培优1　杨辉三角的性质与应用（教师版）

INCLUDEPICTURE "培优1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "培优1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　杨辉三角的性质与应用
杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.在欧洲，这个表被叫做帕斯卡三角，帕斯卡的发现要比杨辉晚400年左右
INCLUDEPICTURE "M24+.TIF" INCLUDEPICTURE "M24+.TIF" \* MERGEFORMAT
杨辉三角的性质：
(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1.
(2)从第二行起，不在两端的任意一个数，都等于它肩上的两个数相加，即C＝C＋C.
(3)当r＜时，二项式系数是逐渐变大的；当r＞时，二项式系数是逐渐变小的．
(4)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．
(5)第n行数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(6)自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即C＋C＋C＋…＋C＝C，如图所示．
INCLUDEPICTURE "HK25.TIF" INCLUDEPICTURE "HK25.TIF" \* MERGEFORMAT )
类型一 杨辉三角中“项”的问题
INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开后的二项式系数构成的三角形数阵(如图所示)，称做“开方作法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了600多年，若从第0行开始，用A(m，n)表示三角形数阵中的第m行第n个数，则A(101，3)＝________．(结果用数字作答)
INCLUDEPICTURE "HK26.TIF" INCLUDEPICTURE "HK26.TIF" \* MERGEFORMAT
【解析】　由杨辉三角及二项式展开式的二项式系数可知，第n行第k个数为C，故A(101，3)＝C＝＝5 050.
【答案】　5 050
类型二 杨辉三角中“行”的问题
INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.
第0行1
第1行1　　1
第2行1　 　2　 　1
第3行1　 　3　 　3　 　1
第4行1　 　4　 　6　 　4　 　1
第5行1　　5　　10　　10　　5　　1
　 　　　　　　　
【解析】　由题意可知第n行第m个数为C(n，m∈N*)，根据题意，设所求的行数为n(n∈N*)，则存在正整数k，使得连续三项C，C，C，有 eq \f(C,C) ＝且 eq \f(C,C) ＝.化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．
【答案】　62
类型三 杨辉三角中“和”的问题
INCLUDEPICTURE "典例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　杨辉三角(如图所示)是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2 024行，每行的第3个数字之和为(　　)
INCLUDEPICTURE "HK27.TIF" INCLUDEPICTURE "HK27.TIF" \* MERGEFORMAT
A．C　　　　　　　 B．C
C．C－1 D．C－1
【解析】　C＋C
＝＋
＝
＝＝
＝C，
由此可得，第2行到第2 024行，每行的第3个数字之和为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C.故选B．
【答案】　B
【尝试训练】
1．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中所选数1，1，2，3，6，10，20，…构成的数列{an}的第n项，则a12的值为(　　)
INCLUDEPICTURE "HK28.TIF" INCLUDEPICTURE "HK28.TIF" \* MERGEFORMAT
A．252 B．426
C．462 D．924
解析：选C.根据数字的构成规律，可得数列{an}的奇数项为每行的第＋1项，偶数项为每行的第项，则a12即第11行的第＝6项，结合二项式系数的性质，可得a12＝C＝462.故选C.
2．将杨辉三角中的每一个数C都换成 eq \f(1,（n＋1）C) ，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果n≥2(n为正整数)，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "HK31.TIF" INCLUDEPICTURE "HK31.TIF" \* MERGEFORMAT
①当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值；②第8行第2个数是；③ eq \f(1,（n＋1）C) ＝ eq \f(1,（n＋1）C) (r∈N，0≤r≤n).
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：选C.对于①，根据杨辉三角的特点，当n为偶数时，中间的一项取得最大值，当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以①错误；
对于②，第7行第1个数为，第8行第1个数为，所以第8行第2个数为－＝，所以②正确；
对于③，每一行距离首末距离相等的两项相等，即 eq \f(1,（n＋1）C) ＝ eq \f(1,（n＋1）C) (r∈N，0≤r≤n)，所以③正确．
3．(多选)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律．请结合“杨辉三角”判断下列叙述中正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "HK29.TIF" INCLUDEPICTURE "HK29.TIF" \* MERGEFORMAT
A．C＋C＋C＋…＋C＝118
B．第20行中，第11个数最大
C．记第n行的第i个数为ai，则i－1ai＝3n
D．第34行中，第15个数与第16个数的比为3∶4
解析：选BCD．对于A，由C＋C＝C可得，C＋C＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋C＋C＋…＋C－1
＝(C＋C)＋C＋…＋C－1＝…
＝C－1＝119，故A错误；
对于B，第20行有21项，中间一项最大为C，是第11个数，故B正确；
对于C，第n行的第i个数为ai，则ai＝C，
所以i－1ai＝20a1＋21a2＋22a3＋…＋2nan＋1
＝C20＋C21＋C22＋…＋C2n
＝(1＋2)n＝3n，故C正确；
对于D，第34行中，第15个数与第16个数的比为C∶C＝∶
＝15∶20＝3∶4，故D正确．故选BCD．
4．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列前n项和为S(n)，则S(31)＝ ________．
INCLUDEPICTURE "HK30.TIF" INCLUDEPICTURE "HK30.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：由“杨辉三角”性质，得：
S(31)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)－1＝C＋C－1＝951.
答案：951