强化课 期望和方差在决策中的应用（教师版）
文档属性
| 名称 | 强化课 期望和方差在决策中的应用（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 776.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 期望和方差在决策中的应用
利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题．解题的关键如下：
(1)建立模型：根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；
(2)分析数据：分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
(3)求值：利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
(4)做出决策：比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策．
题型一 期望与方差在销售利润问题中的应用
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·辽宁朝阳月考)某餐饮公司入驻某校，为满足学生餐饮需求、丰富菜品花色，研发了一套新产品．该产品每份成本6元，售价8元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期报废．公司为决策每两天的产量，先进行试销，统计并整理连续30天的日销量(单位：百份)，假设该新产品每日销量相互独立，得到如下的柱形图：
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-1.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)以试销统计的频率为概率，记每两天中销售该新产品的总份数为ξ(单位：百份)，求ξ的分布列和数学期望；
(2)以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份，28百份两种方案中应选择哪种？
【解】 (1)根据题意可得，ξ的取值范围为{24，25，26，27，28，29，30}．P(ξ＝24)＝×＝，
P(ξ＝25)＝××2＝，
P(ξ＝26)＝××2＋×＝，
P(ξ＝27)＝××2＋××2＝，
P(ξ＝28)＝××2＋×＝，
P(ξ＝29)＝××2＝，
P(ξ＝30)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ 24 25 26 27 28 29 30
P
E(ξ)＝24×＋25×＋26×＋27×＋28×＋29×＋30×＝27.4.
(2)当每两天生产配送27百份时，利润为
(24×2－3×6)×＋(25×2－2×6)×＋(26×2－1×6)×＋27×2×＝51.44(百元).
当每两天生产配送28百份时，利润为(24×2－4×6)×＋(25×2－3×6)×＋(26×2－2×6)×＋(27×2－1×6)×＋28×2×＝49.28(百元).
由于51.44＞49.28，所以选择每两天生产配送27百份．
[跟踪训练1] 某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25hb-2.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25hb-2.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量不少于35瓶的概率；
(2)试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发成本60元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为[45，55]时看作销量为50瓶).
①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列和数学期望；
②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？
注：销售额＝销量×定价；利润＝销售额－批发成本．
解：(1)根据题图中数据，酸奶每天销量不少于35瓶的概率为(0.02＋0.01)×10＝0.3，小于35瓶的概率为0.7.设A：试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量不少于35瓶，则表示“这三天酸奶的销量都小于35瓶”．所以P(A)＝1－P()＝1－0.73＝0.657.
(2)①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况．
当销量为20瓶时，利润为5×20－75＝25元；当销量为30瓶时，利润为5×30－75＝75元；当销量为40瓶时，利润为5×40－75＝125元；当销量为50瓶时，利润为5×50－75＝175元．随机变量X的分布列为
X 25 75 125 175
P 0.3 0.4 0.2 0.1
所以E(X)＝25×0.3＋75×0.4＋125×0.2＋175×0.1＝80.若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况．当销量为20瓶时，利润为5×20－60＝40元；当销量为30瓶时，利润为5×30－60＝90元．随机变量Y的分布列为
Y 40 90
P 0.3 0.7
所以E(Y)＝40×0.3＋90×0.7＝75.
②根据①中的计算结果，E(X)＞E(Y)，
所以早餐店应该每天批发一大箱．
题型二 期望与方差在方法效率中的应用
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知道，该地区居民得此病的概率为0.1%.设有1 000人去验血，给出下面两种化验方法．
方法1：每人逐一进行检查；
方法2：将1 000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验，如果结果呈阴性，那么可断定这10人均无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验．
试问：哪种方法较好？(0.99910≈0.99)
【解】 第1种方法的化验次数为1 000.第2种方法：如果一组的混合血液化验结果是阴性的，就可以断定这10个人均无此病，那么，对这10个人只化验1次；如果结果呈阳性，那么必须对这10个人逐个分别化验，这时对这10个人共需进行11次化验．因为对所有人来说，化验结果呈阳性的概率均为0.001，而且这些人的化验结果是相互独立的，所以每个人的化验次数X的分布列为
X
P (1－0.001)10 1－(1－0.001)10
所以，每个人化验次数X的数学期望为E(X)＝×(1－0.001)10＋×[1－(1－0.001)10]，故1 000个人的化验次数的数学期望为1 000×{×(1－0.001)10＋×[1－(1－0.001)10]}＝1 100－1 000×0.99910≈110.所以，方法2远好于方法1.
[跟踪训练2] (2024·山东德州期末)现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．
(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；
(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？
解：(1)由题知，X的取值范围为{2，4，6，8}，则P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝4)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝6)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝8)＝ eq \f(CC,C) ＝，故X的分布列为
X 2 4 6 8
P
则X的期望E(X)＝2×＋4×＋6×＋8×＝.
(2)方法一：由(1)知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为P＝＋＝，则该参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为Y，则Y～B，故P(Y＝k)＝C··(k＝0，1，…，5)，所以假设当Y＝k时，概率最大，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(k)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(5－k)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(k＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(4－k)，,C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(k)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(5－k)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(k－1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(6－k)，))
解得3≤k≤4，而P(Y＝3)＝P(Y＝4)＝.
故该参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
方法二：由(1)知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为P＝＋＝，则该参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为Y，则Y～B，故P(Y＝k)＝C··(k＝0，1，…，5)，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4 5
P
从分布列中可以看出，概率最大为P(Y＝3)＝P(Y＝4)＝，所以该参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
题型三 期望与方差在投资风险程度分析中的应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.
经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等．
(1)求a，b，c的值；
(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
【解】 (1)依题意，得＋＋a＝1，解得a＝.设投到项目A，B的资金都为x万元，随机变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x －0.2x 0
P
X2 0.3x －0.1x
P b c
所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2.①
又b＋c＝1，②由①②，解得b＝，c＝，所以a＝，b＝，c＝.
(2)选择项目B.理由如下：当投入100万元资金时，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＞D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.
[跟踪训练3] 为了适应新形势，满足市场需求，某企业准备购进新型机器以提高生产效益．已知生产产品的质量以其质量指标值m来衡量，并按照质量指标值m划分产品等级如图表1：
图表1
质量指标值m m≥45 25≤m＜45 m＜25
产品等级 一等品 二等品 三等品
现从试用的新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样品，检验其质量指标值m，得到频率分布直方图，如图表2：
图表2
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-3.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)根据样本估计总体的思想，求该产品的质量指标值m的70%分位数(精确到0.1)；
(2)整理该企业的以往销量数据，获得信息如图表3：
图表3
产品等级 一等品 二等品 三等品
销售率
单件产品原售价 20元 15元 10元
未按原价售出的产品统一按原售价的50%可以全部售出
(产品各等级的销售率为各等级产品销量与其对应产量的比值)
已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：
①质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不低于35；
②单件产品平均利润不低于4元．
已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2 000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新型机器是否达到企业的购进条件．
解：(1)设该产品的质量指标值的70%分位数为x，由题中频率分布直方图可知x＝×10＋45≈46.7.
(2)先分析该产品质量指标值的平均数：由题中频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为＝10×0.02＋20×0.08＋30×0.22＋40×0.32＋50×0.36＝39.2＞35，
故满足购进条件①.
再分析该产品的单件产品的平均利润值：
由题中频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1，故2 000件产品中，一、二、三等品的件数估计值为720，1 080，200，设一、二、三等品的利润分别为w1，w2，w3，2 000件产品的总利润为w，则w1＝720×＝6 300元，w2＝1 080×(5×－2.5×)＝2 160元，w3＝200×＝－600元，w＝6 300＋2 160－600＝7 860元，故2 000件产品的单件平均利润的估计值为7 860÷2 000＝3.93＜4，
故不满足购进条件②.综上，该新型机器没有达到该企业的购进条件．
利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题．解题的关键如下：
(1)建立模型：根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；
(2)分析数据：分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
(3)求值：利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
(4)做出决策：比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策．
题型一 期望与方差在销售利润问题中的应用
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·辽宁朝阳月考)某餐饮公司入驻某校，为满足学生餐饮需求、丰富菜品花色，研发了一套新产品．该产品每份成本6元，售价8元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期报废．公司为决策每两天的产量，先进行试销，统计并整理连续30天的日销量(单位：百份)，假设该新产品每日销量相互独立，得到如下的柱形图：
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-1.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)以试销统计的频率为概率，记每两天中销售该新产品的总份数为ξ(单位：百份)，求ξ的分布列和数学期望；
(2)以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份，28百份两种方案中应选择哪种？
【解】 (1)根据题意可得，ξ的取值范围为{24，25，26，27，28，29，30}．P(ξ＝24)＝×＝，
P(ξ＝25)＝××2＝，
P(ξ＝26)＝××2＋×＝，
P(ξ＝27)＝××2＋××2＝，
P(ξ＝28)＝××2＋×＝，
P(ξ＝29)＝××2＝，
P(ξ＝30)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ 24 25 26 27 28 29 30
P
E(ξ)＝24×＋25×＋26×＋27×＋28×＋29×＋30×＝27.4.
(2)当每两天生产配送27百份时，利润为
(24×2－3×6)×＋(25×2－2×6)×＋(26×2－1×6)×＋27×2×＝51.44(百元).
当每两天生产配送28百份时，利润为(24×2－4×6)×＋(25×2－3×6)×＋(26×2－2×6)×＋(27×2－1×6)×＋28×2×＝49.28(百元).
由于51.44＞49.28，所以选择每两天生产配送27百份．
[跟踪训练1] 某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25hb-2.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25hb-2.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量不少于35瓶的概率；
(2)试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发成本60元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为[45，55]时看作销量为50瓶).
①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列和数学期望；
②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？
注：销售额＝销量×定价；利润＝销售额－批发成本．
解：(1)根据题图中数据，酸奶每天销量不少于35瓶的概率为(0.02＋0.01)×10＝0.3，小于35瓶的概率为0.7.设A：试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量不少于35瓶，则表示“这三天酸奶的销量都小于35瓶”．所以P(A)＝1－P()＝1－0.73＝0.657.
(2)①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况．
当销量为20瓶时，利润为5×20－75＝25元；当销量为30瓶时，利润为5×30－75＝75元；当销量为40瓶时，利润为5×40－75＝125元；当销量为50瓶时，利润为5×50－75＝175元．随机变量X的分布列为
X 25 75 125 175
P 0.3 0.4 0.2 0.1
所以E(X)＝25×0.3＋75×0.4＋125×0.2＋175×0.1＝80.若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况．当销量为20瓶时，利润为5×20－60＝40元；当销量为30瓶时，利润为5×30－60＝90元．随机变量Y的分布列为
Y 40 90
P 0.3 0.7
所以E(Y)＝40×0.3＋90×0.7＝75.
②根据①中的计算结果，E(X)＞E(Y)，
所以早餐店应该每天批发一大箱．
题型二 期望与方差在方法效率中的应用
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知道，该地区居民得此病的概率为0.1%.设有1 000人去验血，给出下面两种化验方法．
方法1：每人逐一进行检查；
方法2：将1 000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验，如果结果呈阴性，那么可断定这10人均无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验．
试问：哪种方法较好？(0.99910≈0.99)
【解】 第1种方法的化验次数为1 000.第2种方法：如果一组的混合血液化验结果是阴性的，就可以断定这10个人均无此病，那么，对这10个人只化验1次；如果结果呈阳性，那么必须对这10个人逐个分别化验，这时对这10个人共需进行11次化验．因为对所有人来说，化验结果呈阳性的概率均为0.001，而且这些人的化验结果是相互独立的，所以每个人的化验次数X的分布列为
X
P (1－0.001)10 1－(1－0.001)10
所以，每个人化验次数X的数学期望为E(X)＝×(1－0.001)10＋×[1－(1－0.001)10]，故1 000个人的化验次数的数学期望为1 000×{×(1－0.001)10＋×[1－(1－0.001)10]}＝1 100－1 000×0.99910≈110.所以，方法2远好于方法1.
[跟踪训练2] (2024·山东德州期末)现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．
(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；
(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？
解：(1)由题知，X的取值范围为{2，4，6，8}，则P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝4)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝6)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝8)＝ eq \f(CC,C) ＝，故X的分布列为
X 2 4 6 8
P
则X的期望E(X)＝2×＋4×＋6×＋8×＝.
(2)方法一：由(1)知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为P＝＋＝，则该参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为Y，则Y～B，故P(Y＝k)＝C··(k＝0，1，…，5)，所以假设当Y＝k时，概率最大，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(k)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(5－k)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(k＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(4－k)，,C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(k)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(5－k)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(k－1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(6－k)，))
解得3≤k≤4，而P(Y＝3)＝P(Y＝4)＝.
故该参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
方法二：由(1)知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为P＝＋＝，则该参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为Y，则Y～B，故P(Y＝k)＝C··(k＝0，1，…，5)，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4 5
P
从分布列中可以看出，概率最大为P(Y＝3)＝P(Y＝4)＝，所以该参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
题型三 期望与方差在投资风险程度分析中的应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.
经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等．
(1)求a，b，c的值；
(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
【解】 (1)依题意，得＋＋a＝1，解得a＝.设投到项目A，B的资金都为x万元，随机变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x －0.2x 0
P
X2 0.3x －0.1x
P b c
所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2.①
又b＋c＝1，②由①②，解得b＝，c＝，所以a＝，b＝，c＝.
(2)选择项目B.理由如下：当投入100万元资金时，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＞D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.
[跟踪训练3] 为了适应新形势，满足市场需求，某企业准备购进新型机器以提高生产效益．已知生产产品的质量以其质量指标值m来衡量，并按照质量指标值m划分产品等级如图表1：
图表1
质量指标值m m≥45 25≤m＜45 m＜25
产品等级 一等品 二等品 三等品
现从试用的新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样品，检验其质量指标值m，得到频率分布直方图，如图表2：
图表2
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-3.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)根据样本估计总体的思想，求该产品的质量指标值m的70%分位数(精确到0.1)；
(2)整理该企业的以往销量数据，获得信息如图表3：
图表3
产品等级 一等品 二等品 三等品
销售率
单件产品原售价 20元 15元 10元
未按原价售出的产品统一按原售价的50%可以全部售出
(产品各等级的销售率为各等级产品销量与其对应产量的比值)
已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：
①质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不低于35；
②单件产品平均利润不低于4元．
已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2 000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新型机器是否达到企业的购进条件．
解：(1)设该产品的质量指标值的70%分位数为x，由题中频率分布直方图可知x＝×10＋45≈46.7.
(2)先分析该产品质量指标值的平均数：由题中频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为＝10×0.02＋20×0.08＋30×0.22＋40×0.32＋50×0.36＝39.2＞35，
故满足购进条件①.
再分析该产品的单件产品的平均利润值：
由题中频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1，故2 000件产品中，一、二、三等品的件数估计值为720，1 080，200，设一、二、三等品的利润分别为w1，w2，w3，2 000件产品的总利润为w，则w1＝720×＝6 300元，w2＝1 080×(5×－2.5×)＝2 160元，w3＝200×＝－600元，w＝6 300＋2 160－600＝7 860元，故2 000件产品的单件平均利润的估计值为7 860÷2 000＝3.93＜4，
故不满足购进条件②.综上，该新型机器没有达到该企业的购进条件．