强化课 二项式定理的综合问题（教师版）
文档属性
| 名称 | 强化课 二项式定理的综合问题（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 153.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 二项式定理的综合问题
题型一 两个多项式积的问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数是( )
A．4 B．8
C．12 D．16
(2)已知(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为240，则a＝________．
【解析】 (1)由(1＋2x2)(1＋x)4知展开式中含有x3的项为1×C×11×x3＝4x3和2x2×C×13×x＝8x3 ，所以展开式中x3的系数为4＋8＝12.故选C.
(2)(x＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r·()r＝2rCx5－2r(r＝0，1，2，3，4，5)，
令5－2r＝－1得r＝3；令5－2r＝0，无解，
所以(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为a·23C＝80a＝240，所以a＝3.
【答案】 (1)C (2)3
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分；
(3)分别求解再相乘，求和即得．
[跟踪训练1] (1)(x2＋y2)(x＋y)7的展开式中x5y4的系数为( )
A．28 B．35
C．56 D．70
解析：选C.因为(x＋y)7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7－ryr，其中0≤r ≤7，r∈N，令r＝2得x5y2的系数为C，令r＝4得x3y4的系数为C，所以(x2＋y2)(x＋y)7的展开式中x5y4的系数为C＋C＝56，故选C.
(2)若(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，则实数a的值为________．
解析：(1＋ax2)(1＋x)6＝(1＋x)6＋ax2(1＋x)6，(1＋x)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr(r＝0，1，2，3，4，5，6)，
令r＝4时，C＝15；令r＝2时，C＝15，
因为(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，
所以15＋15a＝－45，解得a＝－4.
答案：－4
题型二 三项展开式问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1＋x＋x2)5的展开式中所有项的系数和是________，含x3的项的系数是________．
【解析】 令x＝1，则所有项的系数和是(1＋1＋12)5＝243.
方法一：因为(1＋x＋x2)5的展开式通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－rx2r(r＝0，1，2，3，4，5)，
所以当r＝0时，则(1＋x)5－r展开式中的含x3的项为Cx3；
当r＝1时，则(1＋x)5－r展开式中的含x的项为Cx；
所以含x3的项的系数是CC＋CC＝10＋20＝30.
方法二：(1＋x＋x2)5是5个式子(1＋x＋x2)连乘，欲求含x3＝x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个式子(1＋x＋x2)中选三个式子提供x，两个式子提供1；或者一个式子提供x，一个式子提供x2，三个式子提供1即可，所以含x3的项的系数是CC＋CCC＝10＋20＝30.
【答案】 243 30
【变式探究】
(设问变式)(1＋x＋x2)5展开式中奇次项的系数和为( )
A．124 B．123
C．122 D．121
解析：选D．由(1＋x＋x2)5＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)·…·(1＋x＋x2)知，展开中出现的项为aixi(i＝0，1，2，…，10)，
故可设(1＋x＋x2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，
当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝243，①
当x＝－1时，a0－a1＋a2－…－a9＋a10＝1.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝242，
所以a1＋a3＋…＋a9＝121.故选D．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合．项与项结合时，要注意合理性和简捷性．
[跟踪训练2] (1)(x＋2＋)3展开式中的常数项为( )
A．6 B．15
C．20 D．28
解析：选C.因为(x＋2＋)3＝[]3＝，所以展开式中的常数项即(x＋1)6展开式中x3的系数，即C＝20.故选C.
(2)(x－2y＋z)8的展开式共有________项，其中含x3y3z2的项的系数是________．(用数字作答)
解析：方法一：当(x－2y＋z)8展开式的项只含有1个字母时，有3项；当(x－2y＋z)8展开式的项只含有2个字母时，有CC＝21项；当(x－2y＋z)8展开式的项含有3个字母时，有C＝21项，所以(x－2y＋z)8的展开式共有45项．
方法二：因为(x－2y＋z)8＝[(x－2y)＋z]8
＝C(x－2y)8＋C(x－2y)7z＋…＋C(x－2y)z7＋Cz8，
由二项式定理可知，(x＋y)n展开式中共有n＋1项，
所以(x－2y＋z)8的展开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项．
(x－2y＋z)8是8个(x－2y＋z)连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个(x－2y＋z)式子中选定3个(x－2y＋z)提供x，在剩下的5个(x－2y＋z)中选定3个(x－2y＋z)提供y，剩下的最后2个(x－2y＋z)提供z，则x3y3z2的系数是CC·(－2)3C＝－4 480.
答案：45 －4 480
题型三 二项式定理的实际应用
角度1 整除问题
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)719－1除以8的余数为( )
A．0 B．2
C．4 D．6
(2)若642 024＋m能被13整除，则正整数m的最小取值为________．
【解析】 (1) 719－1＝(72－1)9－1＝C729＋C728×(－1)＋…＋C72×(－1)8＋C(－1)9－1＝72[C728＋C727×(－1)＋…＋C(－1)8]－2，
因为72[C728＋C727×(－1)＋…＋C(－1)8]肯定是8的倍数，
因此719－1除以8的余数为6.故选D．
(2)642 024＋m＝(13×5－1)2 024＋m
＝C(13×5)2 024＋C(13×5)2 023×(－1)1＋C(13×5)2 022×(－1)2＋…＋C(13×5)1×(－1)2 023＋1＋m，因为C(13×5)2 024＋C(13×5)2 023×(－1)1＋C(13×5)2 022×(－1)2＋…＋C(13×5)1×(－1)2 023能被13整除，所以m＋1是13的倍数时，642 024＋m能被13整除，
所以正整数m的最小取值为12.
【答案】 (1)D (2)12
角度2 近似计算
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m′，则下列各数中与最接近的是( )
A．70% B．65%
C．60% D．55%
(2)用二项式定理估算1.0110的值为________．(精确到0.001)
【解析】 (1)由题意可知m′＝m0(1－5%)10，
即＝(1－5%)10＝1－C×0.05＋C×0.052－C×0.053＋…＋C×0.0510 ≈1－0.5＋45×0.052＝61.25%，与C选项最接近．故选C.
(2)1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋C×0.01＋C×0.012＋C×0.013＋…＋C×0.0110≈1＋0.1＋0.0045＝1.1045≈1.105.
【答案】 (1)C (2)1.105
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
整除问题和近似计算的解题策略
(1)整除问题的解题思路
用二项式定理解决整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负；二是二项式定理的逆用．
(2)求近似值的基本方法
利用二项式定理进行近似计算：当n不是很大，且|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
[跟踪训练3] (1)若今天是星期二，则5123天后是星期( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析：选A.令A＝7×18，则
5123＝12541＝(A－1)41
＝CA41－CA40＋CA39－…＋CA－1
＝CA41－CA40＋CA39－…＋CA－7＋6，
所以5123除以7的余数为6，故今天是星期二，则5123天后是星期一．故选A.
(2)0.9915的近似值是________．(精确到0.01)
解析：因为0.9915＝(1－0.009)5
＝1－C×0.0091＋C×0.0092－…－C0.0095
≈1－0.045＝0.955，
所以将0.9915精确到0.01的近似值为0.96.
答案：0.96
题型一 两个多项式积的问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数是( )
A．4 B．8
C．12 D．16
(2)已知(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为240，则a＝________．
【解析】 (1)由(1＋2x2)(1＋x)4知展开式中含有x3的项为1×C×11×x3＝4x3和2x2×C×13×x＝8x3 ，所以展开式中x3的系数为4＋8＝12.故选C.
(2)(x＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r·()r＝2rCx5－2r(r＝0，1，2，3，4，5)，
令5－2r＝－1得r＝3；令5－2r＝0，无解，
所以(ax－2)(x＋)5的展开式中的常数项为a·23C＝80a＝240，所以a＝3.
【答案】 (1)C (2)3
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分；
(3)分别求解再相乘，求和即得．
[跟踪训练1] (1)(x2＋y2)(x＋y)7的展开式中x5y4的系数为( )
A．28 B．35
C．56 D．70
解析：选C.因为(x＋y)7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7－ryr，其中0≤r ≤7，r∈N，令r＝2得x5y2的系数为C，令r＝4得x3y4的系数为C，所以(x2＋y2)(x＋y)7的展开式中x5y4的系数为C＋C＝56，故选C.
(2)若(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，则实数a的值为________．
解析：(1＋ax2)(1＋x)6＝(1＋x)6＋ax2(1＋x)6，(1＋x)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr(r＝0，1，2，3，4，5，6)，
令r＝4时，C＝15；令r＝2时，C＝15，
因为(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，
所以15＋15a＝－45，解得a＝－4.
答案：－4
题型二 三项展开式问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1＋x＋x2)5的展开式中所有项的系数和是________，含x3的项的系数是________．
【解析】 令x＝1，则所有项的系数和是(1＋1＋12)5＝243.
方法一：因为(1＋x＋x2)5的展开式通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－rx2r(r＝0，1，2，3，4，5)，
所以当r＝0时，则(1＋x)5－r展开式中的含x3的项为Cx3；
当r＝1时，则(1＋x)5－r展开式中的含x的项为Cx；
所以含x3的项的系数是CC＋CC＝10＋20＝30.
方法二：(1＋x＋x2)5是5个式子(1＋x＋x2)连乘，欲求含x3＝x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个式子(1＋x＋x2)中选三个式子提供x，两个式子提供1；或者一个式子提供x，一个式子提供x2，三个式子提供1即可，所以含x3的项的系数是CC＋CCC＝10＋20＝30.
【答案】 243 30
【变式探究】
(设问变式)(1＋x＋x2)5展开式中奇次项的系数和为( )
A．124 B．123
C．122 D．121
解析：选D．由(1＋x＋x2)5＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)·…·(1＋x＋x2)知，展开中出现的项为aixi(i＝0，1，2，…，10)，
故可设(1＋x＋x2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，
当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝243，①
当x＝－1时，a0－a1＋a2－…－a9＋a10＝1.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝242，
所以a1＋a3＋…＋a9＝121.故选D．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合．项与项结合时，要注意合理性和简捷性．
[跟踪训练2] (1)(x＋2＋)3展开式中的常数项为( )
A．6 B．15
C．20 D．28
解析：选C.因为(x＋2＋)3＝[]3＝，所以展开式中的常数项即(x＋1)6展开式中x3的系数，即C＝20.故选C.
(2)(x－2y＋z)8的展开式共有________项，其中含x3y3z2的项的系数是________．(用数字作答)
解析：方法一：当(x－2y＋z)8展开式的项只含有1个字母时，有3项；当(x－2y＋z)8展开式的项只含有2个字母时，有CC＝21项；当(x－2y＋z)8展开式的项含有3个字母时，有C＝21项，所以(x－2y＋z)8的展开式共有45项．
方法二：因为(x－2y＋z)8＝[(x－2y)＋z]8
＝C(x－2y)8＋C(x－2y)7z＋…＋C(x－2y)z7＋Cz8，
由二项式定理可知，(x＋y)n展开式中共有n＋1项，
所以(x－2y＋z)8的展开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项．
(x－2y＋z)8是8个(x－2y＋z)连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个(x－2y＋z)式子中选定3个(x－2y＋z)提供x，在剩下的5个(x－2y＋z)中选定3个(x－2y＋z)提供y，剩下的最后2个(x－2y＋z)提供z，则x3y3z2的系数是CC·(－2)3C＝－4 480.
答案：45 －4 480
题型三 二项式定理的实际应用
角度1 整除问题
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)719－1除以8的余数为( )
A．0 B．2
C．4 D．6
(2)若642 024＋m能被13整除，则正整数m的最小取值为________．
【解析】 (1) 719－1＝(72－1)9－1＝C729＋C728×(－1)＋…＋C72×(－1)8＋C(－1)9－1＝72[C728＋C727×(－1)＋…＋C(－1)8]－2，
因为72[C728＋C727×(－1)＋…＋C(－1)8]肯定是8的倍数，
因此719－1除以8的余数为6.故选D．
(2)642 024＋m＝(13×5－1)2 024＋m
＝C(13×5)2 024＋C(13×5)2 023×(－1)1＋C(13×5)2 022×(－1)2＋…＋C(13×5)1×(－1)2 023＋1＋m，因为C(13×5)2 024＋C(13×5)2 023×(－1)1＋C(13×5)2 022×(－1)2＋…＋C(13×5)1×(－1)2 023能被13整除，所以m＋1是13的倍数时，642 024＋m能被13整除，
所以正整数m的最小取值为12.
【答案】 (1)D (2)12
角度2 近似计算
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m′，则下列各数中与最接近的是( )
A．70% B．65%
C．60% D．55%
(2)用二项式定理估算1.0110的值为________．(精确到0.001)
【解析】 (1)由题意可知m′＝m0(1－5%)10，
即＝(1－5%)10＝1－C×0.05＋C×0.052－C×0.053＋…＋C×0.0510 ≈1－0.5＋45×0.052＝61.25%，与C选项最接近．故选C.
(2)1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋C×0.01＋C×0.012＋C×0.013＋…＋C×0.0110≈1＋0.1＋0.0045＝1.1045≈1.105.
【答案】 (1)C (2)1.105
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
整除问题和近似计算的解题策略
(1)整除问题的解题思路
用二项式定理解决整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负；二是二项式定理的逆用．
(2)求近似值的基本方法
利用二项式定理进行近似计算：当n不是很大，且|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
[跟踪训练3] (1)若今天是星期二，则5123天后是星期( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析：选A.令A＝7×18，则
5123＝12541＝(A－1)41
＝CA41－CA40＋CA39－…＋CA－1
＝CA41－CA40＋CA39－…＋CA－7＋6，
所以5123除以7的余数为6，故今天是星期二，则5123天后是星期一．故选A.
(2)0.9915的近似值是________．(精确到0.01)
解析：因为0.9915＝(1－0.009)5
＝1－C×0.0091＋C×0.0092－…－C0.0095
≈1－0.045＝0.955，
所以将0.9915精确到0.01的近似值为0.96.
答案：0.96