6.2.4　第2课时　课后达标检测（教师版）

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1．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为(　　)
A．60 B．70
C．80 D．90
解析：选B．从8人中任抽4人放在第一排的方法有C＝70(种)，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70种．故选B．
2．某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为(　　)
A．12 B．16
C．18 D．24
解析：选B．分两类：一类是选1个女生，则有CC种；另一类是选2个女生，则有CC种．所以不同选法种数为CC＋CC＝16.故选B．
3．平面上有9个点排成三行三列的方阵，以其中任意的3个点为顶点，可以组成的三角形个数为(　　)
A．84 B．78
C．76 D．82
解析：选C.从9个点中任取3个点有C种选法，方阵中有3个点共线的是三行、三列和两条对角线上的3个点，共8种情况，不能构成三角形，所以从9个点中任取3个点可组成三角形个数为C－8＝76.故选C.
4．某机场将开通向北至沈阳、哈尔滨；向南至昆明、深圳；向西至兰州、银川的六条航线．甲、乙、丙、丁、戊、己6人各选择一条不同航线体验．已知甲不去沈阳、哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班．则不同的体验方案有(　　)
A．56种 B．72种
C．96种 D．144种
解析：选C.由题意，共6个城市，3个方向，甲不去沈阳、哈尔滨，有C种方案，乙和丙乘坐同一方向的航班，有CA种方案，剩余3人有A种方案，故不同的体验方案有CCAA＝4×2×2×1×3×2×1＝96(种).故选C.
5．某志愿者服务队安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是(　　)
A．8 B．12
C．14 D．20
解析：选C.将4名志愿者分配到两所敬老院，则有以下两种分配方案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名志愿者，则有CC＝8(种)，②两所敬老院各安排2名志愿者，则有 eq \f(CCCC,A) ＝6(或CC＝6)种，故共有8＋6＝14种方案．故选C.
6．(多选)现有3名男生4名女生，若从中选取3名学生，则下列说法正确的是(　　)
A．选取的3名学生都是女生的不同选法共有4种
B．选取的3名学生恰有1名女生的不同选法共有24种
C．选取的3名学生至少有1名女生的不同选法共有34种
D．选取的3名学生至多有1名男生的不同选法共有18种
解析：选AC.选取的3名学生都是女生的不同选法共有C＝4(种)，故A正确；
恰有1名女生的不同选法共有CC＝12(种)，故B错误；
至少有1名女生的不同选法共有C－C＝34(种)，故C正确；
至多有1名男生的不同选法共有CC＋C＝22(种)，故D错误．故选AC.
7．某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法共有________种．
解析：由题意得从6名党史知识学习优秀者中随机选取3名，其中有1名教师和2名学生的选法有CC＝12(种)，有2名教师和1名学生的选法有CC＝4(种)，故代表队中既有教师又有学生的选法共有12＋4＝16(种).
答案：16
8．由0，1，2，3，4这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有________种．
解析：由题知，各位数字之和为奇数可分为：①不含“0”时，含一个奇数和两个偶数，共有CCA＝12(种)；②含“0”时，另取一个奇数和一个偶数，此时“0”不能排首位，共有CCCA＝16(种)，所以共有12＋16＝28(种).
答案：28
9．甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知3人都在2至6层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙3人出电梯的不同方法种数是________．
解析：由题意，①3人都在2至6层的某一层1人独自出电梯，共有A＝60(种)；②3人中有2人在同一层出电梯，另1人在另外一层出电梯，共有CA＝60(种)，故甲、乙、丙3人出电梯的不同方法种数是60＋60＝120.
答案：120
10．现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中抽取出3件：
(1)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
(2)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？
解：(1)抽取可以分成两步完成：
第一步，在2件次品中抽出1件，有C种方法；
第二步，在28件合格品中抽出2件，有C种方法．
由分步乘法计数原理知，不同的抽法为CC＝2×＝756(种).
(2)满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法．
第一类，恰有1件次品的取法有CC种，
第二类，恰有2件次品的取法有CC种．
由分类加法计数原理知，不同的抽法为CC＋CC＝2×＋1×28＝784(种).
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11．一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5 888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为(　　)
A．480 B．270
C．240 D．60
解析：选C.方法一：先在12人中挑选同姓的2人，方法有C＝6(种)，然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有 eq \f(CC,A) ＝40(种)，所以不同的挑选方法的种数是6×40＝240.
方法二：先在12人中挑选同姓的2人，方法有C＝6(种)，然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有C－C＝40(种)，所以不同的挑选方法的种数是6×40＝240.故选C.
12．(多选)某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法种数的说法正确的有(　　)
A．共有90种安排方法
B．甲连续两天值班的安排方法有30种
C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种
D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种
解析：选ABD．对于A，首先任选2天安排甲值班，共C＝15种方法，再从剩下的4天中选2天安排乙值班，共C＝6种方法，最后安排丙，有C＝1种方法，共计15×6×1＝90种方法，故A正确；
对于B，甲可以值周一周二、周二周三、周三周四、周四周五、周五周六，共有5种方法，再从剩余4天中选2天安排乙，剩下两天安排丙，共CC＝6种方法，共计5×6＝30种方法，故B正确；
对于C，首先确定甲在乙之前还是之后，有2种方法，再讨论丙值的两天班是否连续，若连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择一个，安排“丙丙”即可，此时有2C＝6种方法，若不连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择两个，各安排一个“丙”即可，此时有2C＝6(种)，综上，符合题意的方法数为6＋6＝12(种)，故C错误；
对于D，只需将“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共A＝6种方法，故D正确．故选ABD．
13．半圆弧上有包括直径端点在内的5个点，从中随机选取3个点，则以这3个点为顶点的钝角三角形有________个．
解析：方法一：根据圆的性质，三角形为钝角三角形，有两种情况，①若3个点中，只有1个为直径的端点，此时有C·C＝6种情况，②若3个点中没有直径的端点，则此时只有1种情况，综上共有7种情况．
方法二：从5个点中取三点共有C＝10种情况， 若3个点中包含直径的两个端点，则此时为直角三角形，有C＝3种情况，不合题意，所以共有10－3＝7种情况．
答案：7
14．某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，则额外获得2分．
(1)求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；
(2)求学生乙最终获得7分的不同的抽法种数．
解：(1)学生甲最终获得5分，则需抽中1张“龙”卡和3张其他卡，且不能抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡，则不同的抽法种数为C(C－CCC)＝36(种).
(2)学生乙最终获得7分的情况有2种：一种是抽中3张“龙”卡和1张其他卡，另一种是抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡．所以不同的抽法种数为CC＋CCCC＝30(种).
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15．在空间直角坐标系中，已知点P(a，b，c)，若a，b，c∈N*，且a≤b≤c<7，则满足条件的点P共有(　　)
A．15个 B．20个
C．35个 D．56个
解析：选D． 若a＝b＝c<7，则满足条件的点P共有C＝6(个)；若a，b，c中只有2个相等，可知a＝b或b＝c，则满足条件的点P共有CC＝30(个)；若a，b，c互不相等，则满足条件的点P共有C＝20(个)，综上所述，满足条件的点P共有6＋30＋20＝56(个).故选D．
16．10级台阶，青蛙一步可跳一级，也可跳两级，也可跳三级．
(1)当出现且只出现一步跳一级与一步跳两级两种跳步方法时，青蛙跳完台阶的方法数是多少？
(2)当出现且只出现两种跳步方法时，青蛙6步就可跳完台阶的方法数是多少？
解：(1)设跳一级、两级的步数分别为x，y，所以x＋2y＝10，
当出现且只出现一步跳一级与一步跳两级两种跳步方法时，
解得或或或　
所以青蛙跳完台阶的方法种数为C·C＋C·C＋C·C＋C＝87.
(2)设跳1级、2级、3级的步数分别为x，y，z，
所以
因为只出现两种跳步方法，
所以x，y，z中有且仅有一个为0，
所以或
所以青蛙跳完台阶的方法种数为C·C＋C·C＝15＋15＝30.