6.2.3　组　合（教师版）

6．2.3　组　合
学习目标
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．　2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
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在某次校级演讲比赛中，高二(1)班共有A，B，C，D 4名候选人．
思考1　若选2人在班级内部赛上依次发言，有多少种选择方案？
提示：A＝4×3＝12.
思考2　若选2人参加校级演讲比赛，有多少种选择方案？并列出所有的选择方案．
提示：6种．含A的两个元素有：AB，AC，AD；不含A含B的两个元素有：BC，BD；不含A，B的两个元素有：CD． 所以取2个元素的所有组合是AB，AC，AD，BC，BD，CD．
思考3　上述两个问题有何异同？
提示：相同点都是从4个人中选2个人；不同点是选出的2人前者与顺序有关，后者与顺序无关．
一　 组合概念的理解
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
[答案自填] 作为一组
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．(　　)
(2)1，2，3与3，2，1是同一个组合．(　　)
(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加某两个乡镇的社会调查，求有多少种不同的选法是组合问题．(　　)
(4)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且必须分完，求有多少种分法是排列问题．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．(多选)给出下列问题，其中是组合问题的是(　　)
A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合
B．从7名班委中选2人担任班长和团支书
C．从数学组的8名教师中选3人去参加市里的新课程研讨会
D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数
解析：选AC.A中，选出的元素构成集合，是组合问题；B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C中，选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D中，2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问题．故选AC.
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组合概念的理解
区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
二　 组合的列举问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有的组合．
【解】　要想写出所有组合，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
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由此可得所有的组合为
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
【变式探究】
(条件变式)本例条件“从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个”变为“从5个不同元素a，b，c，d，e中取出3个”，写出所有的组合．
解：含a的三个元素有：abc，abd，abe，acd，ace，ade，
不含a含b的三个元素有：bcd，bce，bde，
不含a，b的三个元素有：cde，
所以取3个元素的所有组合是abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.
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由问题情景列出组合的常用方法
(1)枚举法：依据一定的规则和方法，把符合题意的组合一一列举，必要时要进行分类．
(2)图表法：根据问题情景，选用树状图、表格或其他形式直观地找出符合题意的组合．
[跟踪训练1] 平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线．
(1)试写出以其中任意两个点为端点的线段；
(2)试写出以其中任意三点为顶点的三角形．
解：(1)以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，共有线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD．
(2)以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有△ABC，△ABD，△BCD，△ACD．
三　简单的组合问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
【解】　(1)从口袋内取出3个球有1个是黑球，即需要从4个白球中取出2个，取法种数是6.
(2)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4.
(3)从口袋内的5个球中取出3个球，可分两种情况，一种情况含有黑球，另一种不含有黑球，由(1)(2)，利用分类加法计数原理，可得共有6＋4＝10种取法．
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解简单的组合应用题的策略
(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
[注意]　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
[跟踪训练2] 现有5名教师，其中3名男教师，2名女教师．
(1)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解：(1)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师，有3种方法；
第2类，选出的2名是女教师，有1种方法．
根据分类加法计数原理，共有3＋1＝4种不同选法．
(2)从3名男教师中选2名有3种选法，从2名女教师中选2名有1种选法，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法3×1＝3(种).
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．(教材P26T4改编)从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是(　　)
A．10 B．5
C．4 D．1
解析：选B．组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．
2．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　　)
A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b
C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d
解析：选ABC.根据同一组合的概念，可知选项D中，a，b，c中有c，没有d，但是a，b，d中有d，没有c，故选项D不是相同组合；A，B，C选项满足同一组合的概念．故选ABC.
3．(教材P23T3改编)从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，得到的对数有________个；若问两个数相乘得到的积有几种？这是________问题(用“排列”“组合”填空).
解析：对数式logab的值，与a，b取值顺序有关，属于排列问题，有A＝12(个)；两个数a，b相乘，满足乘法交换律ab＝ba，即ab的值与a，b取值顺序无关，属于组合问题．
答案：12　组合
4．判断下列问题是排列问题还是组合问题．
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
解：(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)组合的概念；(2)组合的列举问题；(3)简单的组合问题．
2．须贯通：判断一个计数问题是排列还是组合，关键是选取的元素是否与顺序有关．
3．应注意：列举组合时，应做到不重不漏．