强化课　离散型随机变量的均值与方差（教师版）

INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　离散型随机变量的均值与方差
题型一　利用均值与方差求参数
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a b c
若E(X)＝，D(X)＝，求a，b，c的值．
【解】　根据题意易知a＋b＋c＝1，
由E(X)＝，可得－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝，
由D(X)＝，
可得(－1－)2×a＋(0－)2×b＋(1－)2×c＝a＋b＋c＝，
化简可得16a＋b＋4c＝5，
联立解得
所以a＝，b＝，c＝.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立方程或方程组解决有关参数问题，在具体问题中要注意参数的范围及实际意义．
[跟踪训练1] (多选)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P m 0.2 0.3
若随机变量Y＝aX＋b(a>0，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝19，则下列选项正确的为(　　)
A．m＝0.5 B．a＝6
C．b＝11 D．P(Y＝16)＝0.3
解析：选ACD．依题意，由分布列的性质可得m＋0.2＋0.3＝1，解得m＝0.5，A正确；
E(X)＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2，
D(X)＝[－1－(－0.2)]2×0.5＋[0－(－0.2)]2×0.2＋[1－(－0.2)]2×0.3＝0.76,
因为Y＝aX＋b(a>0，b∈R)，
所以E(Y)＝aE(X)＋b＝－0.2a＋b＝10，D(Y)＝a2D(X)＝0.76a2＝19，
解得a＝5，b＝11，B错误，C正确；
所以随机变量Y的分布列为
Y 6 11 16
P 0.5 0.2 0.3
由分布列可知D正确．故选ACD．
题型二　与均值和方差有关的最值
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的最大值为__________，D(ξ)的最大值为__________．
ξ 0 1 2
P －p p
(2)已知某人每次投篮的命中率为p(0【解析】　(1)由题意得0≤p≤，
E(ξ)＝p＋1≤＋1＝，
D(ξ)＝(0－p－1)2＋p(1－p－1)2＋×(2－p－1)2＝－p2－p＋1＝－＋，
易得当p＝0时，D(ξ)的最大值为－＋＝1.
(2)由题意可知，X服从两点分布，可得E(X)＝p，0D(X)＝(1－p)p，
则＝
＝2－2p－＝2－
≤2－2 ＝2－2，
当且仅当2p＝，即p＝时(负值已舍去)，等号成立，故的最大值为2－2.
【答案】　(1)　1　(2)2－2
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处理均值与方差的最值问题，主要是利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立函数模型，利用函数的单调性或基本不等式解决．
[跟踪训练2] 某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则D(X)的最大值是(　　)
X 0 1 2
P a b
A. B．
C． D．
解析：选B．由题意可得X2，X的分布列如下表所示
X 0 1 2
X2 0 1 4
P a b
由分布列的性质可得a＋b＝1－＝，
所以a＝－b，
所以E(X)＝0＋b＋2×＝b＋，
E(X2)＝0＋b＋4×＝b＋，
所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝b＋－(b＋)2＝－b2＋b＋，
设该学生物理、历史获得A等级的概率分别为p1，p2，则有p1p2＝，
则b＝p1(1－p2)＋p2(1－p1)＝p1＋p2－2p1p2＝p1＋p2－≥2－＝，当且仅当p1＝p2＝时取等号，所以≤b≤，
因为函数f(b)＝－b2＋b＋在[，]上单调递减，所以D(X)＝－b2＋b＋≤－()2＋×＋＝.故选B．
题型三　均值与方差在决策中的作用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；
(2)商场对奖励总额的预算是30 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由．方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成．
【解】　(1)设顾客的奖励额为X，依题意得P(X＝60)＝ eq \f(CC,C) ＝.
(2)根据方案一，设顾客的奖励额为X1，其可能取值为30，60，90.
P(X1＝30)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X1＝60)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，P(X1＝90)＝ eq \f(C,C) ＝，
E(X1)＝30×＋60×＋90×＝60，
D(X1)＝(30－60)2×＋(60－60)2×＋(90－60)2×＝300.
根据方案二，设顾客的奖励额为X2，其可能取值为40，60，80.
P(X2＝40)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X2＝60)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，P(X2＝80)＝ eq \f(C,C) ＝，
E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
商场对奖励总额的预算是30 000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二．
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均值、方差在决策中的作用
(1)均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
(2)方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．
[跟踪训练3] 某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放平台广告，据市场调研，其收益为X万元，X的可能取值为0，20，40，且P(X＝20)＝0.3，均值E(X)＝30.
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益为Y万元，Y的可能取值为10，20，30，其概率依次为0.3，0.4，0.3.
(1)请写出方案一的分布列，并求方差D(X)；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
解：(1)设P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b，
依题意得a＋b＋0.3＝1，①
又E(X)＝0×a＋20×0.3＋40×b＝30，②
由①②解得a＝0.1，b＝0.6.
所以X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180.
(2)由题得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20，
D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60.
由E(X)>E(Y)可知投放平台广告的收益均值较大，又D(X)>D(Y)，说明投放平台广告的风险较高．
综上所述，如果公司期望高收益，选择投放平台广告；如果公司期望收益稳定，选择投放传统广告．