强化课　课后达标检测1（教师版）

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1．某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲、乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.乙组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲小组答对题数的分布列；
(2)若从甲、乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请从答对题数的期望和方差角度，分析说明选择哪个小组更好？
解：(1)设甲小组答对题数为X，X的取值范围为{1，2，3}，则P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，所以甲小组答对题数的分布列为
X 1 2 3
P
(2)由(1)得，E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.设乙小组答对题数为Y，则随机变量Y～B(3，).故E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝，因为E(X)＝E(Y)，D(X)2．(2024·辽宁鞍山期末)一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本(3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大).每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为p(0＜p＜1)，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作．
(1)当p＝时，求一天内制冰厂不亏本的概率；
(2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考：
方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元．
方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为a元．请从期望损失最小的角度判断如何决策？
解：(1)当p＝时，每台设备能正常工作的概率为C＋C＝，所以一天内制冰厂不亏本的概率为1－＝1－＝.
(2)若不采取措施，设总损失为X0，当前每台设备能正常工作的概率为0.6，故E(X0)＝10 000×(1－0.6)3＝10 000×0.064＝640；设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，采用方案1，更换3台设备的部分零件，使得每台设备能正常工作的概率为0.85，故E(X1)＝10 000×(1－0.85)3＋600＝33.75＋600＝633.75；采用方案2，对设备进行维护，使得每台设备能正常工作的概率为0.75，故E(X2)＝10 000×(1－0.75)3＋a＝156.25＋a，又E(X1)－E(X2)＝633.75－156.25－a＝477.5－a，且640＞633.75，因此，从期望损失最小的角度，当a＝477.5时，可以选择方案1或2；当a＜477.5时，选择方案2；当a＞477.5时，选择方案1.
3．(2024·辽宁营口月考)强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中0＜m＜1.
(1)若m＝，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更有希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．
解：(1)设A：该考生报考甲大学在笔试环节恰好通过一门科目，B：该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过一门科目，根据题意可得P(A)＝C＝，P(B)＝×＋×××2＝.
(2)设该考生报考甲大学在笔试过程中通过的科目数为X，报考乙大学在笔试过程中通过的科目数为Y，根据题意可知，X～B，则E(X)＝3×＝，Y的取值范围为{0，1，2，3}，则
P(Y＝0)＝×(1－m)＝(1－m)，
P(Y＝1)＝×(1－m)＋×(1－m)＋×m＝－m，P(Y＝2)＝×(1－m)＋×m＋×m＝＋m，P(Y＝3)＝×m＝m，
则随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P (1－m) －m ＋m m
E(Y)＝－m＋＋m＋m＝＋m，若E(Y)＞E(X)，则＋m＞，故＜m＜1，即m的取值范围是.
4．对乙肝病毒携带者的检测是通过空腹抽血化验乙肝五项的检测完成的．现5人中有1人携带乙肝病毒，需要通过抽血化验来确定病毒携带者，血液检测呈阳性的为病毒携带者，有如下两种化验方案：
方案1：将每个人的血液逐个化验，直到查出病毒携带者为止；
方案2：先取3个人的血液进行混合检测，若呈阳性，对这3个人的血液再逐个检验，直到查出携带者；若不呈阳性，则检测余下的2个人中的1个人的样本．
(1)若采用方案1，检测到第二人即检测出携带者的概率是多少？
(2)通过所学知识，分析方案1和方案2，哪个方案更好？
解：(1)设“检测到第二人即检测出携带者”为事件A，所以P(A)＝×＝.
(2)设方案1需要化验的次数为X，则X的取值范围为{1，2，3，4}，
所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝P(A)＝，
P(X＝3)＝××＝，P(X＝4)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)－P(X＝3)＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)＝×1＋×2＋×3＋×4＝2.8.设方案2需要化验的次数为Y，则Y的取值范围为{2，3}，
当Y＝2时，有两种可能，
第一种，先检测的3人没有乙肝病毒携带者，做余下的2人检测时得到结果，此时概率为P＝ eq \f(C,C) ×＋ eq \f(C,C) ×＝；
第二种，先检测的3人有乙肝病毒携带者，进而依次检测时第一次就检测到病毒携带者，此时概率为P＝ eq \f(C,C) ×＝，所以P(Y＝2)＝＋＝，
P(Y＝3)＝1－P(Y＝2)＝，
则Y的分布列为
Y 2 3
P
所以E(Y)＝2×＋3×＝2.4.因为E(X)＝2.8>E(Y)＝2.4，所以方案2的平均检测次数少于方案1，故方案2更好．
5．(2024·内蒙古呼和浩特检测)某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车．假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为.
(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率p；
(2)每辆汽车不需要重新检测的费用为60元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100元，求每辆汽车需要检测的费用X的分布列及数学期望；
(3)公司对本次质量检测的预算支出是4万元，若300辆汽车全部参与质量检测，且实际费用不超过预算，则依原方案进行检测，否则改进检测方案，试问检测方案是否需改进？
解：(1)由题意可知有两名或两名以上检测不合格的概率为C××＋＝，有且仅有一人检测不合格，重新检测后仍不合格的概率为C××＝，综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为p＝＋＝.
(2)由题知X的取值范围为{60，100}，
由题意知，P(X＝100)＝C××＝，
P(X＝60)＝C××＋＋＝.
X 60 100
P
所以随机变量X的数学期望为E(X)＝60×＋100×＝.
(3)由(2)知此方案的费用为300×＝＜4×104，
综上可知，实际费用估计不会超出预算，则可按原方案进行检测，不需要改进．
6．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图(如图所示).若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
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(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？并说明理由．
解：(1)由柱形图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，X的取值范围为{16，17，18，19，20，21，22}，
从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04，
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080，因为4 040＜4 080，可知当n＝19时购买易损零件所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
7．某商场为了节假日引流举办猜谜语返现活动，凡是消费满500元便可参与该活动．该活动中设有A，B，C三类谜语，猜对A类谜语可得奖金10元，猜对B类谜语可得奖金20元，猜对C类谜语可得奖金40元．已知张某猜对A，B，C类谜语的概率分别为0.8，0.5，0.3.
(1)若张某必须按BAC的顺序答题，且只有答对前一类谜语才有资格猜下一类，记张某获得的奖金为X元，求E(X)；
(2)若规定：只能从三类谜语中选择两类进行作答，张某该如何选择，才能使获得的奖金的均值最大？
解：(1)依题意，X的取值范围为{0，20，30，70}，所以P(X＝0)＝0.5，P(X＝20)＝0.5×0.2＝0.1，P(X＝30)＝0.5×0.8×0.7＝0.28，P(X＝70)＝0.5×0.8×0.3＝0.12，所以E(X)＝0×0.5＋20×0.1＋30×0.28＋70×0.12＝18.8.
(2)若选择A，B：奖金X1的取值范围为{0，10，20，30}，所以P(X1＝0)＝0.2×0.5＝0.1，P(X1＝10)＝0.8×0.5＝0.4，P(X1＝20)＝0.2×0.5＝0.1，P(X1＝30)＝0.8×0.5＝0.4，故E(X1)＝0×0.1＋10×0.4＋20×0.1＋30×0.4＝18；若选择A，C：奖金X2的取值范围为{0，10，40，50}，所以P(X2＝0)＝0.2×0.7＝0.14，P(X2＝10)＝0.8×0.7＝0.56，P(X2＝40)＝0.3×0.2＝0.06，P(X2＝50)＝0.8×0.3＝0.24，故E(X2)＝0×0.14＋10×0.56＋40×0.06＋50×0.24＝20；若选择B，C：奖金X3的取值范围为{0，20，40，60}，P(X3＝0)＝0.5×0.7＝0.35，P(X3＝20)＝0.5×0.7＝0.35，P(X3＝40)＝0.5×0.3＝0.15，P(X3＝60)＝0.5×0.3＝0.15，故E(X3)＝0×0.35＋20×0.35＋40×0.15＋60×0.15＝22，所以E(X3)>E(X2)>E(X1)，故张某该选择B和C两类谜语进行作答，才能使获得的奖金的均值最大．
8．(2024·山东日照期末)如图所示的高尔顿板，小球从通道口落下，第1次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．
INCLUDEPICTURE "../../25HB-4A.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-4A.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)若进行一次以上试验，求小球落入6号槽的概率；
(2)小明同学利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为Y元，其中Y＝|20－5X|.
①求X的分布列；
②很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
解：(1)根据题意可知要使小球落入6号槽，此时小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，所以小球落入6号槽的概率为P＝C××＝.
(2)①由题意得X的取值范围为{1，2，3，4，5，6，7}，则P(X＝1)＝P(X＝7)＝＝，
P(X＝2)＝P(X＝6)＝C＝，
P(X＝3)＝P(X＝5)＝C＝，
P(X＝4)＝C＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6 7
P
②因为小球掉入X号球槽得到的奖金为金为Y元，其中Y＝|20－5X|，所以Y的取值范围为{0，5，10，15}，则
P(Y＝0)＝P(X＝4)＝，
P(Y＝5)＝P(X＝3)＋P(X＝5)＝，
P(Y＝10)＝P(X＝2)＋P(X＝6)＝，
P(Y＝15)＝P(X＝1)＋P(X＝7)＝，
所以E(Y)＝0×＋5×＋10×＋15×＝，因为＜8，所以小明同学能盈利．