4.2.3 第2课时　超几何分布（教师版）

第2课时　超几何分布
1.理解超几何分布．　2.能用超几何分布解决简单的实际问题．　3.理解超几何分布与二项分布的关系．
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思考　已知在15个乒乓球中有10个白色乒乓球，5个橙色乒乓球，分别采取有放回和不放回方式随机抽取4个，设抽取的4个乒乓球中橙色乒乓球的个数为X，试写出X＝3时对应的概率．
提示：若采取有放回抽样，则X服从二项分布，即X～B(4，)，P(X＝3)＝C×()3×＝.
若采用不放回抽样，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利试验类型，此时，只能用古典概型求解，首先，从这15个乒乓球中任取4个，共有C种取法；X的取值范围为{0，1，2，3，4}．其中，X＝3表示“任取的4个乒乓球中含3个橙色乒乓球”，故事件X＝3的概率为P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝.
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M[答案自填] eq \f(CC,C)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由．
(1)抛掷三枚质地均匀的骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子个数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．
【解】　(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本时某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
超几何分布的判定
判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N－M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布．　
[跟踪训练1] (多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，如下几种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．X表示取出的球的最大号码
B．Y表示取出的球的最小号码
C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分
D．η表示取出的黑球个数
解析：选CD. 对于A，X的可能取值为4，5，6，7，8，9，10，不是从0开始的连续自然数，故不服从超几何分布；同理B也不服从超几何分布；D中η和黑球的个数有关，球根据颜色可以分成固定数目的两类，且η的取值为0，1，2，3，4，故服从超几何分布；同理C也服从超几何分布．
如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示．
X 0 1 … k … s
P eq \f(CC,C) ______ … ______ … ______
[答案自填] eq \f(CC,C) 　 eq \f(CC,C) 　 eq \f(CC,C)
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例4)袋中有10个大小与质地相同的球，其中7个是红球．从中任取5个球，求取出的球中红球个数X的分布列．
【解】　由题意，袋中有红球7个，其它颜色的有3个，故X的取值范围为{2，3，4，5}，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，P(X＝4)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，P(X＝5)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
(1)在超几何分布概念公式P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) 中，k＝t，t＋1，…，s，s＝min{M，n}，当n≤N－M时，t＝0，否则t＝n－(N－M).
(2)如果随机变量X服从超几何分布，只需代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．
(3)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．　
[跟踪训练2] (2024·辽宁葫芦岛月考)从5名男生和3名女生中任选3人参加某活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列．
解：由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3，
所以P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝.故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　某班同学利用寒假对A小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，若生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数各占A小区总人数的比例如下表所示：
A小区 低碳族 非低碳族
比例
在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，求X的分布列．
【解】　在A小区中随机选择的20户中，“非低碳族”有20×＝4(户)，由题可知，X～H(20，3，4).则P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
超几何分布实际问题的求解步骤
(1)辨模型，结合实际情境分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男、女生”，“正、次品”，“优劣”等，或可转化为明显的两部分，具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
(2)算概率：直接借助公式P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) ，应理解参数M，N，n，k的含义．
(3)列分布列．　
[跟踪训练3] (2024·内蒙古呼和浩特期末)袋中装有4个白棋子，3个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取4个棋子．求：
(1)得分X的分布列；
(2)得分大于6的概率．
解：(1)由题意知，设取到的白棋子的个数为Y，则Y的取值范围为{1，2，3，4}，对应的得分X的取值范围为{5，6，7，8}．由Y服从参数为N＝7，n＝4，M＝4的超几何分布及X与Y的对应关系知，
P(X＝5)＝P(Y＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝；
P(X＝6)＝P(Y＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝；
P(X＝7)＝P(Y＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝；
P(X＝8)＝P(Y＝4)＝ eq \f(CC,C) ＝.
故X的分布列为
X 5 6 7 8
P
(2)根据(1)中的分布列，可知得分大于6的概率P(X＞6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(多选)(教材P82练习AT1(2)改编)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　)
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
解析：选ABD.依据超几何分布模型定义可知，A，B，D中随机变量X服从超几何分布，而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．
2．(教材P82T3改编)已知10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝.故选D.
3．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)
解析：设选取的4人中英国人有X个，由题意知X服从参数为N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，其中X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) (k＝0，1，2，3，4).所以P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) .
答案： eq \f(CC,C)
4．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回的方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X表示，求随机变量X的分布列．
解：X的取值范围为{0，1，2}．由题意知，X服从N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，所以P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝；P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝；P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝.所以X的分布列为
X 0 1 2
P
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" )
1.已学习：(1)超几何分布的定义；(2)超几何分布的分布列．
2．须贯通：(1)超几何分布的判断方法；(2)列超几何分布的分布列的方法；(3)超几何分布实际问题的求解步骤．
3．应注意：要注意区分二项分布与超几何分布：
(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
(2)二项分布是有放回抽取(独立重复)，超几何分布是无放回抽取．
(3)当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布．