6.2.2 第2课时 排列中的综合应用（教师版）
文档属性
| 名称 | 6.2.2 第2课时 排列中的综合应用（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 245.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
第2课时 排列中的综合应用
学习目标
1.掌握几种有限制条件的排列． 2.能应用排列数公式解决简单的实际问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
一 数字排列问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例4)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位数的奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)比400 000大的正整数．
【解】 (1)先排个位数，有A＝3(种)，因为0不能在首位，再排首位有A＝4(种)，最后排其他数有A＝24(种)，
根据分步乘法计数原理得，六位数的奇数有3×4×24＝288(个).
(2)因为0是特殊元素，分两类：个位数字是0，和个位数字不是0.
当个位数是0，有A＝120(个)；
当个位数不是0，有A·A·A＝384(个)，
根据分类加法计数原理得，个位数字不是5的六位数有120＋384＝504(个).
(3)要比400 000大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可，
所以有2A＝2×120＝240(个).
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
数字排列问题解题策略
(1)优先法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．
(2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行计数，要注意如下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类时要做到不重不漏．
(3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数．
[跟踪训练1] (1)用0到9这10个数字，组成没有重复数字的四位偶数的个数是( )
A．2 295 B．2 296
C．2 297 D．2 298
解析：选B．先排个位，若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有A个；若个位不是0，则个位有A种选择，再排千位，有A种选择，再排百位和十位有A种选择，所以没有重复数字的四位偶数共有A＋A×A×A＝2 296(个).
(2)用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数字．
解析：首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A＝6种结果；前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有A＝2种结果；
前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果；
所以数字12 340前面有6＋2＋1＝9个数字，数字12 340应是第10个数字．
答案：10
二 排队问题
角度1 “在”与“不在”问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
【解】 (1)方法一：把元素作为研究对象．
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法．
第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160种排法．
方法二：把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种排法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160种排法．
方法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行全排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种).
(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800种方法．
(3)不考虑限制条件，总的情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，又因为甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860种排法．
【变式探究】
(条件变式)本例中的问题变为：甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
解：把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种排法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200种排法．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
“在”与“不在”排列问题的解题原则及方法
(1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
[跟踪训练2] (1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B．甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能．丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，则所求概率为＝，故选B．
(2)校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2名志愿者不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有________种．
解析：依题意，分两步：①在甲、乙之外的4人中任选1人，承担铅球记录工作，有4种情况；②在剩下的5人中任选2人，承担跳高和跳远记录工作，有A＝20种情况，则不同的安排方法有4×20＝80(种).
答案：80
角度2 “相邻”与“不相邻”问题
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序．(结果用数字作答)
(1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
【解】 (1)先将4首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有A种情况，再将捆绑好的4首歌曲看做一个整体与3个舞蹈排序，有A种情况，所以有A·A＝576种不同的出场顺序．
(2)先将4首歌曲排好，有A种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有A种情况，所以有A·A＝1 440种不同的出场顺序．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
“相邻”与“不相邻”问题的解题策略
处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．
(1)元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
(2)元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
[跟踪训练3] (1)现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为( )
A．AA B．A－AA
C．AA D．A－A
解析：选B．7个人全排列减去3个女生全部相邻的情况，即A－AA.故选B．
(2)中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团预计在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“书”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是________．
解析：由题意“书”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有A种排法，然后与“礼”“数”进行排序，共有A种排法，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有A种排法，由于是分步进行，所以共有A·A·A＝144种排法．
答案：144
三 定序问题
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．其中有3位老者，2位年轻人，老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
【解】 方法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有A种．因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有 eq \f(A,A) ＝20(种).
方法二(依次插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端).第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾站前4位嘉宾形成的5个空档之一(含两端)，所以共有4×5＝20种出场方法．
方法三(空位法)：假设出场顺序1到5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有A种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故有A×1＝20种方法．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
在有些排列问题中，常遇到n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素必须按照一定的顺序排列的问题．解决这类问题的基本方法有三个：
(1)倍缩法：先把定序的m个元素与其他元素一起进行全排列，然后用总排列数除以这m个元素的全排列数，即 eq \f(A,A) .
(2)依次插空法：先排这m个元素，只有一种排法，再把剩下的n－m个元素依次逐个地插空，其排列数为(m＋1)×(m＋2)×…×n＝A.
(3)空位法：先把n－m个元素排在n个位置有A种排法，再把剩下的m个元素排在m个位置，只有一种排法，故排列数为A×1＝A.
[跟踪训练4] (1)某班 2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为( )
A．2 B．11
C．36 D．42
解析：选D．将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，共有6×7＝42种插入方法．故选D．
(2)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是________．
解析：6个元素进行排序，先排除甲、乙、丙之外的3项工程有A种排法，再排甲、乙、丙有1种排法，所以一共有A×1＝120种排法．
答案：120
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
1．(教材P26T5改编)5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排放在b的左边，则排放方法一共有( )
A．42种 B．60种
C．30种 D．36种
解析：选B．由题意得5个编号任意排列，有A种排法，其中a在b的左边和a在b的右边是等可能的，其排法数目是一样的，所以a排放在b的左边一共有 eq \f(A,2) ＝60种排法．故选B．
2．(多选)将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则( )
A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有A种
B．诗集相邻的不同放法有2A种
C．四大名著互不相邻的不同放法有AA种
D．四大名著不放在两端的不同放法有A种
解析：选ABC.A选项，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有A种不同放法，A正确；
B选项，将2本诗集进行捆绑，有2种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书进行全排列，此时有A种放法，故诗集相邻的不同放法有2A种，B正确；
C选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有A种方法，且3本书互相之间有4个空，将4大名著进行插空，有A种方法，故共有AA种放法，C正确；
D选项，在除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有A种放法，再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有A种放法，故四大名著不放在两端的不同放法有AA种，D错误．故选ABC.
3．从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有________个．
解析：满足数字之和为5的两个数字为1和4，2和3，故千位和百位上的数字排列有2A＝4种情况，再考虑个位数，有3种选择，最后考虑十位，有6种选择，故这样的偶数共有4×3×6＝72(个).
答案：72
4．(教材P26T9改编) 某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲、乙、丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲、乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，有多少种不同的加入方法？
解：分两种情况：
当丙不在甲、乙中间时，先加入甲，有A种方法，再加入乙，有A种方法，最后加入丙，有A种方法，此时不同的加入方法共有AAA＝180(种)；
当丙在甲、乙中间时，甲、丙、乙为一个整体，共有AA＝12种方法．
故不同的加入方法共有180＋12＝192(种).
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)数字排列问题；(2)排队问题；(3)定序问题．
2．须贯通：(1)特殊元素(位置)优先原则，常用直接法或间接法(正难则反)；
(2)处理“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则，相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”；
(3)“定序问题”的三个常见方法．
3．应注意：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．
学习目标
1.掌握几种有限制条件的排列． 2.能应用排列数公式解决简单的实际问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
一 数字排列问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例4)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位数的奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)比400 000大的正整数．
【解】 (1)先排个位数，有A＝3(种)，因为0不能在首位，再排首位有A＝4(种)，最后排其他数有A＝24(种)，
根据分步乘法计数原理得，六位数的奇数有3×4×24＝288(个).
(2)因为0是特殊元素，分两类：个位数字是0，和个位数字不是0.
当个位数是0，有A＝120(个)；
当个位数不是0，有A·A·A＝384(个)，
根据分类加法计数原理得，个位数字不是5的六位数有120＋384＝504(个).
(3)要比400 000大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可，
所以有2A＝2×120＝240(个).
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
数字排列问题解题策略
(1)优先法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．
(2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行计数，要注意如下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类时要做到不重不漏．
(3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数．
[跟踪训练1] (1)用0到9这10个数字，组成没有重复数字的四位偶数的个数是( )
A．2 295 B．2 296
C．2 297 D．2 298
解析：选B．先排个位，若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有A个；若个位不是0，则个位有A种选择，再排千位，有A种选择，再排百位和十位有A种选择，所以没有重复数字的四位偶数共有A＋A×A×A＝2 296(个).
(2)用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数字．
解析：首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A＝6种结果；前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有A＝2种结果；
前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果；
所以数字12 340前面有6＋2＋1＝9个数字，数字12 340应是第10个数字．
答案：10
二 排队问题
角度1 “在”与“不在”问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
【解】 (1)方法一：把元素作为研究对象．
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法．
第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160种排法．
方法二：把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种排法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160种排法．
方法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行全排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种).
(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800种方法．
(3)不考虑限制条件，总的情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，又因为甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860种排法．
【变式探究】
(条件变式)本例中的问题变为：甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
解：把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种排法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200种排法．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
“在”与“不在”排列问题的解题原则及方法
(1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
[跟踪训练2] (1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B．甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能．丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，则所求概率为＝，故选B．
(2)校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2名志愿者不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有________种．
解析：依题意，分两步：①在甲、乙之外的4人中任选1人，承担铅球记录工作，有4种情况；②在剩下的5人中任选2人，承担跳高和跳远记录工作，有A＝20种情况，则不同的安排方法有4×20＝80(种).
答案：80
角度2 “相邻”与“不相邻”问题
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序．(结果用数字作答)
(1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
【解】 (1)先将4首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有A种情况，再将捆绑好的4首歌曲看做一个整体与3个舞蹈排序，有A种情况，所以有A·A＝576种不同的出场顺序．
(2)先将4首歌曲排好，有A种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有A种情况，所以有A·A＝1 440种不同的出场顺序．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
“相邻”与“不相邻”问题的解题策略
处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．
(1)元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
(2)元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
[跟踪训练3] (1)现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为( )
A．AA B．A－AA
C．AA D．A－A
解析：选B．7个人全排列减去3个女生全部相邻的情况，即A－AA.故选B．
(2)中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团预计在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“书”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是________．
解析：由题意“书”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有A种排法，然后与“礼”“数”进行排序，共有A种排法，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有A种排法，由于是分步进行，所以共有A·A·A＝144种排法．
答案：144
三 定序问题
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．其中有3位老者，2位年轻人，老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
【解】 方法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有A种．因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有 eq \f(A,A) ＝20(种).
方法二(依次插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端).第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾站前4位嘉宾形成的5个空档之一(含两端)，所以共有4×5＝20种出场方法．
方法三(空位法)：假设出场顺序1到5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有A种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故有A×1＝20种方法．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
在有些排列问题中，常遇到n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素必须按照一定的顺序排列的问题．解决这类问题的基本方法有三个：
(1)倍缩法：先把定序的m个元素与其他元素一起进行全排列，然后用总排列数除以这m个元素的全排列数，即 eq \f(A,A) .
(2)依次插空法：先排这m个元素，只有一种排法，再把剩下的n－m个元素依次逐个地插空，其排列数为(m＋1)×(m＋2)×…×n＝A.
(3)空位法：先把n－m个元素排在n个位置有A种排法，再把剩下的m个元素排在m个位置，只有一种排法，故排列数为A×1＝A.
[跟踪训练4] (1)某班 2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为( )
A．2 B．11
C．36 D．42
解析：选D．将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，共有6×7＝42种插入方法．故选D．
(2)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是________．
解析：6个元素进行排序，先排除甲、乙、丙之外的3项工程有A种排法，再排甲、乙、丙有1种排法，所以一共有A×1＝120种排法．
答案：120
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
1．(教材P26T5改编)5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排放在b的左边，则排放方法一共有( )
A．42种 B．60种
C．30种 D．36种
解析：选B．由题意得5个编号任意排列，有A种排法，其中a在b的左边和a在b的右边是等可能的，其排法数目是一样的，所以a排放在b的左边一共有 eq \f(A,2) ＝60种排法．故选B．
2．(多选)将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则( )
A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有A种
B．诗集相邻的不同放法有2A种
C．四大名著互不相邻的不同放法有AA种
D．四大名著不放在两端的不同放法有A种
解析：选ABC.A选项，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有A种不同放法，A正确；
B选项，将2本诗集进行捆绑，有2种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书进行全排列，此时有A种放法，故诗集相邻的不同放法有2A种，B正确；
C选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有A种方法，且3本书互相之间有4个空，将4大名著进行插空，有A种方法，故共有AA种放法，C正确；
D选项，在除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有A种放法，再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有A种放法，故四大名著不放在两端的不同放法有AA种，D错误．故选ABC.
3．从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有________个．
解析：满足数字之和为5的两个数字为1和4，2和3，故千位和百位上的数字排列有2A＝4种情况，再考虑个位数，有3种选择，最后考虑十位，有6种选择，故这样的偶数共有4×3×6＝72(个).
答案：72
4．(教材P26T9改编) 某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲、乙、丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲、乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，有多少种不同的加入方法？
解：分两种情况：
当丙不在甲、乙中间时，先加入甲，有A种方法，再加入乙，有A种方法，最后加入丙，有A种方法，此时不同的加入方法共有AAA＝180(种)；
当丙在甲、乙中间时，甲、丙、乙为一个整体，共有AA＝12种方法．
故不同的加入方法共有180＋12＝192(种).
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)数字排列问题；(2)排队问题；(3)定序问题．
2．须贯通：(1)特殊元素(位置)优先原则，常用直接法或间接法(正难则反)；
(2)处理“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则，相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”；
(3)“定序问题”的三个常见方法．
3．应注意：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．