4.1.2 第1课时 乘法公式（教师版）
文档属性
| 名称 | 4.1.2 第1课时 乘法公式（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 142.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
4．1.2 乘法公式与全概率公式
第1课时 乘法公式
1.了解由条件概率公式推导乘法公式的过程并能利用乘法公式解决问题． 2.掌握条件概率的乘法公式及其推广． 3.会用乘法公式求相应事件的概率．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
我们已经学习：若事件A与事件B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B).请思考下列问题：
思考1 已知P(B|A)＝P(B)，事件A与事件B相互独立吗？
提示：相互独立，因为P(B|A)＝P(B)，所以＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，即事件A与事件B相互独立．
思考2 已知P(B|A)≠P(B)，如何求P(AB)
提示：由P(B|A)＝，可得P(AB)＝P(A)·P(B|A).
由条件概率的计算公式P(B|A)＝可知，P(BA)＝____________，这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．一般地，这个结论称为乘法公式．
[答案自填] P(A)P(B|A)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(2024·山东威海期末)已知P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.3，求P(AB)；
(2)已知P(B)＝0.2，P(A|B)＝0.15，P(B|A)＝0.3，求P(A).
【解】 (1)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.3＝0.18.
(2)因为P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.2×0.15＝0.03，而P(AB)＝P(A)P(B|A)，
所以P(A)＝＝＝0.1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
概率的乘法公式
(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)是条件概率公式的变形式，它反映了知二求一的方程思想．
(2)分清P(A)，P(A|B)，求解时直接利用公式P(AB)＝P(A)P(B|A)即可．
[跟踪训练1] 设P(A|B)＝，P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)＝________．
解析：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，又P(AB)＝P(B)P(A|B)，所以P(B)＝＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例1)已知一袋中装有10个除颜色外其余都相同的球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率．
【解】 设Ai表示第i次取到的是黑球(i＝1，2)，则A1A2表示两次取到的均为黑球．由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.
【变式探究】
1．(设问变式)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率．
解：用A表示“第一次取得黑球”，则P(A)＝，用B表示“第二次取得白球”，则P(B|A)＝.故所求概率为P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝×＝.
2．(设问变式)在本例条件不变的情况下，求两次均取得白球的概率．
解：用Bi表示“第i次取得白球”，i＝1，2，则B1B2表示两次取到的均是白球．由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝.所以P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
乘法公式是计算“积事件”概率的一种方法．即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解．
[跟踪训练2] 为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼．已知某学生通过第一关的概率为0.8，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5，则该同学两关均通过的概率为________．
解析：设A表示该同学通过第一关，B表示通过第二关，在通过第一关的前提下通过第二关的概率为P(B|A)，所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.5×0.8＝0.4.
答案：0.4
假设Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0，则P(A1A2A3)＝____________________________________一定成立，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率．
[注意] 若Ai(i＝1，2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1).
[答案自填] P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破、第二次落下打破的概率为，若前两次落下均未打破、第三次落下打破的概率为，则透镜落下三次未打破的概率为________．
【解析】 设Ai(i＝1，2，3)表示“透镜第i次落下打破”，B表示“透镜落下三次未打破”．因为B＝123，故有P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1)·P(3|12)＝××＝.
【答案】
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的相互关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1)求解．
[跟踪训练3] (2024·内蒙古呼和浩特月考)已知10个考签中有4个难签，3位同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为________．
解析：设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝××＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P57练习AT1改编)已知P(A|B)＝，P(B)＝，则P(BA)＝( )
A． B． C． D．
解析：选D.P(BA)＝P(A|B)P(B)＝×＝.故选D.
2．以A，B分别表示某城市甲、乙两个区在某一年内出现的停水天数，据记载知P(A)＝0.35，P(B)＝0.30，P(A|B)＝0.15，则两个区同时发生停水的概率为( )
A．0.6 B．0.65
C．0.45 D．0.045
解析：选D.P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.30×0.15＝0.045.故选D.
3．(2024·北京市西城区期末)若P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.2，则P(AB)＝________；P(A∪B)＝________．
解析：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.2＝0.12，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.6＋0.3－0.12＝0.78.
答案：0.12 0.78
4．在一个盒子中有大小与质地均相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，求：
(1)在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率；
(2)第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率．
解：(1)设A表示第一个人摸出红球，B表示第二个人摸出白球，则P(A)＝＝，第一个人摸出1个红球后，盒子中还有19个球，其中9个红球，10个白球，故在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为P(B|A)＝.
(2)由(1)得P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
(2)乘法公式的推广：若P(A1)>0，P(A1A2)>0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).
2．须贯通：乘法公式运用时常用到转化化归思想．
3．应注意：P(AB)是事件A，B同时发生的概率，P(B|A)是事件A发生的条件下事件B发生的概率，且P(AB)≤P(B|A).
第1课时 乘法公式
1.了解由条件概率公式推导乘法公式的过程并能利用乘法公式解决问题． 2.掌握条件概率的乘法公式及其推广． 3.会用乘法公式求相应事件的概率．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
我们已经学习：若事件A与事件B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B).请思考下列问题：
思考1 已知P(B|A)＝P(B)，事件A与事件B相互独立吗？
提示：相互独立，因为P(B|A)＝P(B)，所以＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，即事件A与事件B相互独立．
思考2 已知P(B|A)≠P(B)，如何求P(AB)
提示：由P(B|A)＝，可得P(AB)＝P(A)·P(B|A).
由条件概率的计算公式P(B|A)＝可知，P(BA)＝____________，这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．一般地，这个结论称为乘法公式．
[答案自填] P(A)P(B|A)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(2024·山东威海期末)已知P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.3，求P(AB)；
(2)已知P(B)＝0.2，P(A|B)＝0.15，P(B|A)＝0.3，求P(A).
【解】 (1)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.3＝0.18.
(2)因为P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.2×0.15＝0.03，而P(AB)＝P(A)P(B|A)，
所以P(A)＝＝＝0.1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
概率的乘法公式
(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)是条件概率公式的变形式，它反映了知二求一的方程思想．
(2)分清P(A)，P(A|B)，求解时直接利用公式P(AB)＝P(A)P(B|A)即可．
[跟踪训练1] 设P(A|B)＝，P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)＝________．
解析：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，又P(AB)＝P(B)P(A|B)，所以P(B)＝＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例1)已知一袋中装有10个除颜色外其余都相同的球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率．
【解】 设Ai表示第i次取到的是黑球(i＝1，2)，则A1A2表示两次取到的均为黑球．由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.
【变式探究】
1．(设问变式)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率．
解：用A表示“第一次取得黑球”，则P(A)＝，用B表示“第二次取得白球”，则P(B|A)＝.故所求概率为P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝×＝.
2．(设问变式)在本例条件不变的情况下，求两次均取得白球的概率．
解：用Bi表示“第i次取得白球”，i＝1，2，则B1B2表示两次取到的均是白球．由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝.所以P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
乘法公式是计算“积事件”概率的一种方法．即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解．
[跟踪训练2] 为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼．已知某学生通过第一关的概率为0.8，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5，则该同学两关均通过的概率为________．
解析：设A表示该同学通过第一关，B表示通过第二关，在通过第一关的前提下通过第二关的概率为P(B|A)，所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.5×0.8＝0.4.
答案：0.4
假设Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0，则P(A1A2A3)＝____________________________________一定成立，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率．
[注意] 若Ai(i＝1，2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1).
[答案自填] P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破、第二次落下打破的概率为，若前两次落下均未打破、第三次落下打破的概率为，则透镜落下三次未打破的概率为________．
【解析】 设Ai(i＝1，2，3)表示“透镜第i次落下打破”，B表示“透镜落下三次未打破”．因为B＝123，故有P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1)·P(3|12)＝××＝.
【答案】
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的相互关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1)求解．
[跟踪训练3] (2024·内蒙古呼和浩特月考)已知10个考签中有4个难签，3位同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为________．
解析：设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝××＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P57练习AT1改编)已知P(A|B)＝，P(B)＝，则P(BA)＝( )
A． B． C． D．
解析：选D.P(BA)＝P(A|B)P(B)＝×＝.故选D.
2．以A，B分别表示某城市甲、乙两个区在某一年内出现的停水天数，据记载知P(A)＝0.35，P(B)＝0.30，P(A|B)＝0.15，则两个区同时发生停水的概率为( )
A．0.6 B．0.65
C．0.45 D．0.045
解析：选D.P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.30×0.15＝0.045.故选D.
3．(2024·北京市西城区期末)若P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.2，则P(AB)＝________；P(A∪B)＝________．
解析：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.2＝0.12，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.6＋0.3－0.12＝0.78.
答案：0.12 0.78
4．在一个盒子中有大小与质地均相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，求：
(1)在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率；
(2)第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率．
解：(1)设A表示第一个人摸出红球，B表示第二个人摸出白球，则P(A)＝＝，第一个人摸出1个红球后，盒子中还有19个球，其中9个红球，10个白球，故在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为P(B|A)＝.
(2)由(1)得P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
(2)乘法公式的推广：若P(A1)>0，P(A1A2)>0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).
2．须贯通：乘法公式运用时常用到转化化归思想．
3．应注意：P(AB)是事件A，B同时发生的概率，P(B|A)是事件A发生的条件下事件B发生的概率，且P(AB)≤P(B|A).