6.2.2　第1课时　排列数公式（教师版）

6．2.2　排列数
第1课时　排列数公式
学习目标
1.能利用计数原理推导排列数公式．　2.能运用排列数公式解决简单的实际问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
某场乒乓球决赛中，某团队的选手发挥出色，将女单、女双两个项目的冠军收入囊中．由运动员、教练员和后勤保障人员组成36人的某代表团为了记录这一刻，要站成一排合影留念．
思考1　这36人的排列顺序有多少种？
提示：36×35×34×…×2×1.
思考2　从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，如何计算？
提示：n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1).
一　 排列数及排列数公式
1．排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．
2．排列数公式
A＝____________________＝(m，n∈N*，m≤n).
3．全排列
把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．这时，排列数公式中m＝n，即有A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1.也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．正整数1到n的连乘积，叫做____________，用______表示．于是n个元素的全排列数公式可以写成____________．另外规定，0！＝______．
[答案自填] 所有不同排列的个数　A
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　n的阶乘
n！　A＝n！　1
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例3)(1)5A＋4A＝(　　)
A．107 B．323
C．320 D．348
(2)2 024×2 023×2 022×…×2 008＝(　　)
A．A B．A
C．A D．A
(3)计算：A－A(n∈N*)＝________．
【解析】　(1)5A＋4A＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.故选D．
(2)根据排列数的定义可得，
2 024×2 023×2 022×…×2 008＝2 024×2 023×2 022×…×(2 024－17＋1)＝A.故选C.
(3)由已知可得n∈N*，解得n＝3，所以A－A＝A－A＝720－24＝696.
【答案】　(1)D　(2)C　(3)696
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
排列数的计算方法
(1)乘积公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)；
(2)乘积公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数．
[注意]　(1)乘积公式中是m个连续正整数的乘积；(2)乘积公式中的第一个数最大，是A的下标n；(3)乘积公式中的第m个数最小，是n－m＋1.
[跟踪训练1] (1)已知n∈N*，n<21，则(21－n)·(22－n)·…·(100－n)＝(　　)
A．A B．A
C．A D．A
解析：选A.因为21－n，22－n，…，100－n，共有80个数，且最大的数为100－n，
所以原式＝A.故选A.
(2)计算 eq \f(A＋A,A－A) ＝________．
解析： eq \f(A＋A,A－A) ＝ eq \f(5A＋A,5A－A) ＝ eq \f(6A,4A) ＝ eq \f(6A,4×10A) ＝.
答案：
(3)若M＝A＋A＋A＋…＋A，则M的个位数字是________．
解析：因为当n≥5时，A＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，所以当n≥5时A的个位数字为0；又因为A＋A＋A＋A＝1＋2＋6＋24＝33，所以M的个位数字为3.
答案：3
二　 排列数公式的简单应用
角度1　利用排列数公式解方程或不等式
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)不等式A<6A的解集为(　　)
A．[2，8] B．[2，6]
C．(7，12) D．{8}
(2)若3A＝2A＋6A，则x＝________．
【解析】　(1)由A<6A，得<6×，化简得x2－19x＋84<0，
解得7又所以②
由①②，得x＝8.
(2)由题得3×
＝2×＋6×，
则＋＝3，
所以2(x＋1)＋6(x－1)＝3(x－1)(x－2)，
则3x2－17x＋10＝0，即(3x－2)(x－5)＝0，又x∈N*，故x＝5.
【答案】　(1)D　(2)5
角度2　利用排列数公式证明恒等式
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　求证：A＋mA＝A(m，n为大于1的自然数).
【证明】　A＋mA＝n(n－1)·…·(n－m＋1)＋mn(n－1)·…·(n－m＋1＋1)＝n(n－1)·…·(n－m＋2)·[(n－m＋1)＋m]＝(n＋1)n(n－1)·…·(n＋1－m＋1)＝A.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
含有排列数的方程、不等式或恒等式的证明问题，一般使用排列数公式的阶乘形式A＝ ，在具体运算时，应注意先提取公因式再计算，同时注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”．当m＝0时，A＝0！＝1.
[跟踪训练2] (1)已知A＝2A，x∈N*，则x＝________．
解析：因为A＝2A，所以＝2×，且1≤x≤5，2≤x≤7，x∈N*，即2≤x≤5，x∈N*，所以(7－x)(6－x)＝12，解得x＝3或x＝10(舍去)，所以x＝3.
答案：3
(2)已知n为不小于2的正整数，求证：A－A＝n2A.
证明：因为A＝(n＋1)n(n－1)×…×2×1，A＝n(n－1)×…×2×1，A＝(n－1)×…×2×1，
所以A－A
＝(n＋1)n(n－1)×…×2×1－n(n－1)×…×2×1
＝[(n＋1)－1]×[n(n－1)×…×2×1]
＝n×[n(n－1)×…×2×1]＝n2A.
原式得证．
三　 排列数公式的实际应用
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
【解】　由题意得，可分3类，第1类，用1面旗表示的信号有A种；
第2类，用2面旗表示的信号有A种；
第3类，用3面旗表示的信号有A种，由分类加法计数原理，所求的信号种数是A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．
【变式探究】
(综合变式)若信号兵用红旗2面，黄旗、蓝旗各1面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号(4面旗全部用上)，不同的颜色排成的顺序表示不同的信号，能表示多少种信号？
解：用4面旗表示信号可分两步：第一步，先从4个位置选两个位置安排黄旗和蓝旗共有A＝12种方法；第二步，剩下的两个位置排红旗，因为颜色一样，与顺序无关，所以只有1种排法．由分步乘法计数原理，所表示的不同信号共有12×1＝12(种).
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
解简单排列应用题的思路
(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．
(2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件．
(3)运用排列数公式求解．
[跟踪训练3] (1)某公司有5艘远洋货轮，现在要派遣3艘执行运输任务，若派遣顺序有先后之分，共有多少种不同的派遣方法？
解：依题意，不同的派遣方法有A＝5×4×3＝60(种).
(2)现有3张卡片，正、反面分别标有数字1和2，3和4，5和6，若将3张卡片并列组成一个三位数，则可以得到多少个不同的三位数？
解：“组成三位数”这件事，分两步完成：
第一步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素进行全排列，即A；
第二步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种选法，即23.
根据分步乘法计数原理，可以得到A×23＝48个不同的三位数．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，则不同的选法种数是(　　)
A．20 B．16
C．10 D．6
解析：选A.从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长的选法，相当于从5个元素中任选2个元素的排列数，即有A＝5×4＝20种选法．故选A.
2．(多选)(教材P20T2改编)下列各式中与排列数A相等的是(　　)
A．
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C． eq \f(nA,n－m＋1)
D．AA
解析：选AD．对于A，由排列数公式知，A＝，A正确；
对于B，A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，B错误；
对于C， eq \f(nA,n－m＋1) ＝＝≠A，C错误；
对于D，AA＝n·＝＝A，D正确．故选AD．
3．(教材P20T1改编)A－89A－8A＝________．
解析：原式＝10！－89×8！－8！＝8！－8！＝0.
答案：0
4．(1)某农场要在4种不同类型的土地上，分别试验种植A，B，C，D四个不同品种的小麦，共有多少种不同的种植方案？
(2)从1，2，3，4，5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？
解：(1)由题意，A，B，C，D四个不同品种的小麦在4种不同类型的土地上全排列，故种植方案共有A＝24(种).
(2)因为坐标由横坐标和纵坐标组成，且有一定的顺序，所以由排列数的定义可得满足条件的坐标有A＝5×4＝20(个)，故一共可以组成20个不同的点．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)排列数、排列数公式；(2)利用排列数公式化简与证明；(3)排列数公式的简单应用．
2．须贯通：恰当选择排列数公式两种不同的表示形式：(1)乘积形式主要用于排列数的计算；(2)阶乘形式常用于化简、证明或方程(不等式)的求解．
3．应注意：易忽视A中“m∈N，n∈N*且m≤n”这个条件．