4.2.3 第1课时　n次独立重复试验与二项分布（教师版）

4．2.3　二项分布与超几何分布
第1课时　n次独立重复试验与二项分布
1.理解n次独立重复试验的模型．　2.能利用独立重复试验的模型解决一些简单的实际问题．　3.理解二项分布，能利用二项分布解决一些简单的实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
有以下几个实验：
(1)投掷一枚均匀的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；
(2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；
(3)连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p.
思考　上面几个试验有什么共同的特点？
提示：(1)每次试验相互独立；(2)每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；(3)每次试验发生的概率相同，不发生的概率也相同．
在相同条件下________n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是________________的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．
[答案自填] 重复　相互独立
　(教材P74尝试与发现改编)已知甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设若连续2次未击中目标，则射击停止，问：乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？
【解】　设甲、乙两人各射击一次击中目标分别为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲射击4次，全击中目标的概率为C×()4＝.所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为P＝1－＝.
(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中目标2次，概率为C×()2×()2＝.乙恰好击中目标3次，概率为C×()3×＝.
所以所求概率为×＝.
(3)乙射击5次后，中止射击，则第3次击中，第4、5次不中，而第1、2次至少击中目标1次，所以中止射击的概率为()3×()2＋()2×()3＋()2×()3＝.
【变式探究】
1．(设问变式)本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙均恰好击中目标1次的概率．
解：设“两人各射击2次，甲、乙均恰好击中目标1次”为事件A2，则P(A2)＝C×××C××＝.
2．(设问变式)本例条件不变，求两人各射击2次，甲未击中目标，乙击中目标2次的概率．
解：设“两人各射击2次，甲未击中目标，乙击中目标2次”为事件A3，则P(A3)＝C×()0×()2×C×()2＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
(1)n次独立重复试验的判断依据
①要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．
②每次试验相互独立，互不影响．
③每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．
(2)独立重复试验概率求法的三个步骤
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25SX1.TIF" \* MERGEFORMATINET 　
[跟踪训练1] 已知甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C×()2×＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为C×()2×＋C×()3＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C×()2××C×()3＋C×()3×C×()3＝＋＝.
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝__________，k＝0，1，…，n，因此X的分布列如表所示．
X 0 1 … k … n
P Cp0qn __________________________________________________________________________ … __________________________________________________________________________ … __________________________________________________________________________
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作__________．
[答案自填] Cpkqn－k　Cp1qn－1　Cpkqn－k
Cpnq0　X～B(n，p)
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 　(对接教材例1)太空育种即将作物种子送到太空，利用太空特殊的环境诱变作用，使种子产生变异，再返回地面培育作物新品种的育种新技术．已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的．
(1)第一小组做了3次实验，记该小组实验成功的次数为ξ，求ξ的分布列；
(2)第二小组进行实验，到成功4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
【解】　(1)由题意得，ξ的取值范围为{0，1，2，3}，
P(ξ＝0)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C××＝，
P(ξ＝3)＝C×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(2)由题意知第二小组第7次实验成功，前面6次实验中有3次失败，因此所求概率为C×××＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
要判断n次独立重复试验中事件A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验．　
[跟踪训练2] 有四道选择题，某同学答对其中每道题的概率都是，且解答各题之间互不影响．已知答对一题得5分，不答或答错一题得0分．求该同学答完这四道题的最终得分X的分布列．
解：该同学解答四道选择题，相当于进行了四次独立重复试验，设该同学答完这四道题时答对的题数为Y，则随机变量Y服从二项分布，即Y～B，则P(Y＝k)＝C××(k＝0，1，2，3，4)，即P(Y＝0)＝C××＝，P(Y＝1)＝C××＝，P(Y＝2)＝C××＝＝，P(Y＝3)＝C××＝，P(Y＝4)＝C××＝.由X＝5Y知，X的取值范围为{0，5，10，15，20}，故该同学答完这四道题的最终得分X的分布列为
X 0 5 10 15 20
P
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" 　若X～B，则P(X＝k)(0≤k≤n，k∈N)取得最大值时，k＝______．
【解析】　由题意知，X服从二项分布，所以P(X＝k)＝C·＝C，0≤k≤20且k∈N.由不等式≤1(0≤k≤19且k∈N)，即×≤1，解得k≥6.所以当k≥6时，P(X＝k)≥P(X＝k＋1)；当k<6时，P(X＝k＋1)＞P(X＝k).因为当k＝6时，P(X＝k＋1)＝P(X＝k)，所以当k＝6或k＝7时，P(X＝k)取得最大值．
【答案】　6或7
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
二项分布之概率最大问题的求解思路
如果X～B(n，p)，其中0由>1，求出k的取值区间，此区间即为P(X＝k)的单调递增区间，由<1，求出k的取值区间，即为P(X＝k)的单调递减区间.
因为＝＝1＋(k∈N，1≤k≤n)，所以要使P(X＝k)≥P(X＝k－1)，则k≤(n＋1)p.故有：
(1)若(n＋1)p＞n，则当k＝n时，P(X＝k)取得最大值；
(2)若(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k＝(n＋1)p－1或k＝(n＋1)p时，P(X＝k)取得最大值；
(3)若(n＋1)p是不超过n的非整数，则当k＝[(n＋1)p]([(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)时，P(X＝k)取得最大值．
[跟踪训练3] 某一批产品的合格率为95%，那么在取出的20件产品中，出现________件合格产品的概率最大．
解析：设在取出的20件产品中，合格产品有X件，则X～B(20，0.95)，于是恰好有k件合格产品的概率为P(X＝k)＝C×0.95k×0.0520－k(0≤k≤20且k∈N).所以＝ eq \f(C×0.95k×0.0520－k,C×0.95k－1×0.0521－k) ＝
＝1＋＝1＋(1≤k≤20且k∈N).于是当k<19.95时，P(X＝k－1)答案：19
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P83T4改编)若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)＝(　　)
A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
解析：选A.因为X～B(10，0.8)，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.故选A.
2．(2024·山东威海高二统考期末)《九章算术》原名《九章》，是我国古代数学著作的代表之作，大约成书于秦汉时期，影响了中国数学和世界数学两千余年．小明的数学老师为了拓宽学生视野、增强学生民族自豪感，从《九章算术》中选出4道题目供学生思考解决，已知小明能够独立解决每道题目的概率均为，则小明恰好解决2道题目的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.设4道题目中小明能独立解决的题数为X，则X～B(4，)，所以P(X＝2)＝C×()2×(1－)2＝.故选D.
3．若X～B(5，0.1)，则P(X≤2)＝(　　)
A．0.665 B．0.008 56
C．0.918 54 D．0.991 44
解析：选D.P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝C×0.10×0.95＋C×0.1×0.94＋C×0.12×0.93＝0.991 44.
4．(2024·辽宁鞍山高二统考期末)在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是________．
解析：由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4.又p<1，故0.4≤p<1.
答案：[0.4，1)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" )
1．已学习：(1)n次独立重复试验；(2)二项分布．
2．须贯通：(1)求n次独立重复试验的概率的方法；(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的方法．
3．应注意：要注意二项分布是有放回抽样，若不放回抽样，则一定不是二项分布．