的最小值，当n≤N－M时，t＝0，否则t＝n－(N－M)，M【尝试训练】
1．数学老师从6道习题中随机抽取3道让同学解答，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.设该同学解答正确的题目数量为X，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) ＝.故选D.
2．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为________．
解析：设该射手每次射击的命中率为p(0答案：
3．(2024·贵州遵义高二校考)某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级．某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱(每箱有5 kg)，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
等级 珍品 特级 优级 一级
箱数 40 30 10 20
(1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
(2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，用X表示抽取到的珍品的箱数，求X的分布列．
解：(1)设A：从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品，则P(A)＝＝，现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为ξ，则ξ～B(4，)，所以恰好有2箱是一级品的概率为P(ξ＝2)＝C×()2×()2＝.
(2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，
P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P