6.3.1　二项式定理（教师版）

6．3　二项式定理
6．3.1　二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理．　2.掌握二项式定理及二项展开式的通项．　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF"
观察以下各式：
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
…
思考1　展开式的项数与二项式的次数有关系吗？
提示：有关系，展开式的项数比二项式的次数多1.
思考2　展开式中各项的次数与二项式的次数有关系吗？
提示：有关系，展开式中各项的次数与二项式的次数相等.
思考3　对于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
提示：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项．因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C.
一　二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝______________________(n∈N*)
二项展开式 等式右边的多项式，展开式中共有________项
二项式系数 各项的系数____________(k＝0，1，2，…，n)
通项 Tk＋1＝____________
[答案自填] Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn　n＋1　C　Can－kbk
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)
(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．(　　)
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(　　)
A．3n B．2·3n
C．－1 D．
解析：选D．C＋2C＋4C＋…＋2n－1·C＝(21C＋22C＋23C＋…＋2nC)＝(20C＋21C＋22C＋23C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.故选D．
3．(－)5的展开式为____________________________．
解析：(－)5展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r(－)r＝(－1)r·Cx，所以展开式为x－5x＋10x－10x＋5x－x.
答案：x－5x＋10x－10x＋5x－x
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
二项式定理的正用与逆用
(1)正用：(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用：逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
二　求二项展开式的特定项
　在(－)7的展开式中，求：
(1)第5项；
(2)含x2的项．
【解】　(1)(－)7的展开式的通项为Tk＋1＝C()7－k·()k＝(－1)kCx，k＝0，1，…，7，
T5＝(－1)4Cx＝35x.
(2)令＝2，解得k＝2，所以展开式中含x2的项为(－1)2Cx2＝21x2.
【变式探究】
1．(设问变式)本例条件不变，求展开式中的有理项．
解：由本例(1)解析的通项可知，当且仅当为整数时，Tk＋1为有理项，因为0≤k≤7，k∈N，所以k＝2，6，即展开式中的有理项共2项，它们分别是
T3＝(－1)2Cx2＝21x2，T7＝(－1)6Cx－1＝7x－1.
2．(设问变式)本例条件不变，展开式中是否存在常数项？如果存在，求出常数项；如果不存在，请说明理由．
解：若Tk＋1为常数项，当且仅当＝0，
即k＝，与0≤k≤7，k∈N矛盾，
所以展开式中不存在常数项．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
(1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
[跟踪训练1] (1)在(x2－)n的展开式中，第5项为常数项，则n＝(　　)
A．8 B．6
C．7 D．10
解析：选B．(x2－)n的展开式的第5项为：
T5＝C(x2)n－4(－)4
＝16Cx2n－8·x－4＝16Cx2n－12.
只需2n－12＝0，解得n＝6.故选B．
(2)在二项式(－)6的展开式中，第3项为________，有理项的个数是________．
解析：因为二项式(－)6的展开式的通项为：Tk＋1＝C()6－k·(－)k＝(－1)kC·xeq \s\up9(3－k)，其中k＝0，1，2，…，6.
第3项为T3＝(－1)2Cx3－3＝15；
因为有理项需要x的指数为整数，所以k是2的倍数，所以k＝0，2，4，6.
故展开式中有理项的个数是4.
答案：15　4
三　二项式系数与项的系数
　已知二项式(2－)n的展开式中共有10项．
(1)求展开式的第6项的二项式系数；
(2)(对接教材例2(2))求展开式中含x4的项的系数．
【解】　(1)因为二项式的展开式中共有10项，
所以n＝9，
所以第6项的二项式系数为C＝126.
(2)由(1)知n＝9，所以展开式的通项为
Tk＋1＝C29－k(－)k＝C29－k(－1)kx，
其中k＝0，1，2，…，9.
取＝4，解得k＝8，
所以T9＝C21(－1)8x＝18x4，
故展开式中含x4的项的系数是18.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
(1)二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关；后者与二项式、二项式的指数及项数均有关．
(2)求二项式系数可直接代入求解C，求二项展开式某项的系数可以分为两步完成：①根据所给出的条件和二项式的通项，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件(n为正整数，k为非负整数，n≥k)；②根据所求的指数，求所求解的项或项的系数．
[跟踪训练2] 已知n∈N*，二项式(＋)n.若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中x2的系数．
解：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，
则展开式的通项为Tk＋1＝C()10－k·()k
＝C()kxx＝C()kx，
其中k＝0，1，2，…，10. 令＝2，
解得k＝4，代入通项得
T5＝C()4x2＝x2，
所以x2的系数为.
eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．(教材P31 T2改编)二项式(x2－)6的展开式中的第4项为(　　)
A．－ B．
C． D．－160
解析：选A.因为Tk＋1＝C(x2)6－k·(－)k，所以T4＝C(x2)3(－)3＝－.故选A.
2．(多选)对于二项式(＋x3)n(n∈N*)，以下判断正确的有(　　)
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项
解析：选AD．(＋x3)n(n∈N*)展开式的通项为Tr＋1＝C()n－r·(x3)r＝Cx4r－n，
不妨令n＝4，则r＝1时，展开式中有常数项，故A选项正确，B选项错误；
令n＝3，则r＝1时，展开式中有x的一次项，故C选项错误，D选项正确．
故选AD．
3．(教材P31 T4改编)(x－a)7的展开式中x3的系数为560，则实数a的值为________．
解析：Tr＋1＝Cx7－r(－a)r，令7－r＝3，得r＝4，故T5＝Ca4x3，由题意知Ca4＝560，即35a4＝560，解得a＝±2.
答案：±2
4．已知二项式(－)n的展开式中第3项的二项式系数为15.求：
(1)n；
(2)展开式中的常数项．
解：(1)由题意得，C＝15，即＝15，
化简得n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)，所以n＝6.
(2)由二项展开式的通项得
Tr＋1＝C()6－r(－)r
＝(－1)rCx，
因为0≤r≤6，r∈N，令＝0，得r＝2，
所以常数项为T3＝(－1)2C＝15.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF"
1．已学习：(1)二项式定理；(2)求二项式定理的特定项；(3)二项式系数与项的系数．
2．须贯通：(1)二项展开式的特点；(2)求二项展开式的常数项或有理项的方法，特别地，常数项是字母的指数为0的项；有理项是字母的指数恰好是整数的项；(3)项与项的系数的不同．
3．应注意：二项式系数与项的系数的区别；Can－kbk是(a＋b)n展开式的第k＋1项，不是第k项．