4.1.3　独立性与条件概率的关系（教师版）

4．1.3　独立性与条件概率的关系
1.在具体情境中，了解独立性与条件概率的关系．　2.了解两个事件相互独立的概念．
3．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF"
思考　抛掷一枚均匀的硬币，在第一次抛掷结果是正面的情况下，第二次是正面的概率是多少？
在第一次抛掷结果是正面的情况下，第二次是反面的概率是多少？
在第一次抛掷结果是反面的情况下，第二次是正面的概率是多少？
在第一次抛掷结果是反面的情况下，第二次是反面的概率是多少？
提示：答案都是，因为第一次抛掷结果是正面还是反面不会影响第二次抛掷结果的概率，他们是相互独立的．
(1)设A，B为两个事件，A与B相互独立的充要条件是P(AB)＝________________；
(2)条件概率与独立性的关系：当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝________或当P(A)＞0时，A与B独立的充要条件是P(B|A)＝________．
同时说明，当P(A|B)≠P(A)时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是不独立的．
[答案自填] P(A)P(B)　P(A)　P(B)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" 　(多选)A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则(　　)
A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥
C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立
【解析】　对于A选项，由题意可知事件甲和事件乙可以同时发生，故甲与乙不是互斥事件，故A选项错误； 对于B选项，丙与丁不会同时发生，故它们互斥，故B选项正确；对于C选项，因为P(甲)＝，P(乙)＝＝，P(甲乙)＝×，所以P(甲)×P(乙)＝P(甲乙)，所以甲与乙相互独立，故C选项正确；对于D选项，因为P(丁)＝×＋×＝，P(乙丁)＝×＝，所以P(乙)×P(丁)＝P(乙丁)，故乙与丁相互独立，故D选项正确．故选BCD.
【答案】　BCD
eq \a\vs4\al()
两个事件是否相互独立的判断方法
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
(3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．　
[跟踪训练1] 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
解析：选B.事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率P(甲丙)＝0，事件甲和事件丁同时发生的概率P(甲丁)＝，事件乙和事件丙同时发生的概率P(乙丙)＝，事件丙和事件丁同时发生的概率P(丙丁)＝0.则P(丙|甲)＝＝0≠P(丙)，甲与丙不相互独立；P(丁|甲)＝＝＝P(丁)，甲与丁相互独立；P(丙|乙)＝＝≠P(丙)，乙与丙不相互独立；P(丙|丁)＝＝0≠P(丙)，丙与丁不相互独立．
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 　(对接教材例2)已知某车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲种保险与购买乙种保险相互独立．
(1)求该车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求该车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；
(3)该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
【解】　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
(3)方法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件，所以P(E)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
方法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件，所以P(E)＝1－P()＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
eq \a\vs4\al()
一般地，已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生的概率为1－P( ).
(2)A，B都发生的概率为P(AB).
(3)A，B都不发生的概率为P( ).
(4)A，B恰有一个发生的概率为P(A)＋P(B).
(5)A，B中至多有一个发生的概率为P(A)＋P(B)＋P( ).　
[跟踪训练2] 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，且各人是否当选互不影响．
(1)求三人中恰有一名同学当选的概率；
(2)求三人中至多有两人当选的概率．
解：(1)设“甲、乙、丙当选”的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为
P(A )＋P(B)＋P( C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)因为事件A，B，C相互独立，所以至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
　(对接教材例3)已知甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率．
【解】　(1)设事件A，B，C分别为“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”．由题意得
即
由①③得P(B)＝1－P(C)，
代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0，
解得P(C)＝或P(C)＝(舍去).
将P(C)＝代入②得P(B)＝，
将P(B)＝代入①得P(A)＝.
故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
(2)记D表示事件“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品”，则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.故从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为.
eq \a\vs4\al()
本例第(1)问，可利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．　
[跟踪训练3] 已知三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的两个元件(T2，T3)并联后再和第三个元件(T1)串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
则所求概率为P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(2)P(3)]·P(A1)＝×＝.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF"
1．(教材P61T3改编)已知P(A)>0，P(B|A)＋P()＝1，则事件A与事件B(　　)
A．互斥 B．对立
C．相互独立 D．不相互独立
解析：选C.因为P(B|A)＋P()＝P(B|A)＋1－P(B)＝1，所以P(B|A)＝P(B)，所以事件A与事件B相互独立．
2．(多选)(2024·山东日照高二统考期末)以下结论正确的是(　　)
A．两个对立的事件互不相容
B．两个互不相容的事件相互独立
C．事件B包含事件A，则事件A发生的概率不大于事件B发生的概率
D．三个事件中任何两个都相互独立，则三个事件相互独立
解析：选AC.对于A，因为互不相容事件是不同时发生的两个事件，所以两个对立的事件互不相容，故A正确；对于B，因为若A，B是两个互不相容的事件，则P(AB)＝0，所以不相互独立，故B错误；对于C，因为事件B包含事件A，则事件A发生的概率不大于事件B发生的概率，故C正确；对于D，设样本空间为{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{1，3}，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝＝，P(AB)＝P(BC)＝P(AC)＝，得P(A)·P(B)＝P(AB)，所以A，B相互独立，同理B和C，A和C相互独立，但P(ABC)＝0≠P(A)P(B)P(C)，所以A，B，C不相互独立，故D错误．故选AC.
3．(2024·辽宁省实验中学校考期末)已知事件A与事件B相互独立，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________．
解析：因为事件A与事件B相互独立，所以P(A∩B)＝P(A)P(B)＝0.3×0.6＝0.18.
答案：0.18
4．(教材P62练习BT3改编)已知甲、乙两人破译同一密码，他们能破译的概率分别为和，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都破译出密码的概率；
(2)恰有一人破译出密码的概率；
(3)至多有一人破译出密码的概率．
解：记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”，由题意知，A，B相互独立．
(1)两个人都破译出密码的概率
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)恰有一人破译出密码分为两种情况：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()·P(B)＝×＋×＝.
(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，所以其概率为1－P(AB)＝1－＝.
eq \a\vs4\al()
1．已学习：(1)相互独立的概念；(2)相互独立的性质；(3)独立性与条件概率的关系；(4)相互独立事件和互斥事件的区别．
2．须贯通：(1)判断事件A与B相互独立的方法有两种：P(AB)＝P(A)P(B)或P(A|B)＝P(A)；(2)与相互独立事件有关的概率求解；(3)概率问题中的正难则反，化繁为简，方程思想等数学思想．
3．应注意：互斥事件与独立事件易混淆，两事件独立反映两事件互不影响，而两事件互斥反映两事件不同时发生．