6.2.4 第2课时 组合中的综合问题（教师版）
文档属性
| 名称 | 6.2.4 第2课时 组合中的综合问题（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 258.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
第2课时 组合中的综合问题
学习目标
1.能用组合知识求解具有限制条件的问题． 2.能用排列与组合解决与几何有关的问题、分组分配等问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
一 有限制条件的组合问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例7)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
【解】 (1)方法一：至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825(种).
方法二：采用排除法有C－C＝825(种).
(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966(种).
(3)分两种情况：
第一类：女队长当选，有C种；
第二类：女队长不当选，男队长当选，有C·C＋C·C＋C·C＋C种．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种).
【变式探究】
1．(设问变式)在本例条件下，男队长必须当选且女生多于男生有多少种选法？
解：分两类情况：
第一类，女生3人男生2人(含男队长)，有CC＝70(种)，
第二类，女生4人男生1人(男队长)有C＝5(种)，
所以男队长必须当选且女生多于男生有70＋5＝75种选法．
2．(设问变式)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有C＝462(种).
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有C＋C＝660(种).
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122(种).
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
有限制条件的组合问题的解题策略
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
[跟踪训练1] 一个口袋中有大小相同且编有不同的号码的8个白球和5个彩球．
(1)若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种？
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法？
解：(1)若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个彩球”，故不同的取法有C＋CC＝28＋40＝68(种).
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有两种可能：“两个白球一个彩球”或“一个白球两个彩球”，故不同的取法有CC＋CC＝140＋80＝220(种).
二 与几何图形有关的组合问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O)，这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？
INCLUDEPICTURE "HK17.TIF" INCLUDEPICTURE "HK17.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 当取到点O时，在OA，OB上各取一点(与点O不同)，有CC＝30(个)；
当不取到点O时，第1类：从OB上取两点(与点O不同)，在OA上取一个点(与点O不同)，有CC＝75(个)；第2类：从OA上取两点(与点O不同)，在OB上取一个点(与点O不同)，有CC＝60(个).
所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有30＋75＋60＝165(个).
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
与几何图形有关的组合问题的解题策略
(1)几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．
(2)求解几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
[跟踪训练2] 圆上有12个不同的点．
(1)过每两点画一条弦，一共可以画多少条不同的弦？
(2)过每三点画一个圆内接三角形，一共可以画多少个圆内接三角形？
解：(1)从12个不同的点任选两点可画一条弦，
所以共画出C＝66条不同的弦．
(2)因为不共线的三点确定一个三角形，
所以从圆上12个不同的点任选三点可画一个三角形，
所以共画出C＝220个圆内接三角形．
三 分组、分配问题
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成三组，每组都是2本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
【解】 (1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有CCC＝60(种).
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题，因此分配方式共有CCCA＝360(种).
(3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有 eq \f(CCC,A) ＝15(种).
(4)方法一：在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式 eq \f(CCC,A) ·A＝90(种).
方法二：甲、乙、丙三人，每人2本，可分三步，依次让甲、乙、丙三人选两本，共有CCC＝90(种).
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
“分组”与“分配”问题的解题策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
[跟踪训练3] (1)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有( )
A．480种 B．360种
C．240种 D．120种
解析：选C.方法一：第一步，先从4个盒子中选1个盒子准备装2个球，有4种选法；第二步，从5个球里选出2个球放到选出的盒子里，有C种放法；第三步，把剩下的3个球放入剩下的3个盒子中，有A种放法．由分步乘法计数原理得不同的放法共有4CA＝240(种).故选C.
方法二：由题意知，有且仅有1个盒子有2个球．第一步：从5个球中选出2个球有C种选法；第二步：将余下的3个球与捆绑在一起的2个球放入4个盒子中有A种放法．故不同的放法共有CA＝240(种).故选C.
(2)(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲、乙两人，每人各3本，有20种分法
B．分给甲、乙、丙三人，其中一人4本，另两人各1本，有90种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
解析：选ABC.对于A，先从6本书中分给甲3本，有C种方法；再从其余的3本书中分给乙3本，有C种方法，所以不同的分配方法有CC＝20(种)，A正确；对于B，先把6本书分成3组：4本、1本、1本，有C种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有CA＝90(种)，B正确；对于C，先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有 eq \f(CC,2！) · eq \f(CC,2！) 种方法；再将2组每组2本的分给甲、乙两人，2组每组1本的分给丙、丁两人，所以不同的分配方法有 eq \f(CC,2！) · eq \f(CC,2！) ·A·A＝180(种)，C正确；对于D，先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有 eq \f(CC,2！) · eq \f(CC,2！) 种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有 eq \f(CC,2！) · eq \f(CC,2！) ·A＝1 080(种)，D错误．故选ABC.
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
1．(教材P27T13改编)从5名男生和4名女生中选4人参加一项创新大赛，恰好3名男生与女生甲参加大赛的方法有( )
A．6种 B．10种
C．15种 D．16种
解析：选B．根据题意，从5名男生选3人有C＝10种选法，女生甲的选法就1种，所以恰好3名男生与女生甲参加大赛的方法有10×1＝10(种).故选B．
2．(多选)将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是( )
A．共有18种安排方法
B．若甲、乙被安排在同社区，则有6种安排方法
C．若A社区需要2名志愿者，则有12种安排方法
D．若甲被安排在A社区，则有12种安排方法
解析：选BCD．对于A，4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法有CA＝36(种)，A错误；
对于B，甲、乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余2名志愿者分配到剩余2个社区，所以安排方法有CA＝6(种)，B正确；
对于C，A社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者分配到剩余2个社区，所以安排方法有CA＝12(种)，C正确；
对于D，甲安排在A社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了2名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择1个，分到A社区，再把剩余2名志愿者分配到剩余2个社区，安排方法有CA种；
第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有CA种，所以安排方法一共有CA＋CA＝12(种)，D正确．故选BCD．
3．(教材P26T9改编)某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有________种．
解析：若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有AA＝12种情况；若前2个节目中恰有1个是语言类节目，有1个是歌唱类节目，则有CCA＝12种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有A＝6种情况，则共有12×6＝72种情况．
综上，有12＋72＝84种不同的排法．
答案：84
INCLUDEPICTURE "HK18.TIF" INCLUDEPICTURE "HK18.TIF" \* MERGEFORMAT
4．如图，在六边形ABCDEF的6个顶点和其对角线AD，BE，CF的交点P，Q，R中，如果过其中的每3个点作一个圆，共可作多少个圆？
解：由题意得共九个点，任取三个点有C＝84种选法，而三点共线的有3C＝12(种)，故能确定84－12＝72个圆．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)有限制条件的组合问题；(2)与几何图形有关的组合问题；(3)不同元素间分组、分配问题．
2．须贯通：(1)特殊元素优先考虑，正繁则反；(2)对于几何问题中的组合问题，应先明确图形中的点、线、面之间的关系，再将几何问题抽象成组合问题来解决；(3)分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题．
3．应注意：平均分组理解不到位，导致计数重复．
学习目标
1.能用组合知识求解具有限制条件的问题． 2.能用排列与组合解决与几何有关的问题、分组分配等问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
一 有限制条件的组合问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例7)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
【解】 (1)方法一：至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825(种).
方法二：采用排除法有C－C＝825(种).
(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966(种).
(3)分两种情况：
第一类：女队长当选，有C种；
第二类：女队长不当选，男队长当选，有C·C＋C·C＋C·C＋C种．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种).
【变式探究】
1．(设问变式)在本例条件下，男队长必须当选且女生多于男生有多少种选法？
解：分两类情况：
第一类，女生3人男生2人(含男队长)，有CC＝70(种)，
第二类，女生4人男生1人(男队长)有C＝5(种)，
所以男队长必须当选且女生多于男生有70＋5＝75种选法．
2．(设问变式)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有C＝462(种).
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有C＋C＝660(种).
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122(种).
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
有限制条件的组合问题的解题策略
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
[跟踪训练1] 一个口袋中有大小相同且编有不同的号码的8个白球和5个彩球．
(1)若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种？
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法？
解：(1)若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个彩球”，故不同的取法有C＋CC＝28＋40＝68(种).
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有两种可能：“两个白球一个彩球”或“一个白球两个彩球”，故不同的取法有CC＋CC＝140＋80＝220(种).
二 与几何图形有关的组合问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O)，这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？
INCLUDEPICTURE "HK17.TIF" INCLUDEPICTURE "HK17.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 当取到点O时，在OA，OB上各取一点(与点O不同)，有CC＝30(个)；
当不取到点O时，第1类：从OB上取两点(与点O不同)，在OA上取一个点(与点O不同)，有CC＝75(个)；第2类：从OA上取两点(与点O不同)，在OB上取一个点(与点O不同)，有CC＝60(个).
所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有30＋75＋60＝165(个).
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
与几何图形有关的组合问题的解题策略
(1)几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．
(2)求解几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
[跟踪训练2] 圆上有12个不同的点．
(1)过每两点画一条弦，一共可以画多少条不同的弦？
(2)过每三点画一个圆内接三角形，一共可以画多少个圆内接三角形？
解：(1)从12个不同的点任选两点可画一条弦，
所以共画出C＝66条不同的弦．
(2)因为不共线的三点确定一个三角形，
所以从圆上12个不同的点任选三点可画一个三角形，
所以共画出C＝220个圆内接三角形．
三 分组、分配问题
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成三组，每组都是2本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
【解】 (1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有CCC＝60(种).
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题，因此分配方式共有CCCA＝360(种).
(3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有 eq \f(CCC,A) ＝15(种).
(4)方法一：在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式 eq \f(CCC,A) ·A＝90(种).
方法二：甲、乙、丙三人，每人2本，可分三步，依次让甲、乙、丙三人选两本，共有CCC＝90(种).
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
“分组”与“分配”问题的解题策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
[跟踪训练3] (1)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有( )
A．480种 B．360种
C．240种 D．120种
解析：选C.方法一：第一步，先从4个盒子中选1个盒子准备装2个球，有4种选法；第二步，从5个球里选出2个球放到选出的盒子里，有C种放法；第三步，把剩下的3个球放入剩下的3个盒子中，有A种放法．由分步乘法计数原理得不同的放法共有4CA＝240(种).故选C.
方法二：由题意知，有且仅有1个盒子有2个球．第一步：从5个球中选出2个球有C种选法；第二步：将余下的3个球与捆绑在一起的2个球放入4个盒子中有A种放法．故不同的放法共有CA＝240(种).故选C.
(2)(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲、乙两人，每人各3本，有20种分法
B．分给甲、乙、丙三人，其中一人4本，另两人各1本，有90种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
解析：选ABC.对于A，先从6本书中分给甲3本，有C种方法；再从其余的3本书中分给乙3本，有C种方法，所以不同的分配方法有CC＝20(种)，A正确；对于B，先把6本书分成3组：4本、1本、1本，有C种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有CA＝90(种)，B正确；对于C，先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有 eq \f(CC,2！) · eq \f(CC,2！) 种方法；再将2组每组2本的分给甲、乙两人，2组每组1本的分给丙、丁两人，所以不同的分配方法有 eq \f(CC,2！) · eq \f(CC,2！) ·A·A＝180(种)，C正确；对于D，先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有 eq \f(CC,2！) · eq \f(CC,2！) 种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有 eq \f(CC,2！) · eq \f(CC,2！) ·A＝1 080(种)，D错误．故选ABC.
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
1．(教材P27T13改编)从5名男生和4名女生中选4人参加一项创新大赛，恰好3名男生与女生甲参加大赛的方法有( )
A．6种 B．10种
C．15种 D．16种
解析：选B．根据题意，从5名男生选3人有C＝10种选法，女生甲的选法就1种，所以恰好3名男生与女生甲参加大赛的方法有10×1＝10(种).故选B．
2．(多选)将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是( )
A．共有18种安排方法
B．若甲、乙被安排在同社区，则有6种安排方法
C．若A社区需要2名志愿者，则有12种安排方法
D．若甲被安排在A社区，则有12种安排方法
解析：选BCD．对于A，4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法有CA＝36(种)，A错误；
对于B，甲、乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余2名志愿者分配到剩余2个社区，所以安排方法有CA＝6(种)，B正确；
对于C，A社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者分配到剩余2个社区，所以安排方法有CA＝12(种)，C正确；
对于D，甲安排在A社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了2名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择1个，分到A社区，再把剩余2名志愿者分配到剩余2个社区，安排方法有CA种；
第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有CA种，所以安排方法一共有CA＋CA＝12(种)，D正确．故选BCD．
3．(教材P26T9改编)某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有________种．
解析：若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有AA＝12种情况；若前2个节目中恰有1个是语言类节目，有1个是歌唱类节目，则有CCA＝12种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有A＝6种情况，则共有12×6＝72种情况．
综上，有12＋72＝84种不同的排法．
答案：84
INCLUDEPICTURE "HK18.TIF" INCLUDEPICTURE "HK18.TIF" \* MERGEFORMAT
4．如图，在六边形ABCDEF的6个顶点和其对角线AD，BE，CF的交点P，Q，R中，如果过其中的每3个点作一个圆，共可作多少个圆？
解：由题意得共九个点，任取三个点有C＝84种选法，而三点共线的有3C＝12(种)，故能确定84－12＝72个圆．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)有限制条件的组合问题；(2)与几何图形有关的组合问题；(3)不同元素间分组、分配问题．
2．须贯通：(1)特殊元素优先考虑，正繁则反；(2)对于几何问题中的组合问题，应先明确图形中的点、线、面之间的关系，再将几何问题抽象成组合问题来解决；(3)分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题．
3．应注意：平均分组理解不到位，导致计数重复．