强化课 统计与概率的综合问题（教师版）
文档属性
| 名称 | 强化课 统计与概率的综合问题（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 统计与概率的综合问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 某市某区对全区高中生的身高(单位：cm)进行统计，得到的频率分布直方图如图所示．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25CXM47.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CXM47.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布列及均值E(X)；
(2)已知本市身高在区间[180，210]的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%，现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间[180，210]，试估计此人是高中生的概率．
【解】 (1)由题中频率分布直方图可得(0.027＋0.025＋0.022＋x＋0.01＋0.001)×10＝1，解得x＝0.015.所以X的分布列为
X 155 165 175 185 195 205
P 0.22 0.27 0.25 0.15 0.1 0.01
所以E(X)＝0.22×155＋0.27×165＋0.25×175＋0.15×185＋0.1×195＋0.01×205＝171.7.
(2)设事件A为“任取一名本市市民，此人的身高位于区间[180，210]”，事件B为“任取一名本市市民为高中生”，则P(A)＝10%，P(B)＝1.2%，所以P(B∩A)＝P(A∩B)＝1.2%×(0.15＋0.1＋0.01)＝3.12×10－3.所以P(B|A)＝＝0.031 2，所以此人是高中生的概率为0.031 2.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
统计图表与概率综合问题的求解策略
(1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；
(2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等)；
(3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断．
[跟踪训练1] (2024·山东济南模拟)为了了解观众对某电视剧的评价，某机构随机抽取了10位观众对该电视剧打分(满分为10分)，得到的数据如表所示：
观众序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
评分 7.8 8.9 8.6 7.4 8.5 8.5 9.5 9.9 8.3 9.1
(1)求这组数据的75%分位数；
(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对该电视剧进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、均值与方差．
解：(1)将这组数据从小到大进行排列，7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，因为75%×10＝7.5，所以第8个数据即为所求，所以这组数据的75%分位数为9.1.
(2)样本中评分超过9.0的有3个，所以评分超过9.0的概率为0.3，依题意，X的取值范围是{0，1，2，3}，且X～B(3，0.3)，
则P(X＝0)＝C×0.73＝0.343，
P(X＝1)＝C×0.3×0.72＝0.441，
P(X＝2)＝C×0.32×0.7＝0.189，
P(X＝3)＝C×0.33＝0.027，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
所以E(X)＝3×0.3＝0.9，
D(X)＝3×0.3×0.7＝0.63.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·辽宁阜新月考)皮影戏是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种．皮影制作是一项复杂的制作技艺，每次制作分为画图与剪裁、雕刻与着色、刷清与装备三道主要工序．小李每道主要工序制作合格的概率依次为，，，三道主要工序彼此独立，只有每道主要工序制作都合格的皮影才视为合格作品．
(1)求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；
(2)若小李制作15次，其中合格作品数为X，求X的均值与方差；
(3)随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，让他为其制作演出作品，并决定试用一段时间，其中前7天制作合格作品数y与时间t的关系如表所示：
时间/t 1 2 3 4 5 6 7
合格作品数/y 3 4 3 4 7 6 8
其中合格作品数y与时间t具有线性相关关系，求y关于t的回归直线方程(精确到0.01)，并预测第15天能制作多少个合格作品(精确到1)
参考数据及公式：iyi＝163，在回归直线方程＝x＋中，＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x) \x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)－n\x\to(x)2) ，＝－.
【解】 (1)小李制作一次合格作品的概率为P1＝××＝，
小李进行3次制作，恰有一次合格作品的概率P2＝C××＝.
(2)由题知，X～B，则E(X)＝15×＝，D(X)＝15××＝.
(3)由题表数据得，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(3＋4＋3＋4＋7＋6＋8)＝5，＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，则＝＝≈0.82，＝－＝5－×4≈1.71，所以y关于t的回归直线方程为＝0.82t＋1.71，
当t＝15时，＝0.82×15＋1.71≈14，所以预测第15天能制作14个合格作品．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
回归分析与概率综合问题的解题思路
(1)此类问题的特点为同一生活实践情境下设计两类问题，即①求回归方程(预测)；②求某随机变量的概率(范围)、均值、方差等；
(2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非线性问题．求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；
(3)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型．
[跟踪训练2] (2024·辽宁铁岭模拟)今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长实现稳中有进的可喜现象，服务业的消费越来越火爆，某地一些超市也纷纷加大了广告促销．现随机抽取7家超市，得到其广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如表所示：
超市 A B C D E F G
广告支出x/万元 1 2 4 6 10 13 20
销售额y/万元 19 32 44 40 52 53 54
(1)建立y关于x的回归直线方程＝x＋(系数精确到0.01)；
(2)若将超市的销售额y与广告支出x的比值称为该超市的广告效率值μ，当μ≥10时，称该超市的广告为“好广告”．从这7家超市中随机抽取2家超市，求恰好有一家超市的广告为“好广告”的概率．
参考数据及公式：iyi＝2 788，＝726，＝13 350，＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n \o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ，＝－.
解：(1)＝×(1＋2＋4＋6＋10＋13＋20)＝8，＝×(19＋32＋44＋40＋52＋53＋54)＝42，＝＝≈1.57，＝42－×8≈29.45.所以回归直线方程为＝1.57x＋29.45.
(2)依题意得，μA＝19，μB＝＝16，μC＝＝11，μD＝<10，μE＝<10，μF＝<10，μG＝<10，则共有3家超市的广告是“好广告”．
从这7家超市中随机抽取2家超市，
共有AB，AC，AD，AE，AF，AG，BC，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，共21个样本点．设事件M为“从这7家超市中随机抽取2家超市，恰好有一家超市的广告为‘好广告’”，
事件M包含AD，AE，AF，AG，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，共12个样本点．则P(M)＝＝.所以恰好有一家超市的广告为“好广告”的概率为.
题型三 独立性检验与概率的交汇
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
喜爱 不喜爱 总计
男 6
女 10
总计 48
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；
(2)能否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？
(3)现从女生中随机抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
【解】 (1)依题意，喜爱打篮球的学生人数为48×＝32，完善2×2列联表：
喜爱 不喜爱 总计
男 22 6 28
女 10 10 20
总计 32 16 48
(2)由(1)得χ2＝≈4.286，查表可得P(χ2≥3.841)＝0.05，因为4.286>3.841，所以有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
(3)由题知X的取值范围是{0，1，2}，
则P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(C,C) ＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
独立性检验与概率综合问题的解题思路
本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验与概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后与相应的临界值进行比较，其次按照随机变量满足的概率模型求解．
[跟踪训练3] “惟楚有材”牌坊地处武汉市的明清贡院旧址，象征着荆楚仕子朱衣点额的辉煌盛况和江城文脉的源远流长．某学生随机统计了来此参观的100名游客，其中40名女性中有30名在“惟楚有材”牌坊下拍照，60名男性中有20名在“惟楚有材”牌坊下拍照．
(1)用女性拍照的频率估计概率，若再来4名女性(是否拍照互相之间不影响)，求至少有2名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；
(2)能否有99.9%的把握认为游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别有关．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)用女性拍照的频率估计概率，每名女性拍照的概率p＝＝，因为女性是否拍照互相之间不影响，所以4名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照相互独立，
当拍照的女性有2名时，概率为C＝，当拍照的女性有3名时，概率为C＝，当拍照的女性有4名时，概率为C＝，
所以至少有2名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率为＋＋＝.
(2)列出2×2列联表：
男性 女性 总计
拍照 20 30 50
不拍照 40 10 50
总计 60 40 100
由表得χ2＝≈16.667，查表可得P(χ2≥10.828)＝0.001，因为16.667>10.828，所以有99.9%的把握认为游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别有关．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 某市某区对全区高中生的身高(单位：cm)进行统计，得到的频率分布直方图如图所示．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25CXM47.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CXM47.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布列及均值E(X)；
(2)已知本市身高在区间[180，210]的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%，现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间[180，210]，试估计此人是高中生的概率．
【解】 (1)由题中频率分布直方图可得(0.027＋0.025＋0.022＋x＋0.01＋0.001)×10＝1，解得x＝0.015.所以X的分布列为
X 155 165 175 185 195 205
P 0.22 0.27 0.25 0.15 0.1 0.01
所以E(X)＝0.22×155＋0.27×165＋0.25×175＋0.15×185＋0.1×195＋0.01×205＝171.7.
(2)设事件A为“任取一名本市市民，此人的身高位于区间[180，210]”，事件B为“任取一名本市市民为高中生”，则P(A)＝10%，P(B)＝1.2%，所以P(B∩A)＝P(A∩B)＝1.2%×(0.15＋0.1＋0.01)＝3.12×10－3.所以P(B|A)＝＝0.031 2，所以此人是高中生的概率为0.031 2.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
统计图表与概率综合问题的求解策略
(1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；
(2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等)；
(3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断．
[跟踪训练1] (2024·山东济南模拟)为了了解观众对某电视剧的评价，某机构随机抽取了10位观众对该电视剧打分(满分为10分)，得到的数据如表所示：
观众序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
评分 7.8 8.9 8.6 7.4 8.5 8.5 9.5 9.9 8.3 9.1
(1)求这组数据的75%分位数；
(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对该电视剧进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、均值与方差．
解：(1)将这组数据从小到大进行排列，7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，因为75%×10＝7.5，所以第8个数据即为所求，所以这组数据的75%分位数为9.1.
(2)样本中评分超过9.0的有3个，所以评分超过9.0的概率为0.3，依题意，X的取值范围是{0，1，2，3}，且X～B(3，0.3)，
则P(X＝0)＝C×0.73＝0.343，
P(X＝1)＝C×0.3×0.72＝0.441，
P(X＝2)＝C×0.32×0.7＝0.189，
P(X＝3)＝C×0.33＝0.027，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
所以E(X)＝3×0.3＝0.9，
D(X)＝3×0.3×0.7＝0.63.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·辽宁阜新月考)皮影戏是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种．皮影制作是一项复杂的制作技艺，每次制作分为画图与剪裁、雕刻与着色、刷清与装备三道主要工序．小李每道主要工序制作合格的概率依次为，，，三道主要工序彼此独立，只有每道主要工序制作都合格的皮影才视为合格作品．
(1)求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；
(2)若小李制作15次，其中合格作品数为X，求X的均值与方差；
(3)随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，让他为其制作演出作品，并决定试用一段时间，其中前7天制作合格作品数y与时间t的关系如表所示：
时间/t 1 2 3 4 5 6 7
合格作品数/y 3 4 3 4 7 6 8
其中合格作品数y与时间t具有线性相关关系，求y关于t的回归直线方程(精确到0.01)，并预测第15天能制作多少个合格作品(精确到1)
参考数据及公式：iyi＝163，在回归直线方程＝x＋中，＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x) \x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)－n\x\to(x)2) ，＝－.
【解】 (1)小李制作一次合格作品的概率为P1＝××＝，
小李进行3次制作，恰有一次合格作品的概率P2＝C××＝.
(2)由题知，X～B，则E(X)＝15×＝，D(X)＝15××＝.
(3)由题表数据得，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(3＋4＋3＋4＋7＋6＋8)＝5，＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，则＝＝≈0.82，＝－＝5－×4≈1.71，所以y关于t的回归直线方程为＝0.82t＋1.71，
当t＝15时，＝0.82×15＋1.71≈14，所以预测第15天能制作14个合格作品．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
回归分析与概率综合问题的解题思路
(1)此类问题的特点为同一生活实践情境下设计两类问题，即①求回归方程(预测)；②求某随机变量的概率(范围)、均值、方差等；
(2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非线性问题．求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；
(3)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型．
[跟踪训练2] (2024·辽宁铁岭模拟)今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长实现稳中有进的可喜现象，服务业的消费越来越火爆，某地一些超市也纷纷加大了广告促销．现随机抽取7家超市，得到其广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如表所示：
超市 A B C D E F G
广告支出x/万元 1 2 4 6 10 13 20
销售额y/万元 19 32 44 40 52 53 54
(1)建立y关于x的回归直线方程＝x＋(系数精确到0.01)；
(2)若将超市的销售额y与广告支出x的比值称为该超市的广告效率值μ，当μ≥10时，称该超市的广告为“好广告”．从这7家超市中随机抽取2家超市，求恰好有一家超市的广告为“好广告”的概率．
参考数据及公式：iyi＝2 788，＝726，＝13 350，＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n \o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ，＝－.
解：(1)＝×(1＋2＋4＋6＋10＋13＋20)＝8，＝×(19＋32＋44＋40＋52＋53＋54)＝42，＝＝≈1.57，＝42－×8≈29.45.所以回归直线方程为＝1.57x＋29.45.
(2)依题意得，μA＝19，μB＝＝16，μC＝＝11，μD＝<10，μE＝<10，μF＝<10，μG＝<10，则共有3家超市的广告是“好广告”．
从这7家超市中随机抽取2家超市，
共有AB，AC，AD，AE，AF，AG，BC，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，共21个样本点．设事件M为“从这7家超市中随机抽取2家超市，恰好有一家超市的广告为‘好广告’”，
事件M包含AD，AE，AF，AG，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，共12个样本点．则P(M)＝＝.所以恰好有一家超市的广告为“好广告”的概率为.
题型三 独立性检验与概率的交汇
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
喜爱 不喜爱 总计
男 6
女 10
总计 48
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；
(2)能否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？
(3)现从女生中随机抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
【解】 (1)依题意，喜爱打篮球的学生人数为48×＝32，完善2×2列联表：
喜爱 不喜爱 总计
男 22 6 28
女 10 10 20
总计 32 16 48
(2)由(1)得χ2＝≈4.286，查表可得P(χ2≥3.841)＝0.05，因为4.286>3.841，所以有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
(3)由题知X的取值范围是{0，1，2}，
则P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(C,C) ＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
独立性检验与概率综合问题的解题思路
本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验与概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后与相应的临界值进行比较，其次按照随机变量满足的概率模型求解．
[跟踪训练3] “惟楚有材”牌坊地处武汉市的明清贡院旧址，象征着荆楚仕子朱衣点额的辉煌盛况和江城文脉的源远流长．某学生随机统计了来此参观的100名游客，其中40名女性中有30名在“惟楚有材”牌坊下拍照，60名男性中有20名在“惟楚有材”牌坊下拍照．
(1)用女性拍照的频率估计概率，若再来4名女性(是否拍照互相之间不影响)，求至少有2名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；
(2)能否有99.9%的把握认为游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别有关．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)用女性拍照的频率估计概率，每名女性拍照的概率p＝＝，因为女性是否拍照互相之间不影响，所以4名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照相互独立，
当拍照的女性有2名时，概率为C＝，当拍照的女性有3名时，概率为C＝，当拍照的女性有4名时，概率为C＝，
所以至少有2名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率为＋＋＝.
(2)列出2×2列联表：
男性 女性 总计
拍照 20 30 50
不拍照 40 10 50
总计 60 40 100
由表得χ2＝≈16.667，查表可得P(χ2≥10.828)＝0.001，因为16.667>10.828，所以有99.9%的把握认为游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别有关．