6.3.2　课后达标检测（教师版）

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1．(－x)n展开式中的各二项式系数之和为256，则n的值为(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
解析：选C.(－x)n展开式中的各二项式系数之和为2n＝256，解得n＝8.故选C.
2．已知(－2x2)n的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是(　　)
A．－240 B．－240x6
C．240x6 D．240
解析：选C.由题可得，＋1＝4，解得n＝6，所以T5＝C()2(－2x2)4＝240x6.故选C.
3．在(－)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数之和为(　　)
A．1 B．－32
C．0 D．32
解析：选D．依题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，则(－)5＝(3－1)5＝25＝32，所以展开式中所有项的系数之和为32.故选D．
4．已知n∈N*，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若4a1＋a2＝80，则该展开式各项的二项式系数和为(　　)
A．81 B．64
C．27 D．32
解析：选D．a1＝C·2＝2n，a2＝C·22＝4C，所以4×2n＋4C＝80，解得n＝5或n＝－8(舍去)，所以该展开式各项的二项式系数和为25＝32. 故选D．
5．已知(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4＝(　　)
A．－54 B．－52
C．－50 D．－48
解析：选A.(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－1)3－(1＋2)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝－80；
令x＝－1，得(－2－1)3－(－1＋2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝－28；
由两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝－108，所以a0＋a2＋a4＝－54.故选A.
6．(多选)已知函数f(x)＝(3x－)n，则下列关于f(x)的展开式的结论中正确的是(　　)
A．当n＝11时，f(x)的展开式共有11项
B．当n＝8时，f(x)的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为1∶2
C．当n＝7时，f(x)的展开式中，各项系数之和为－1
D．若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则n＝7
解析：选BD．对于A，当n＝11时，f(x)的展开式共有12项，A错误；对于B，当n＝8时，f(x)的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为C∶C＝28∶56＝1∶2，B正确；对于C，当n＝7时，f(x)＝(3x－)7，此时，f(x)的展开式中，各项系数之和为f(1)＝(3－2)7＝1，C错误；对于D，若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则函数f(x)的展开式中共8项，即n＋1＝8，故n＝7，D正确．故选BD．
7．已知(1＋2x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为________．
解析：由题意可得，C＝C，所以n＝10，则(1＋2x)10的二项式系数之和为210.所以所有偶数项的二项式系数之和为＝29＝512.
答案：512
8．已知(x－)n的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则其展开式中有理项共有________项．
解析：由题意得2n＝64，解得n＝6，(x－)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C·(－)rxeq \s\up9(6－r)，当r＝0，2，4，6时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项．
答案：4
9．若(2x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．
解析：依题意，(2x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝0，得a0＝1；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.
答案：0
10．已知(3x＋)n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是.求：
(1)二项展开式中各二项式系数和；
(2)二项展开式中系数最大的项．
解：(1)由题意得C∶C＝1∶3，即＝，解得n＝7，故二项展开式中各二项式系数和为27＝128.
(2)(3x＋)7展开式的通项为Tr＋1＝C·37－r·2r·x7－，
设展开式中系数最大的项为Tr＋1，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·37－r·2r≥C·36－r·2r＋1，,C·37－r·2r≥C·38－r·2r－1，))
解得≤r≤，又r∈N，所以r＝3，所以展开式中系数最大的项为T4＝22 680x.
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11．已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则a3＝(　　)
A．240 B．－240
C．280 D．－280
解析：选D．令x＝，则有(1－m)7＝a0＋＋＋…＋＝－128，
即(1－m)7＝－128＝(－2)7，故m＝3，
即有(2x－m)7＝(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7，
对[－1－2(1－x)]7，有Tk＋1＝C·(－1)7－k·[－2(1－x)]k＝(－1)7－k·(－2)k·C(1－x)k，
令k＝3，则有T4＝(－1)4·(－2)3·C·(1－x)3＝－280(1－x)3，即a3＝－280.故选D．
12．(多选)已知(3x＋2)20＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20，则(　　)
A．a0＝220
B．a0＋a2＋a4＋…＋a20＝1
C．展开式系数中a9最大
D．a0－＋－＋…＋＝1
解析：选AD．令f(x)＝(3x＋2)20＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20，
当x＝0时，a0＝f(0)＝220，A正确；
当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a20＝f(1)＝520，当x＝－1时，a0－a1＋a2－…＋a20＝f(－1)＝1，
因此a0＋a2＋a4＋…＋a20＝，B错误；
f(x)展开式的通项为Tr＋1＝
C(3x)20－r2r＝2r·320－rCx20－r，r≤20，r∈N，设第r＋1项的系数最大，显然r≠0且r≠20，于是
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(320－r·2rC≥319－r·2r＋1C，,320－r·2rC≥321－r·2r－1C，))
即
整理得
解得≤r≤，而r为整数，则r＝8，所以展开式系数中a12最大，C错误；
当x＝－时，a0－＋－＋…＋＝f(－)＝＝1，D正确．故选AD．
13．设m为正整数，(x2＋)2m展开式中二项式系数的最大值为a，(x2＋)2m＋1展开式中二项式系数的最大值为b，若7a＝4b，则(x2＋)2m展开式中的常数项为________．
解析：由题可知，a＝C，b＝C＝C.
因为7a＝4b，所以7·＝4·，
即7(m＋1)＝4(2m＋1)，
解得m＝3，故(x2＋)6展开式中的常数项为C(x2)2()4＝15.
答案：15
14．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
解：(1)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得(0－3)4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝1－81＝－80.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①
令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4×(2－3)4
＝(2＋3)4×(2－3)4＝625.
(3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，
由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|
＝－a1＋a2－a3＋a4
＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0
＝－(－)－81＝544.
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15．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前45项的和为(　　)
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A.2 026 B．2 025
C．2 024 D．2 023
解析：选A.由题意可知，n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第n行，则“杨辉三角”第n行各项之和为2n，所以第n行去掉所有为1的项的各项之和为2n－2，从第2行开始每一行去掉所有为1的项后剩余的数字个数为1，2，3，4，…，则1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，即至第10行结束，数列共有45项，所以此数列的前45项的和为21－2＋22－2＋23－2＋…＋210－2＝－2×10＝ 2 026.故选A.
16．请先阅读：对等式sin (x－α)＝sin x cos α－cos x sin α(x∈R，α为常数)的两边求导有：(sin (x－α))′＝(sin x cos α－cos x sin α)′，由求导法则得cos (x－α)＝cos x cos α＋sin x sin α，再在上式中令x＝α得cos2α＋sin2α＝1.借助上述想法，结合等式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn(x∈R，正整数n≥2)，解答以下问题：
(1)求C＋2C＋…＋5C的值；
(2)化简C＋22C＋32C＋…＋n2C.
解：(1)在等式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn(x∈R，正整数n≥2)，
两边对x求导得n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋3Cx2＋…＋nCxn－1，①
令x＝1，n＝5，可得C＋2C＋…＋5C＝5×(1＋1)4＝80.
(2)①式两边同时乘以x得
nx(1＋x)n－1＝Cx＋2Cx2＋3Cx3＋…＋nCxn，②
②式两边对x求导得n(1＋x)n－1＋n(n－1)x(1＋x)n－2＝C＋22Cx＋32Cx2＋…＋n2Cxn－1，
令x＝1，得C＋22C＋32C＋…＋n2C
＝n·2n－1＋n·(n－1)2n－2
＝n(n＋1)2n－2.