模块综合检测A（教师版）

模块综合检测A
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在(2x＋)3的展开式中，x的系数为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：选D.由题意，(2x＋)3展开式的通项为C(2x)3－k()k＝C23－k·x3－2k，当3－2k＝1，即k＝1时，x的系数为C23－k＝C22＝3×4＝12.故选D.
2．某学校组织研学活动，现有4条路线供3个年级选择，每个年级必须且只能选择一条路线，则不同的选择方法有(　　)
A．4种 B．24种 C．64种 D．81种
解析：选C.3个年级均有4种选择，故不同的选择方法有43＝64(种).故选C.
3．已知袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个，在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为(　　)
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
解析：选B.设“第一次取得白球”为事件A，“第二次取得红球”为事件B，所以在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为P(B|A)＝＝＝0.4.故选B.
4．某餐馆在A网站有200条评价，好评率为90%，在B网站有100条评价，好评率为87%.综合考虑这两个网站的评价信息，这家餐馆的好评率为(　　)
A．88% B．88.5% C．89% D．89.5%
解析：选C.由已知可得这家餐馆的好评率为＝89%.故选C.
5．为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每天1人，每人每周最多值一天，则不同的排班种类为(　　)
A．12 B．45 C．60 D．90
解析：选C.由题得不同的排班种类为A＝5×4×3＝60.故选C.
6．一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为X，则等于 eq \f(CC＋C,C) 的是(　　)
A．P(X>2) B．P(X<2) C．P(X≤1) D．P(X>1)
解析：选C.由题设，取出的3个球中没有白球的概率为 eq \f(C,C) ，取出的3个球中有一个白球的概率 eq \f(CC,C) ，所以目标式表示P(X≤1).故选C.
7．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算术》一节中，画了一个由二项式(a＋b)n(n＝1，2，3，…)展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，第k斜列由每一行第k(k≤n，k∈N＋)个数组成，该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2 024行中第k斜列各项之和为(　　)
INCLUDEPICTURE "../../25FB8.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25FB8.TIF" \* MERGEFORMATINET
A．C B．C C．C D．C
解析：选C.当k≥2时，第n行的第k斜列项为C，故该三角形数阵前2 024行中第k斜列各项之和为C＋C＋C＋…＋C，根据C＝C以及组合数的性质C＋C＝C，化简可得，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C.故选C.
8．某企业生产一种新产品，其每件产品的非物料平均成本y(单位：元)与生产该产品的数量x(单位：千件)有关，经统计得到下列一组数据：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24
观察其散点图(图略)可知，y＝a＋适宜作为每件产品的非物料成本y与产量x的回归方程类型．若每件产品的成本＝物料成本＋非物料成本，其中每件产品的物料成本固定为48元．根据回归方程预测：若要使每件产品的总成本不高于68.55元，最少应生产这种产品(计算结果保留三位小数)数量约为(　　)
参考公式与数据如下：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线方程为＝u＋，利用最小二乘法估计可得＝ eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))uivi－nu v,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))u－nu2) ，＝v－u．参考数据(其中ui＝).
uiyi u u u2
183.4 0.34 1.53 0.116
A．8.246千件 B．9.282千件
C．10.133千件 D．11.266千件
解析：选C.设u＝，则非物料成本y关于u的回归直线方程为＝＋u.由条件可得y＝45，n＝8，于是＝ eq \f(\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))uiyi－8u y,\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))u－8u2) ＝≈101.33，＝y－u≈10.55，所以＝10.55＋101.33u，即y关于x的回归直线方程为＝10.55＋；由10.55＋＋48≤68.55可得x≥10.133，所以，至少生产该产品10.133千件．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是(　　)
A．已知C＝C，则x＝6
B．已知C＝C，则x＝7
C．在(x2－)9的二项式展开式中，常数项是84
D．在(x2－)9的二项式展开式中，常数项是－504
解析：选BC.对于A和B项，因为C＝C，故x＋2＝2x－5，或x＋2＋2x－5＝18，得x＝7，故A错误，B正确；对于C和D项，根据二项展开式的通项公式Tk＋1＝C(x2)9－k(－x－1)k＝(－1)kCx18－3k，令18－3k＝0，解得k＝6，所以T7＝(－1)6C＝84，故C正确，D错误．故选BC.
10．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分X(满分为100分)服从正态分布N(80，25)，下列说法正确的是(　　)
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%)
A．这100份问卷得分数据的平均数是80，标准差是5
B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份
C．P(70≤X≤75)＝P(85≤X≤90)
D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N(80，25)
解析：选ABC.由题意得，这100份问卷得分数据的平均数是80，标准差是5，故A正确；P(X>85)≈＝15.85%，100×15.85%≈16，所以这100份问卷中得分超过85分的约有16份，故B正确；P(70≤X≤75)＝P(85≤X≤90)，故C正确；同一份问卷发到不同社区，得到的数据不一定相同，故D错误．故选ABC.
11．有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定向左或者向右移动，掷出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则抛掷出n次骰子后，下列结论正确的是(　　)
A．第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为
B．第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的均值是
C．第一次扔完骰子，小球位于－1且第五次位于1的概率为
D．第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率
解析：选AD.抛掷出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为.
对于A，若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，故其概率为C()2＝，故A正确；
对于B，设这个随机变量为X，则X的取值范围为{－3，－1，1，3}，其中P(X＝－3)＝P(X＝3), P(X＝－1)＝P(X＝1)，故E(X)＝－3×P(X＝－3)＋3×P(X＝3)＋(－1)×P(X＝－1)＋1×P(X＝1)＝3[P(X＝3)－P(X＝－3)]＋[P(X＝1)－P(X＝－1)]＝0，故B错误；对于C，第一次扔完骰子小球位于－1，即第一次向左移动，且第五次位于1，则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为C()4＝，故C错误；对于D，第五次扔完骰子，小球位于1，即两次向左，三次向右，故其概率p1＝C()5＝，小球位于3，则四次向右，一次向左，故其概率p2＝C()5＝，有p1>p2，故D正确．故选AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取4次，记摸得白球个数为X，若E(X)＝，则m＝________，D(X)＝________．
解析：由题意知，X～B(4，)，则E(X)＝4·＝，解得m＝4，D(X)＝4××(1－)＝.
答案：4　
13．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为________．
解析：依据题意，共有3类，若6个数字中有4个0，故有C＝15(种)，若6个数字中有5个0，故有C＝6(种)，若6个数字中有6个0，故有C＝1(种)，由分类加法计数原理得共有15＋6＋1＝22(种).
答案：22
14．五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量Xn，则P(X6＝0)＝_________________________________________，D(Xn)＝________．
解析：设X表示向右移动的次数，则X～B(n，).若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，所以回到原点的概率P(X6＝0)＝C()3(1－)3＝.因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量Xn，X表示向右移动的次数，则n－X表示向左移动的次数，则Xn＝X－(n－X)＝2X－n，X～B(n，)，则D(X)＝np(1－p)＝n××＝，所以D(Xn)＝D(2X－n)＝22×D(X)＝4×＝n.
答案：　n
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)新式茶饮是茶饮业的一大创新，某数据传媒公司为了解新式茶饮消费者购买偏好及用户年龄，随机调查了4 000名新式茶饮消费者．
(1)调查数据显示消费者喜好的茶饮类别前两名分别为奶茶类、水果类，从调查者中随机抽取10名消费者，经统计这10名消费者中喜欢奶茶类的有6人，喜欢水果类的有6人，既喜欢奶茶类又喜欢水果类的有2人，现从这10人中任取3人，记这3人中喜欢奶茶类不喜欢水果类的人数为Y，求Y的分布列与均值；
(2)若参与调查的4 000名新式茶饮消费者年龄X～N(20，9)，估计这4 000名新式茶饮消费者年龄小于14岁的人数．
(参考数据：P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%)
解：(1)10名消费者中喜欢奶茶类不喜欢水果类的有4人，所以Y的取值范围为{0，1，2，3}，则P(Y＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，P(Y＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(Y＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(Y＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)由X～N(20，9)，可得μ＝20，σ＝3.P(14≤X≤26)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，
所以P(X<14)＝[1－P(14≤X≤26)]≈(1－95.4%)＝2.3%，所以4 000×2.3%＝92，所以这4 000名新式茶饮消费者中年龄小于14岁的人数约为92.
16．(本小题满分15分)某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡的游客一年内可不限次畅游全市所有签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况(单位：百元)，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布N(40，152)，若该市总人口为700万人，试估计每年旅游费用支出在7 000元以上的人数；
(2)若年旅游消费支出不少于40(单位：百元)的游客一年内会继续来该签约景区游玩．现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率．
(参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%)
解：(1)μ＝40，σ＝15，μ＋2σ＝70，
所以旅游费用支出在7 000元以上的概率为P(x>μ＋2σ)＝≈＝2.3%，2.3%×700＝16.1，估计有16.1万市民旅游费用支出在7 000元以上．
(2)由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为1－＝，设“3人总得分为4分”为事件A，则P(A)＝C××()2＝，即3人总得分为4分的概率为.
17．(本小题满分15分)为了解某一地区电动汽车的销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车的销量y(单位：万台)关于x(年份)的回归直线方程为＝3x＋800，且销量y的方差s＝，年份x的方差s＝5.
(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
(2)该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表：根据调查数据回答：是否有95%的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？
参考公式：①回归直线方程：＝x＋，其中＝，＝－；
购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 45
女性 15
总计
②相关系数：r＝，若r>0.9，则可判断y与x线性相关性较强；
③χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
解：(1)相关系数为r＝＝·＝· eq \f(\r(ns),\r(ns)) ＝· eq \f(\r(s),\r(s)) ＝3× ＝＝0.937 5>0.9，
故y与x线性相关性较强．
(2)由题意，
购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
χ2＝≈5.031，又因为1－95%＝5%，查表可得P(χ2≥3.841)＝0.05，由于5.031>3.841，所以有95%的把握认为购买电动汽车与车主性别有关．
18．(本小题满分17分)现有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐(旋转之后算相同坐法)，而后进行合影留念．
(1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法；
(2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻的概率．
解：(1)分成三步来完成：第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定；第二步，排其余3对夫妇的座位，有23A种坐法；第三步，排A，B二人的座位，有A种坐法，根据分步乘法计数原理，共有2×23A×A＝1 152种坐法．
(2)若随机选择5人站成一排进行合影，有A种，有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，分为：当A，B都被选中，有2×AAA种，当A，B只有一个被选中，有2×AAC×22×A种，当A，B都没被选中，有2×AC×23×A种，则概率为P＝ eq \f(2×AA（A＋AC×22＋C×23）,A) ＝.
19．(本小题满分17分)为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学进行限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．
(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；
(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了0.1，以获得“优胜奖”的次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛．
解：(1)由题可知，所有可能的情况有：
①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，P1＝ eq \f(CCC,CC) ＝，
②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，P2＝ eq \f(CCC,CC) ＝，
③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，P3＝ eq \f(CC,CC) ＝，
故所求的概率P＝＋＋＝.
(2)设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为p1，案例分析题超过8分的概率为p2，则p1＋p2＝＋＋＝，由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为P＝Cp1(1－p1)·Cp＋Cp·Cp2(1－p2)＋Cp·Cp
＝2p1p2(p1＋p2)－3(p1p2)2
＝3p1p2－3(p1p2)2，
因为p1＋p2＝，且p1≥，p2≥，
即－p2≥，－p1≥，则p2≤，p1≤，故可得≤p1≤，≤p2≤，p1p2＝p1(－p1)＝－(p1－)2＋，所以p1p2∈ ,
令p1p2＝t，则P(t)＝－3t2＋3t＝－3(t－)2＋在上单调递减，所以P(t)≤P()＝－3×()2＋<.
因为该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数X～B(5，P)，
所以E(X)＝5P<5×＝<4，
故该同学没有希望进入决赛．