4.2.2　离散型随机变量的分布列（教师版）

4．2.2　离散型随机变量的分布列
1.在对具体问题的分析中，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．　2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．　3.理解两点分布的含义及分布列的写法．
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INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
思考　掷一枚标有数字1，2，3，4的正四面体模型的随机试验中，X表示落地平稳后底面的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
提示：列成表的形式
X 1 2 3 4
P
1.离散型随机变量的分布列
一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的______________是已知的．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或____________．
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
2.离散型随机变量X的概率分布还可以用图1或图2来直观表示，其中，图1中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为________；图2中，xk上的线段长为________．
[答案自填] 概率分布　分布列　pk　pk
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例2)全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下：
分数 0 1 2 3 4 5
人数 0 1 3 12 20 4
现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列．
【解】　由题意可得P(X＝0)＝＝0，P(X＝1)＝＝0.025，P(X＝2)＝＝0.075，P(X＝3)＝＝0.3，P(X＝4)＝＝0.5，P(X＝5)＝＝0.1.因此，随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3 4 5
P 0 0.025 0.075 0.3 0.5 0.1
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求离散型随机变量的分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义；
(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)；
(3)写出分布列．　
[跟踪训练1] 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的取值范围为{1，2，3，4}．P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝.故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
(1)pk≥________，k＝1，2，…，n；
(2)pk＝p1＋p2＋…＋pn＝________．
[答案自填] 0　1
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.10 0.□0 0.15 0.4□
□为丢失的数据，则丢失的数据分别为(　　)
A．2，0 B．2，5
C．3，0 D．3，5
(2)(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　)
A．a＝ B．P(＜ξ＜)＝
C．P(＜ξ＜)＝ D．P(ξ≥)＝
(3)随机变量X的分布列如下表所示：
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
则P(X≤2)＝________．
【解析】　(1)由离散型随机变量分布列的性质，得0.10＋0.□0＋0.15＋0.4□＝1，即0.□0＋0.4□＝0.75，比较十分位和百分位的数字可知，0.4□的□为5，0.□0的□为3.故选D.
(2)由题意，P(ξ＝) ＋P(ξ＝)＋P(ξ＝)＋P(ξ＝)＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝，故A正确；P(＜ξ＜)＝P(ξ＝)＝3×＝，故B正确；易知P(＜ξ＜)＝P(ξ＝)＋P(ξ＝)＝＋2×＝，故C错误；P(ξ≥)＝1－P(ξ＝)＝1－×1＝，故D错误．故选AB.
(3)由分布列的性质得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，解得m＝0.2，所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3.
【答案】　(1)D　(2)AB　(3)0.3
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个方面：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的；
(2)不仅要注意pi＝1，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n.　
[跟踪训练2] 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ai(i＝1，2，3，4)，求：
(1)P({X＝1}∪{X＝3})；
(2)P(＜X＜).
解：(1)题目中所给的X的分布列为
X 1 2 3 4
P a 2a 3a 4a
由离散型随机变量的分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝.P({X＝1}∪{X＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝.
(2)P(＜X＜)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
一般地，如果随机变量的分布列能写成下面表格的形式，则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布).两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为______________．
W 1 0
P p 1－p
[答案自填] 成功概率
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　)
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数为随机变量X
B．某射击选手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．篮球比赛中，罚球时投篮两次的投中次数为随机变量X
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
(2)一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球．
①从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝求X的分布列；
②从中任意摸出2个球，设η＝
求η的分布列．
【解】　(1)选BD.A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数X的取值有6个，不服从两点分布．B中，击中目标的次数X的取值只有0，1，服从两点分布．C中，篮球比赛中，罚球时投篮两次的投中次数X可能为0，1，2，不服从两点分布．D中，手术成功的次数X的取值只有0，1，服从两点分布．故选BD.
(2)①由题意知，P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(X＝1)＝ eq \f(C,C) ＝，所以X的分布列为
X 0 1
P
②由题意知，P(η＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(η＝1)＝1－P(η＝0)＝
(或P(η＝1)＝ eq \f(CC＋C,C) ＝)，
所以η的分布列为
η 0 1
P
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)两点分布的4个特点
①两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
②两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
③由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；
④在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．
(2)两点分布的适用范围
①研究只有两个相互对立的结果的随机试验的概率分布规律．
②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．
如：抽取的彩券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究．　
[跟踪训练3] (1)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝________．
解析：设试验的成功率为p，则失败率为1－p，所以p＝2(1－p)，解得p＝.所以P(ξ＝0)＝1－p＝.
答案：
(2)设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则P(X＝1)＝________．
解析：由于随机变量X服从两点分布，故P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，①又P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，②则①＋②得2P(X＝1)＝1.4，解得P(X＝1)＝0.7.
答案：0.7
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
【解】　由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.
由题意列表如下．
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(1)易得2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)易得|X－1|的分布列为
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)若X是一个随机变量，a，b是实数，且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．推广到一般情况有：若X是随机变量，f(X)是连续函数或单调函数，则η＝f(X)也是随机变量，并且若X为离散型随机变量，则η＝f(X)也为离散型随机变量．
(2)已知离散型随机变量X的分布列，求离散型随机变量η＝f(X)的分布列的关键是弄清楚X取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的概率相加，列出分布列．　
[跟踪训练4] 已知随机变量Y与X的关系式为Y＝|X－1|.
(1)若P(X≥3)＋P(X≤－1)＝0.6，求P(Y<2)的值；
(2)若P(Y≤1)＝0.4，求P(0≤X≤2)的值．
解：(1)X≥3或X≤－1等价于|X－1|≥2，即Y≥2，所以P(Y≥2)＝P(X≥3)＋P(X≤－1)＝0.6，所以P(Y<2)＝1－P(Y ≥2)＝1－0.6＝0.4.
(2)由Y≤1得|X－1|≤1，即0≤X≤2，所以P(0≤X≤2)＝P(Y≤1)＝0.4.
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1．(教材P73练习AT2改编)已知随机变量X的分布列如下表所示，则a＋b＝(　　)
X 1 2 3
P a b
A. B．
C．1 D．
解析：选A.由随机变量X的分布列的性质得＋a＋b＝1，解得a＋b＝.故选A.
2．已知X服从参数为0.4的两点分布，则P(X＝1)＝__________；若Y＝3X－2，则P(Y＝1)＝__________．
解析：因为X服从参数为0.4的两点分布，所以P(X＝1)＝0.4，P(X＝0)＝1－0.4＝0.6.当X＝1时，Y＝3×1－2＝1，所以P(Y＝1)＝P(X＝1)＝0.4.
答案：0.4　0.4
3．(2024·辽宁大连高二统考期末)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则P(2解析：因为随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，所以＋＋＋＝1，解得a＝5，所以P(2答案：
4．(教材P73练习BT5改编)已知一个类似于细胞分裂的物体，1次分裂为2，2次分裂为4，3次分裂为8，如此继续分裂有限次，而随机终止．设分裂n次终止的概率为(n＝1，2，…)，记ξ为原物体在分裂终止后生成的子块数目，求P(ξ≤10).
解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为
ξ 2 4 8 16 … 2n …
P … …
所以P(ξ≤10)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝8)＝＋＋＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)离散型随机变量的分布列的定义；(2)离散型随机变量分布列的性质；(3)两点分布．
2．须贯通：(1)离散型随机变量分布列的求解方法；(2)利用离散型随机变量的分布列的性质求与概率有关的参数的取值或范围的方法．
3．应注意：(1)求解完各概率分布列之后要注意通过“概率和是否为1”来检验计算是否正确；(2)离散型随机变量的分布列不仅限于表格．