章末复习提升（教师版）

章末复习提升
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "知识体系构建LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "知识体系构建LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "A16.TIF" INCLUDEPICTURE "A16.TIF" \* MERGEFORMAT
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "核心要点整合LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "核心要点整合LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
要点一　条件概率及全概率公式
1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率．
2．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai).全概率公式的实质是把事件B拆分成互斥事件的和，是加法公式和乘法公式的综合运用．
3．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．
训练1　已知袋中有除颜色外其他均相同的5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲乙两人按顺序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A为甲和乙至少一人摸到红球，记事件B为甲和乙摸到的球颜色不同，则P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C.依题意，事件AB为甲、乙只有一人摸到红球，
则P(AB)＝ eq \f(CA,5×5) ＝，
而P(A)＝1－()2＝，
所以P(B|A)＝＝×＝.故选C.
训练2　有甲、乙两个鱼缸，甲鱼缸中有x条金鱼和y条锦鲤，乙鱼缸中有4条金鱼和3条锦鲤，先从甲鱼缸中随机捞出一条鱼放入乙鱼缸，再从乙鱼缸中随机捞出一条鱼，若从乙鱼缸中捞出的是金鱼的概率为，则＋的最小值为__________．
解析：由全概率公式可得＋＝＝，整理得3x＝4y，
则＋＝＋≥2＝4，当且仅当x＝8，y＝6时，等号成立，
所以＋的最小值为4.
答案：4
训练3　采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品．求：
(1)采购员拒绝购买的概率；
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．
解：设B1＝“取到的一包含有4个次品”，
B2＝“取到的一包含有1个次品”，
A＝“采购员拒绝购买”，P(B1)＝，
P(B2)＝.
P(A|B1)＝1－ eq \f(C,C) ＝，
P(A|B2)＝1－ eq \f(C,C) ＝.
(1)由全概率公式得到
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)
＝×＋×＝.
所以采购员拒绝购买的概率为.
(2)P(B1|A)＝
＝＝.
所以在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率为.
要点二　离散型随机变量的分布列、均值和方差
1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．
2．掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与数学运算的核心素养．
训练4　离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.21 0.20 0.5 0.10 0.1 0.10
则P(A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
解析：选B．由题意得0.21＋0.20＋0.05＋＋0.10＋0.10＋＋0.10＝1，化简得10x＋y＝24，又x，y∈N且x，y∈[0，9]，所以x＝2，y＝4，
所以P(训练5　(多选)下图是离散型随机变量X的概率分布图，其中3a＝5b，2b＝3c，则(　　)
INCLUDEPICTURE "25PM16.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM16.TIF" \* MERGEFORMAT
A．a＝0.5 B．E(X)＝2.3
C．D(X)＝0.61 D．D(2X)＝1.22
解析：选ABC.由题知
解得
A选项正确；所以E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.5＝2.3，B选项正确；D(X)＝(1－2.3)2×0.2＋(2－2.3)2×0.3＋(3－2.3)2×0.5＝0.61，C选项正确；D(2X)＝22D(X)＝2.44，D选项错误．故选ABC.
训练6　为了解A，B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得了关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：
非常满意 满意 一般 差评
A景点 50 30 5 15
B景点 35 30 7 8
假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立．
(1)从所调查的游客中，在A旅游景点的游客中随机抽取2人，在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A，B哪个旅游景点？请说明理由．
解：(1)设这4人中恰有2人给出“非常满意”的评价为事件C，由题表中数据可知，游客在A景点给出“非常满意”评价的概率为＝，
游客在B景点给出“非常满意”评价的概率为＝，
则P(C)＝()2×(1－)2＋C××(1－)×C××(1－)＋(1－)2×()2＝.
(2)设游客对A景点的满意度评分为X，游客对B景点的满意度评分为Y，
由题中数据得X的分布列为
X 1 2 3 4
P
Y的分布列为
Y 1 2 3 4
P
则E(X)＝4×＋3×＋2×＋1×＝3.15，
D(X)＝0.852×＋(－0.15)2×＋(－1.15)2×＋(－2.15)2×＝1.127 5，　
E(Y)＝4×＋3×＋2×＋1×＝3.15，
D(Y)＝0.852×＋(－0.15)2×＋(－1.15)2×＋(－2.15)2×＝0.902 5，　
显然E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以选择B景点．
要点三　两种特殊的概率分布
1．随机变量是否服从二项分布的三个关键点：①对立性，即一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一且每一次试验中，事件A发生的概率相同；②重复性，即试验独立重复地进行了n次；③随机变量是事件发生的次数．
2．超几何分布的两个特点：①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量为抽到的某类个体的个数．
3．掌握二项分布及超几何分布，重点提升数学建模与数学运算的核心素养．
训练7　已知课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为 eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) 的是(　　)
A．P(ξ≤1) B．P(ξ＝1)
C．P(ξ>1) D．P(ξ>2)
解析：选A.由题意，随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，所以 eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) ＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝P(ξ≤1).故选A.
训练8　设随机变量X～B(n，p)，记pk＝Cpk·(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究pk的最大值时，某学习小组发现并证明了如下结论：若(n＋1)p为正整数，当k＝(n＋1)p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p不为正整数，则当且仅当k取(n＋1)p的整数部分时，pk取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为________的概率最大．
解析：继续再进行80次投掷试验，点数1出现的次数X服从二项分布B(80，)，由k＝(n＋1)p＝81×＝＝13.5，结合题中结论可知，k＝13时概率最大，即后面80次中点数1出现13次的概率最大，加上前面20次中点数1出现的4次，所以点数1总共出现17次的概率最大．
答案：17
训练9　一盒乒乓球中共装有2只黄色球与4只白色球，现从中随机抽取3次，每次仅取1个球．
(1)若每次抽取之后，记录抽到乒乓球的颜色，再将其放回盒中，记抽到黄球的次数为随机变量X，求P(X＝1)及E(X)；
(2)若每次抽取之后，不放回，记最终抽到的黄球个数为随机变量Y，求P(Y＝1)及E(Y)；
(3)在(1)(2)的条件之下，求P(|X－Y|≤1).
解：(1)由题意知，每次取到黄球的概率为＝，
故X～B(3，)，
因为P(X＝k)＝C×()k×()3－k(k＝0，1，2，3)，
代入k＝1得P(X＝1)＝＝，
同理可得P(X＝0)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1(或E(X)＝np＝3×＝1).
(2)由题意可知Y服从超几何分布，
P(Y＝k)＝ eq \f(CC,C) (k＝0，1，2)，
代入k＝1得P(Y＝1)＝＝，
同理可得P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，
故E(Y)＝0×＋1×＋2×＝1.
(3)由(1)(2)知，P(|X－Y|≤1)＝1－P(|X－Y|≥2)
＝1－P(X＝0，Y＝2)－P(X＝2，Y＝0)－P(X＝3，Y＝0)－P(X＝3，Y＝1)
＝1－×－×－×－×
＝1－＝.
要点四　正态分布
1．正态分布是连续型随机变量服从的一种概率分布，其正态密度曲线具有完美的对称性．
2．正态分布在三个特殊区间的概率值及3σ原则．
3．掌握正态分布的概念与性质特征，重点提升直观想象与数学运算的核心素养．
训练10　已知随机变量X服从正态分布X～N(1，σ2).若P(1≤X≤3)＝0.2，则P(X<－1||X|>1)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．因为P(1≤X≤3)＝0.2，所以P(X<－1)＝P(X>3)＝0.5－0.2＝0.3，又P(|X|>1)＝P(X>1)＋P(X<－1)＝0.5＋0.3＝0.8，所以P(X<－1||X|>1)＝＝＝.故选B．
训练11　某工厂生产一批零件，其直径X～N(10，4)，现在抽取10 000件进行检查，则直径在(12，14]之间的零件大约有__________件．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
解析：因为X～N(10，4)，μ＝10，σ＝2，
所以P(8≤X≤12)≈0.682 7，
P(6≤X≤14)≈0.954 5，所以P(12所以直径在(12，14]之间的零件大约有10 000×0.135 9＝1 359(件).
答案：1 359
训练12　某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度(单位：dm)，按数据分成[1.2，1.3]，(1.3，1.4]，(1.4，1.5]，(1.5，1.6]，(1.6，1.7]，(1.7，1.8]这6组，得到如下的频数分布表．
分组 [1.2，1．3] (1.3，1．4] (1.4，1．5] (1.5，1．6] (1.6，1．7] (1.7，1．8]
频数 3 15 42 42 15 3
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．
(1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在(1.4，1.6]的个数，求X的分布列和均值；
(2)若变量S满足|P(μ－σ解：(1)从这批零件中随机选取1个，长度在(1.4，1.6]的概率为p＝＝0.7，
则X～B(3，0.7)，
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，则
P(X＝0)＝C×(1－0.7)3＝0.027，
P(X＝1)＝C×0.7×(1－0.7)2＝0.189，
P(X＝2)＝C×0.72×(1－0.7)＝0.441，
P(X＝3)＝C×0.73＝0.343，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
所以E(X)＝0×0.027＋1×0.189＋2×0.441＋3×0.343＝2.1.
(2)由题意知μ＝1.5，σ＝0.1，
P(1.3P(μ－σP(μ－2σ因为|0.7－0.682 7|＝0.017 3<0.05，|0.95－0.954 5|＝0.004 5<0.05，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布N(1.5，0.01)的概率分布．
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．