4.1.2　第3课时　课后达标检测（教师版）

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1．测谎仪是用来检测一个人是否说谎的仪器，经常用于征兵、安全部门的筛查、侦破、诉讼等领域，定义事件T表示“检测出一个人在说谎”，L表示“一个人真正说谎”．根据经验，P(T|L)＝0.88，P(|)＝0.86.假设P(L)＝0.01.在一次试验中，检测出被测对象在说谎，则这个人真正说谎的概率为(　　)
A．0.84 B．0.147 4 C．0.06 D．0.088
解析：选C.P(T)＝P(L)P(T|L)＋P()P(T|)＝0.01×0.88＋0.99×0.14＝0.147 4.由贝叶斯公式得P(L|T)＝＝≈0.06.故选C.
2．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为(　　)
A． B． C． D．
解析：选A.设事件Ai表示“取到i号袋子”(i＝1，2，3，4，5)，事件B表示“取到白球”，则由贝叶斯公式得P(A1|B)＝
＝＝.故选A.
3．一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为(　　)
A． B． C． D．
解析：选A.记事件A1：放入水果分选机的苹果为大果，事件A2：放入水果分选机的苹果为小果，记事件B：水果分选机筛选的苹果为“大果”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式可得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝，
P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝×＝，因此P(A1|B)＝＝×＝.故选A.
4．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为.若已知他第二次及格，则他第一次及格的概率为(　　)
A． B． C． D．
解析：选D.记Ai＝{该学生第i次考试及格}，i＝1，2.且已知P(A1)＝p，P(A2|A1)＝p，P(1)＝1－p，P(A2|1)＝.于是，由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝(1＋p).由贝叶斯公式得P(A1|A2)＝＝.故选D.
5．某卡车共装有10箱水果，其中5箱苹果、5箱梨子．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是苹果，则丢失的一箱也是苹果的概率为(　　)
A． B． C． D．
解析：选B.记事件A表示丢失一箱后任取两箱是苹果，记事件B1表示丢失的一箱为苹果，B2表示丢失的一箱为梨子，则P(B1)＝P(B2)＝，P(A|B1)＝ eq \f(C,C) ＝＝，P(A|B2)＝ eq \f(C,C) ＝＝，由全概率公式可得P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝，所以P(B1|A)＝＝＝.故选B.
6．(多选)(2024·北京市西城区月考)在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人．则下列结论正确的是(　　)
A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为
B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为
C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为
D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为
解析：选AB.A选项，设事件A1，A2分别表示抽到的学生是男生、女生，事件B表示抽到的学生喜欢体育锻炼．由题意得P(A1)＝40%，P(A2)＝60%，P(B|A1)＝80%，P(B|A2)＝60%，则P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝32%＝，故抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为，A正确；B选项，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝68%＝，B正确；C选项，由B选项可得P(A1|B)＝＝，C错误；D选项，由C选项可得P(A2|B)＝1－P(A1|B)＝，D错误．故选AB.
7．电报发射台发出“·”和“－”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“－”时失真的概率为，则接收台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
解析：设A表示收到“·”，B表示发出“·”，由贝叶斯公式，得P(B|A)
＝
＝＝.
答案：
8．(2024·内蒙古呼和浩特高二统考期末)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：P(B|A)＝.某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5.如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8.如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为________．
解析：设事件A为“甲同学周日去A馆”，事件B为“甲同学周六去A馆”，即求P(B|A)，根据题意得P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.4，P(A|)＝0.8，
则P(B|A)＝＝
＝.
答案：
9．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．现取到一件产品为正品，则它是由甲、乙、丙三个厂中________厂生产的可能性最大．(填甲、乙、丙)
解析：“取到一件产品为正品”的概率为
0．95×＋0.90×＋0.80×＝0.86，则它是甲厂的概率为＝，是乙厂的概率为＝，是丙厂的概率为＝＝，所以它是丙厂生产的可能性最大．
答案：丙
10．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求(结果保留两位小数)：
(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；
(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率．
解：(1)设B表示“顾客买下该箱玻璃杯”，Ai表示“抽到的一箱中有i只残次品”，i＝0，1，2.
事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1只残次品或有2只残次品．显然A0，A1，A2两两互斥．
由题意知P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1，P(B|A0)＝ eq \f(C,C) ＝1，P(B|A1)＝ eq \f(C,C) ＝，P(B|A2)＝ eq \f(C,C) ＝，
由全概率公式得P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)≈0.94.
(2)由贝叶斯公式，得P(A0|B)＝≈≈0.85.
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11．(多选)(2024·贵州遵义期末)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)＝.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件A1，B1，且P(A1)＝，P(B1)＝，第二天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件A2，B2，且P(A2|A1)＝，P(A2|B1)＝，已知王同学每天按时到甲、乙两家餐厅中的一家就餐，则(　　)
A．P(A2)＝ B．P(B1|A2)＝
C．P(A1|B2)＝ D．P(A2|B2)＝
解析：选ABC.对于A，因为P(A2|A1)＝＝，P(A2|B1)＝＝，所以P(A2)·P(A1|A2)＝，P(A2)P(B1|A2)＝，所以P(A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＋P(B1)·P(A2|B1)＝×＋×＝，故A正确；对于B，P(B1|A2)＝＝＝，故B正确；对于C，P(B2)＝1－P(A2)＝1－＝，P(A1|B2)＝＝＝＝，故C正确；对于D，因为A2，B2为对立事件，则P(A2|B2)＝0，故D错误．故选ABC.
12．8支枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校准过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则B1，B2共同构成样本空间Ω.P(A|B1)＝0.8，P(B1)＝，P(A|B2)＝0.3，P(B2)＝，根据全概率公式得P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.8×＋0.3×＝，所以P(B1|A)＝＝＝＝.故选B.
13．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是________；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是________．
解析：设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收到的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收到的信号为1”．由题意可知P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.9，P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.05，P(|)＝0.95，则P()＝P(|A)·P(A)＋P(|)P()＝0.1×0.5＋0.95×0.5＝0.525；P(|)＝＝＝.
答案：0.525　
14.(2024·山东潍坊阶段练习)某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子(如图)，其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球．
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率判断该球取自哪个箱子的可能性更大．
解：(1)记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，则P(A)＝P()＝，P(B|A)＝＝，P(B|)＝，由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝.
(2)该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
该球是取自甲箱的概率P(A|B)＝＝＝，该球取自乙箱的概率P(|B)＝＝＝，因为P(A|B)＜P(|B)所以该球取自乙箱的可能性更大．
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15．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产14 mm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为，，.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为________．
解析：记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件A1，A2，A3，记取到的芯片是次品为事件B，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故P(A1|B)＝＝＝，则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.
答案：
16．假定患有疾病d1，d2，d3中的某一个可能出现症状S＝{S1，S2，S3，S4}中一个或多个，其中：
疾病 人数 出现S中一个或多个症状人数
d1 7 750 7 500
d2 5 250 4 200
d3 7 000 3 500
S1＝食欲不振；S2＝胸痛；S3＝呼吸急促；S4＝发热．现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数据：当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，在没有别的可依据的诊断手段情况下，推测该病人患有这三种疾病中哪一种较准确(结果保留四位小数)
解：设A表示事件“患者出现S中的某些症状”，Di表示事件“患者患有疾病di”(i＝1，2，3)，由于该问题数据很大，用事件的频率近似作为概率，由题中统计数据可知P(D1)＝＝0.387 5，P(D2)＝＝0.262 5，P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967 7，P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5，所以P(A)＝P(D1)·P(A|D1)＋P(D2)P(A|D2)＋P(D3)P(A|D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76，由贝叶斯公式可得P(D1|A)＝＝≈0.493 4，P(D2|A)＝＝≈0.276 3，P(D3|A)＝＝≈0.230 3，所以推测病人患有疾病d1较准确．