模块综合检测B（教师版）

模块综合检测B
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽捡一批产品测得数据如表所示：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且＝0.8x＋，现有一组测量数据为(31，22.4)，则该数据的残差为(　　)
色差x 22 24 26 28
色度y 16 19 20 21
A.1.4 B．1.2 C．－1.2 D．－1.4
解析：选D.由题意可知，x＝＝25，y＝＝19，将(25，19)代入＝0.8x＋，即19＝0.8×25＋，解得＝－1，所以＝0.8x－1，当x＝31时，＝0.8×31－1＝23.8，所以该数据的残差为22.4－23.8＝－1.4.
2．某校为宣传垃圾分类知识，组织高中3个年级的学生进行垃圾分类知识测试，如表所示记录了各年级同学参与测试的优秀率(即测试达到优秀的人数占该年级总人数的比例).
年级 高1 高2 高3
垃圾分类知识测试优秀率 52% 71% 68%
假设从高k(k＝1，2，3)年级中各随机选取一名同学分别进行考察，用ξk＝1表示该同学的测试成绩达到优秀，ξk＝0表示该同学的测试成绩没有达到优秀．D(ξk)表示测试成绩的方差，则下列判断正确的是(　　)
A.D(ξ2)>D(ξ3)>D(ξ1)
B．D(ξ2)>D(ξ1)>D(ξ3)
C．D(ξ1)>D(ξ2)>D(ξ3)
D．D(ξ1)>D(ξ3)>D(ξ2)
解析：选D.当k＝1时，在高1年级中随机选取一名同学进行考查，则P(ξ1＝1)＝0.52，P(ξ1＝0)＝0.48，则D(ξ1)＝0.52×0.48＝0.249 6；当k＝2时，在高2年级中随机选取一名同学进行考查，则P(ξ2＝1)＝0.71，P(ξ2＝0)＝0.29，则D(ξ2)＝0.71×0.29＝0.205 9；当k＝3时，在高3年级中随机选取一名同学进行考查，则P(ξ3＝1)＝0.68，P(ξ3＝0)＝0.32，则D(ξ3)＝0.68×0.32＝0.217 6，所以D(ξ1)>D(ξ3)>D(ξ2).
3．根据学校食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，某同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知该同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为(　　)
A． B． C． D．
解析：选A.记该同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，则本题所求P(A|)＝
＝
＝.故选A.
4．某博物馆每周一闭馆(节假日除外)，某学校计划周一至周日组织高一、高二、高三年级的同学去该博物馆参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续参观两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有(　　)
A．20种 B．50种
C．60种 D．100种
解析：选C.因为博物馆每周一闭馆，所以高一年级可以从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择两天去参观，共5种选择，再从剩下的四天里安排高二、高三年级，有A种安排方法，根据分步乘法计数原理，知不同的方案有5×A＝5×4×3＝60(种).故选C.
5．(a－＋1)6的展开式中，的系数为(　　)
A．60 B．120 C．－60 D．－120
解析：选A.由题意(a－＋1)6中含的项为Ca4C(－)2＝，则的系数为60.故选A.
6．同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两枚骰子出现的点数分别为X1，X2，记X＝min{X1，X2}，则P(2≤X≤4)＝(　　)
A． B． C． D．
解析：选B.依题意，随机变量X满足2≤X≤4的事件是X＝2，X＝3，X＝4的3个互斥事件的和，而P(X＝2)＝ eq \f(C＋4C,62) ，P(X＝3)＝ eq \f(C＋3C,62) ，P(X＝4)＝ eq \f(C＋2C,62) ，所以P(2≤X≤4)＝ eq \f(C＋4C,62) ＋ eq \f(C＋3C,62) ＋ eq \f(C＋2C,62) ＝＝.故选B.
7．某省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X～N(50，256)，那么D等级的原始分最高大约为(　　)
参考数据及公式：①若X～N(μ，σ2)，Y＝，则Y～N(0，1)；②当Y～N(0，1)时，P(Y≤1.5)≈0.9.
A．23 B．29 C．26 D．43
解析：选C.由题意知：从低到高，即E到D等级人数所占比例为10%，若D等级的原始分最高为X，则P(Y≤)＝0.1，又P(Y≤1.5)≈0.9，所以P(Y≤)≈1－P(Y≤1.5)，而Y～N(0，1)，所以P(Y≤)＝P(Y≤－1.5)，即＝－1.5，可得X＝50－1.5×16＝26(分).故选C.
8．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为(　　)
A．216 B．228 C．384 D．486
解析：选A.先挂2盏吊灯有A＝2种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有A＝6种挂法，最后将宫灯插空挂，当4盏宫灯分成2，2两份插空时有C－1＝5种挂法；当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有CC＝12种挂法；当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法，所以共有2×6×(5＋12＋1)＝216种不同的挂法．故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到列联表：
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法错误的是(　　)
优秀 不优秀 总计
甲班 10 b 10＋b
乙班 c 30 30＋c
总计 10＋c 30＋b 40＋b＋c
A．列联表中c的值为30，b的值是35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系
D．没有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系
解析：选ABD.由题意，知成绩优秀的学生人数是105×＝30，成绩不优秀的学生人数是105－30＝75，所以c＝20，b＝45，选项A，B错误；因为χ2＝≈6.1，又因为查表可得P(χ2≥3.841)＝0.05，因为6.1>3.841，所以有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系，故C正确，D错误．故选ABD.
10．已知(3x＋2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(　　)
A．a0＝210
B．a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1
C．a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1
D．展开式中二项式系数最大的项为第5项
解析：选AB.设f(x)＝(3x＋2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.对于A项，a0＝f(0)＝210，A正确；对于B项，a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝f(－1)＝(－3＋2)10＝1，B正确；对于C项，
所以，a0＋a2＋a4＋…＋a10＝＝，C错误；对于D项，展开式共11项，展开式中二项式系数最大的项为第6项，D错误．故选AB.
11．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　)
A．X服从超几何分布 B．P(X＝0)＝
C．E(X)>E(Y) D．P(Z＝5)＝
解析：选ABD.由题意知，随机变量X服从超几何分布，故A选项正确，X的取值范围为{0，1，2，3，4}，所以P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，故B选项正确，又P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，P(X＝4)＝ eq \f(CC,C) ＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，Y的取值范围为{0，1，2，3，4}，由题意得X＋Y＝4，所以Y＝4－X，所以P(Y＝0)＝P(X＝4)＝，P(Y＝1)＝P(X＝3)＝，P(Y＝2)＝P(X＝2)＝，P(Y＝3)＝P(X＝1)＝，P(Y＝4)＝P(X＝0)＝，所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(X)三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知随机变量X服从正态分布，且P(X>1)＝0.5，若Y＝2X－1，则E(Y)＝________．
解析：由随机变量X服从正态分布，且P(X>1)＝0.5，所以E(X)＝1，又由Y＝2X－1，所以E(Y)＝2E(X)－1＝2－1＝1.
答案：1
13．寿宁北路戏是珍贵的国家非物质文化遗产之一．在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》《反五关》《龙虎斗》《宏碧缘》《齐王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《齐王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为 ________．(用数字作答)
解析：先将《济公传》《反五关》《龙虎斗》三个节目进行排序，然后将《宏碧缘》与《齐王哭将》两个节目插入《济公传》《反五关》《龙虎斗》这三个节目中形成的四个空位中的两个空位，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为AA＝6×12＝72.
答案：72
14.袋中装有大小相同的4只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ>8的概率为____________．
解析：依题意，ξ>8的事件是ξ＝10，ξ＝12的两个互斥事件的和，
ξ＝10的事件是取出3只红球、1只黑球，P(ξ＝10)＝ eq \f(CC,C) ＝，
ξ＝12的事件是取出4只红球，
P(ξ＝12)＝ eq \f(C,C) ＝，
因此P(ξ>8)＝P(ξ＝10)＋P(ξ＝12)＝＋＝，
所以ξ>8的概率为.
答案：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和均值．
(2)试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15．2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2
25．8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3
34．8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3
40．5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5
16．5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2
21．6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2
32．3 36.5
①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如图所示的列联表：
②根据①中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
＜m ≥m
对照组
试验组
附：χ2＝，
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
．
解：(1)X的取值范围为{0，1，2}，且P(X＝k)＝ eq \f(C·C,C) ，k＝0，1，2.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)①根据试验数据可以知道40只小白鼠体重增加量的中位数m＝＝23.4.
列联表如下：
对照组 6 14
试验组 14 6
②根据①中结果可得
χ2＝＝6.4，
又因为查表可得，P(χ2≥3.841)＝0.05，由于6.4>3.841，所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
16．(本小题满分15分)红蜘蛛是柚子树的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y(单位：个)和平均温度x(单位：℃)有关，现收集了以往某地的7组数据，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．
INCLUDEPICTURE "../../TPM1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\TPM1.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cedx(其中e＝2.718…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数y(单位：个)关于平均温度x(单位：℃)的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)
(2)由(1)的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程；(计算结果精确到0.1)
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22 ℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22 ℃至28 ℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28 ℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好地防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益(收益＝产值－防害费用)为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由．
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22 ℃至28 ℃的红蜘蛛虫害，但无法防治28 ℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施．
附：回归直线方程＝x＋中，＝＝ eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－nx y,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－nx2) ，＝y－x．
解：(1)由图中散点图可以判断，y＝cedx更适合作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型．
(2)将y＝cedx两边同时取自然对数，可得ln y＝ln c＋dx，由题中的数据可得，xizi－7x z＝33.6，x－7x2＝112，所以＝ eq \f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xizi－7x z,\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))x－7x2) ＝＝0.3，则ln ＝z－x＝3.6－0.3×27＝－4.5，所以z关于x的回归直线方程为＝0.3x－4.5，故y关于x的回归方程为＝e0.3x－4.5.
(3)用X1，X2和X3分别表示选择三种方案的收益．采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为200－18＝182(万)，即X1＝182，采用第2种方案，不发生28 ℃以上的红蜘蛛虫害，收益为200－10＝190(万)，如果发生，则收益为100－10＝90(万)，即X2＝
同样，采用第3种方案，有
X3＝
所以E(X1)＝182，E(X2)＝190×P(X2＝190)＋90×P(X2＝90)＝190×0.9＋90×0.1＝171＋9＝180，E(X3)＝200×P(X3＝200)＋160×P(X3＝160)＋100×P(X3＝100)＝200×0.6＋160×0.3＋100×0.1＝178.显然，E(X1)最大，所以选择方案1最佳．
17．(本小题满分15分)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技(E－Sports)和霹雳舞(Breaking)两个竞赛项目，某部门为了深入了解各省代表队在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机抽取10个省代表队进行研究：
省代表队 A B C D E F G H I J
电子竞技人数 45 52 24 38 57 19 26 47 34 29
霹雳舞人数 26 18 44 43 32 27 56 36 48 20
(1)从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过35的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数均超过25的概率；
(2)某省代表队准备进行为期3个月的霹雳舞封闭训练，对PowerMove中的Swipe、Windmill、Air tracks、Flare、Headspin动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在每轮测试中，有一个裁判判定每项评分，有一个动作达到“优秀”即可得1分．已知在一轮测试的5个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响．如果甲队员在集训测试中的得分不低于4分的次数的均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
解：(1)参与电子竞技的人数超过35的省代表队有5个，在此基础上，参与霹雳舞的人数超过25的省代表队有4个，则所求概率为 eq \f(C,C) ＝.
(2)在一轮测试中，得分不低于4分的概率为C×()4×(1－)＋()5＝，则甲队员在集训测试中得分不低于4分的次数服从二项分布B(n，)，由题意，·n≥8，解得n≥，又n∈N＋，所以nmin＝18，即至少要进行18轮测试．
18．(本小题满分17分)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：
INCLUDEPICTURE "../../25fB9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25fB9.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．若将样本频率视为概率，记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和均值；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表).
①利用该正态分布，求P(87.8≤Z≤112.2)；
②某客户从该公司购买了1 000件这种产品，记X表示这1 000件产品中该项质量指标值位于区间[87.8，112.2]内的产品件数，利用①的结果，求E(X).
附：≈12.2；若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈95.4%.
解：(1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以产品为次品的概率为1－0.67＝0.33，所以随机变量ξ的分布列为
ξ 90 －30
P 0.67 0.33
故E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝60.3－9.9＝50.4.
(2)①抽取产品的该项质量指标值的样本平均数为70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100；样本方差为s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.所以Z～N(100，150)，则μ＝100，又σ＝≈12.2，所以P(87.8≤Z≤112.2)＝P(100－12.2≤Z≤100＋12.2)≈68.3%.
②由①知：一件产品中该项质量指标值位于区间[87.8，112.2]内的概率约为68.3%，所以X～B(1 000，68.3%)，所以E(X)＝1 000×68.3%＝683.
19．(本小题满分17分)某投资公司准备将两千万投资新型物流仓、购物娱乐广场两个项目中的其中之一．
项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到当年年底每个物流仓盈利的概率为p(0项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到当年年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和1－p.
(1)若投资项目一，记X1为盈利的物流仓的个数，求E(X1)(用p表示)；
(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2千万元，求E(X2)(用p表示)；
(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．
解：(1)由题意X1～B(10，p)，
则盈利的物流仓数的均值E(X1)＝10p.
(2)若投资项目二，盈利的金额为2×0.5＝1(千万元)，亏损的金额为2×0.3＝0.6(千万元)，则X2的分布列为
X2 1 －0.6
P p 1－p
所以E(X2)＝p－0.6(1－p)＝1.6p－0.6.
(3)若盈利，则每个物流仓盈利0.2×40%＝0.08(千万元)，若选择项目一，盈利的均值为E(0.08X1)＝0.08E(X1)＝0.08×10p＝0.8p(千万元)，方差为D(0.08X1)＝0.082D(X1)＝0.082×10p(1－p)＝0.064p(1－p)，若选择项目二，盈利的方差为D(X2)＝(1－1.6p＋0.6)2p＋(－0.6－1.6p＋0.6)2(1－p)＝2.56p(1－p)，①当E(0.08X1)＝E(X2)时，0.8p＝1.6p－0.6，解得p＝，此时D(0.08X1)②当E(0.08X1)>E(X2)时，0.8p>1.6p－0.6，解得0③当E(0.08X1)