6.2.4　第1课时　组合数公式（教师版）

6．2.4　组合数
第1课时　组合数公式
学习目标
1.通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理推导组合数公式．　2.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．　3.会应用组合数公式求值，掌握解决组合问题的常见方法．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
在上节课中，我们已研究高二(1)班有关A，B，C，D 4名候选人问题，请继续思考下列问题：
思考1　我们已经会求4名候选人中选择2人的排列数A＝12，也已能列举求出4名候选人中选择2人的组合数M ＝6，能否发现二者的联系？
提示：求从4名候选人中选择2人的排列数A，可以分如下两步：①从4名候选人中选择2人的组合有M个；②对每一个组合的2人进行全排列，各有A种方法．由分步乘法计数原理得，A＝M ·A，所以M ＝ eq \f(A,A) .
思考2　你能解释 eq \f(A,A) 的含义吗？
提示： eq \f(A,A) 就是消除排列数A中顺序的影响．
一　 组合数与组合数公式
1．组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
2．组合数公式
C＝ eq \f(A,A) ＝____________________或C＝________________(n，m∈N*，且m≤n).
规定：C＝1.
3．组合数的性质
性质1：C＝C；
性质2：C＝C＋C.
[答案自填] 所有不同组合的个数　C
　
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例6)计算下列各式的值．
(1)C＋C；(2)C＋C；
(3)C＋C；(4)C＋C＋…＋C.
【解】　(1)C＋C＝＋＝10＋20＝30.
(2)C＋C＝C＋C＝＋100＝5 050.
(3)因为解得n＝10.
所以C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466.
(4)C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝C＝＝330.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
组合数的计算问题
(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝ eq \f(A,A) ＝(n，m∈N*，且m≤n)计算，规定C＝1.
(2)计算时应注意利用组合数的两个性质的运用．
[跟踪训练1] (1)计算2C＋3A的值是(　　)
A．72 B．102
C．507 D．510
解析：选B．2C＋3A＝2×＋3×＝2×21＋3×20＝102.故选B．
(2)C＋C＋C＋C＋C＝________．
解析：因为C＋C＝C，所以C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝210.
答案：210
(3)C＋C的值为________．
解析：由C＋C有意义可得
解得
所以m＝7或m＝8.
当m＝7时，C＋C＝C＋C＝10＋1＝11；
当m＝8时，C＋C＝C＋C＝1＋10＝11.
答案：11
二　组合数公式的简单应用
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)解关于正整数x的方程：Cx2－x16＝C；
(2)证明：C·C＝C·C.
【解】　(1)x为正整数，由Cx2－x16＝C可得x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，
故x2－6x＋5＝0或x2＋4x－21＝0，
解得x＝1或x＝5或x＝3或x＝－7(舍去)，
又x2－x，5x－5均为整数，
且0≤x2－x≤16，0≤5x－5≤16，
所以x＝1或x＝3符合要求，x＝5不符合要求，
故x＝1或x＝3.
(2)证明：C·C＝·＝；
C·C＝·
＝.
因此，C·C＝C·C.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)组合数公式的乘积形式主要用于计算，阶乘形式的公式C＝一般用于含字母的式子的化简、证明或解与组合数有关的方程(不等式).
(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数 C的隐含条件为m≤n，且m∈N，n∈N*，并注意验证求解后所得结果是否符合题意．
[跟踪训练2] (1)若C>3C，求m.
解：依题意，得0≤m－1≤8且0≤m≤8，
所以1≤m≤8，
由C>3C，
可得>，
即>，解得又因为m∈N*，所以m＝7或m＝8.
(2)已知m是自然数，n为正整数，且m＋1≤n，求证：C＝C.
证明：根据组合数公式，可以得到C＝·＝＝C，等式成立．
三　组合数公式的实际应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　某大学组织学生自愿无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人．
(1)从中任选2名相同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？
(2)从中任选2名不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？
【解】　(1)由题意得任选2名相同血型的学生去献血，有C＋C＋C＋C＝55＋21＋15＋10＝101种不同的选法．
(2)任选2名不同血型的学生去献血，有CC＋CC＋CC＋CC＋CC＋CC＝305种不同的选法．
【变式探究】
(综合变式)每种血型的学生各选2名去献血，有多少种不同的选法？
解：每种血型的学生各选2名学生去献血，有CCCC＝173 250种不同的选法．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
[跟踪训练3] 现从“十佳志愿者”的10人中任选5人代表学校参加“为美丽乡村增光添彩”的志愿服务活动．问：
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果还要从选出的5人中再选定一人为组长，那么共有多少种不同的选法？
解：(1)由于从10人中任选5人，与顺序无关，所以共有C＝＝252种选法．
(2)方法一：从这10人中任选5人，并确定其中一人为组长，可以分为如下两步完成：
第一步，先从10人中任选5人，共有C种方法；
第二步，从选出的5人中再确定1人为组长，共有C种方法．
根据分步乘法计数原理，共有C×C＝1 260种不同的选法．
方法二：从这10人中任选5人，并确定其中一人为组长，可以分为如下两步完成：
第一步，先从10人中选定1人为组长，共有C种方法；
第二步，从余下的9人中再选出4人，共有C种方法．
根据分步乘法计数原理，共有C×C＝1 260种不同的选法．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．(教材P25T3改编)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩进行分析，其中物理必须选，则不同的选法为(　　)
A．6 B．8
C．10 D．21
解析：选C.由题意，可知不同的取法的种数为C＝＝10.故选C.
2．(多选)下列等式正确的是(　　)
A．C＝ B．C＝C
C．C＝C＋C D．nC＝mC
解析：选AB．A是组合数公式；B是组合数性质；C＝C＋C，所以C错误；
nC＝n·，mC
＝m·
＝·，
两者不相等，故D错误．故选AB．
3．(教材P25T1改编)C＋C－C＝________．
解析：C＋C－C＝C－C＝C－C＝0.
答案：0
4．某市举办国际会议需招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中依次选出3名担任语言服务工作，2名担任人员引导工作，1名担任应急救助工作．每名志愿者只能担任一项工作．
(1)共有多少种安排方法？
(2)若甲、乙不参与同一项志愿服务，则有多少种安排方法？
解：(1)由题意得，则共有CCC＝20×3×1＝60种安排方法．
(2)甲、乙参与同一项的可能选法有CC＋CC＝16(种)，由(1)可知，甲、乙不参与同一项志愿服务的选法有60－16＝44(种).
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)组合数与组合数公式；(2)组合数公式的简单应用；(3)组合数公式的实际应用．
2．须贯通：利用两种组合数公式进行求值，常结合组合数的两个性质，能起到简化运算的作用．
3．应注意：易忽视组合数中m与n的限制条件．