章末综合检测(二)（教师版）
文档属性
| 名称 | 章末综合检测(二)（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 212.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
章末综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设随机变量X～B(8，)，Y＝2X－1，则D(Y)＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选D．因为随机变量X～B(8，)，则D(X)＝8××(1－)＝2，又因为Y＝2X－1，则D(Y)＝4D(X)＝8.故选D．
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4，5)，则P(2≤X<5)＝( )
A． B．
C． D．
解析：选C.根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4，5)，由分布列的性质，
则有＝1，解得a＝15，故P(2≤X<5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝.故选C.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝“两次的点数均为偶数”，B＝“两次的点数之和为8”，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
解析：选C.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，样本点个数为6×6＝36，其中事件A包含3×3＝9个样本点，事件AB包含(2，6)，(4，4)，(6，2)共3个样本点，所以P(B|A)＝＝＝.故选C.
4．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1.5)＝m，P(2≤X<2.5)＝1－3m，则P(X<2.5)＝( )
A．0.25 B．0.5
C．0.75 D．0.85
解析：选C.因为随机变量X～N(2，σ2)，所以P(X≤1.5)＝P(X≥2.5)＝m，
P(X≥2)＝P(X≥2.5)＋P(2≤X<2.5)＝m＋1－3m＝0.5，解得m＝0.25，所以P(X<2.5)＝1－P(X≥2.5)＝0.75.故选C.
5．某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中的次数为( )
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
解析：选D．由题意得投篮命中次数X～B(14，0.6)，P(X＝k)＝C·0.6k·0.414－k，k＝0，1，2，…，14.
设最有可能命中m次，则
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·0.6m·0.414－m≥C·,0.6m－1·0.415－m，,C·0.6m·0.414－m≥C·,0.6m＋1·0.413－m，))
得8≤m≤9，因为m∈Z，
所以m＝8或m＝9.
最有可能命中8或9次．故选D．
6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是( )
A．A1，A2互斥 B．P(B|A1)＝
C．P(A2B)＝ D．P(B)＝
解析：选C.因为每次只取一球，故A1，A2是互斥事件，故A正确；
由题意得P(A1)＝，P(A2)＝，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝×＋×＝，故B，D正确；
因为P(A2B)＝×＝，故C错误．故选C.
7．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C.设第一次从甲盒中取出白球，红球，黑球的事件分别为A1，A2，A3，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，则P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝·＋·＋·＝≥，解得x≤6，x∈N，则x的最大值为6.故选C.
8．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X～B(n，p)，P(X＝i)＝(i，n∈N).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于3%的概率约为(参考数据：＝0.367 879…)( )
A．99% B．97%
C．92% D．74%
解析：选C.依题意， n＝100，p＝0.01，二项分布近似于泊松分布，
此时λ＝100×0.01＝1，
则P(X＝k)＝e－1，
于是P(X＝0)＝e－1＝，
P(X＝1)＝e－1＝，
P(X＝2)＝e－1＝，
所以次品率小于3%的概率约为P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋≈92%.故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列随机变量中属于离散型随机变量的是( )
A．某公司内的一部咨询电话1小时内被使用的次数记为X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg之间的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数记为X
D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
解析：选AC.电话1小时内被使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；体重无法一一列举，选项B不正确；人数可以列举，选项C正确；数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量，选项D不正确．故选AC.
10．已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(0≤X≤2)＋P(X>t)＝0.5，随机变量Y～B(t，p)，0A．t＝4 B．p＝
C．P(2≤Y≤3)＝ D．D(2Y)＝2
解析：选AC. 因为X～N(2，σ2)，且P(0≤X≤2)＋P(X>t)＝0.5，所以t＝4，故A正确；
因为E(X)＝2，所以E(Y)＝E(X)＝2.
因为Y～B(4，p)，所以E(Y)＝4p＝2，所以p＝，故B错误；
因为Y～B，所以P(2≤Y≤3)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝C()4＋C()4＝，故C正确；
因为D(Y)＝4××(1－)＝1，所以D(2Y)＝4D(Y)＝4，故D错误．故选AC.
11．一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A为“至少有1个红球”，事件B为“至少有1个白球”，事件C＝A∩B，则( )
A．事件A，B不互斥
B．事件A，B相互独立
C．P(A|B)＝P(B|A)
D．P(C|A)＋P(C|B)>2P(C)
解析：选AD．对于A，由于至少有一个红球和至少有一个白球，可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，A正确；
对于B，P(AB)＝ eq \f(CC,C) ＝ ，
P(A)＝ eq \f(C＋CC,C) ＝，
P(B)＝ eq \f(C＋CC,C) ＝，
所以P(AB)≠P(A)P(B)，故B错误；
对于C，P(A|B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝，故C错误；
对于D，P(C)＝P(AB)＝ ，
故P(C|A)＋P(C|B)＝＋
＝＋＝P(C)＋·P(C)
＝P(C)>2P(C)，
故D正确．故选AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机事件A，B，P(A)＝，P(B)＝，P(A|B)＝，则P(B|A)＝__________．
解析：由条件概率可得P(A|B)＝＝，
所以P(AB)＝×＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：
13．人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化，现假设人们经分析估计利率下调的概率为 0.75，利率不变的概率为0.25.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为 0.8，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为 0.3，则该支股票价格将上涨的概率为______．
解析：记“利率下调”为事件A，“价格上涨”为事件C，则“利率不变”为事件，由题意知，P(A)＝0.75，P()＝0.25，P(C|A)＝0.8，P(C|)＝0.3，所以P(C)＝P(A)P(C|A)＋P()P(C|)＝0.75×0.8＋0.25×0.3＝0.675.
答案：0.675
14．假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率均为1－p(0解析：由已知可得，飞机引擎正常运行的个数X～B(n，p)，
所以4引擎飞机成功飞行的概率为P1＝Cp2(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4＝3p4－8p3＋6p2.
双引擎飞机成功飞行的概率为P2＝Cp·(1－p)＋Cp2＝－p2＋2p.
所以P1－P2＝3p4－8p3＋6p2－(－p2＋2p)
＝p(p－1)2(3p－2).
因为4引擎飞机比双引擎飞机更为安全，
所以P1－P2>0，
即p(p－1)2(3p－2)>0.
因为0答案：(，1)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求m；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解：(1)由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.
(2)由X的分布列可列下表
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
即随机变量η的可能取值为0，1，2，3，
可得P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)
＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
16.(本小题满分15分)智能制造离不开精密的零件，某车间生产精密零件，按照包装每箱10个，某工厂质检人员需要开箱随机检查零件质量．
(1)已知某箱零件中有2个次品，从中随机抽取3个零件检查，设随机变量X为次品个数，求E(X)；
(2)根据历年数据统计该车间生产的零件中，每箱有0个，1个，2个次品的概率分别为0.6，0.3，0.1，每箱随机检查3个零件，若发现有次品，则质检不合格，从某批次的产品中，任选一箱，求检测合格的概率．
解：(1)由题意可知，随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝2，n＝3，X的可能取值有0，1，2，则
P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
可知E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(2)记抽到0个，1个，2个次品的箱子分别为事件A1，A2，A3，检测合格为事件B，
则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.1，
且P(B|A1)＝1，P(B|A2)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(B|A3)＝ eq \f(C,C) ＝，
由全概率公式可得，P(B)＝P(B|A1)·P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)·P(A3)＝.
所以检测合格的概率为.
17．(本小题满分15分)已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M(单位：g)服从正态分布N(250，σ2)，且P(M<248)＝0.1.
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取K(K∈N*)包，记质量(单位：g)在[248，252]内的包数为X，且 D(X)>320，求K的最小值．
解：(1)由题意知每包牛肉干的质量M(单位：g)服从正态分布N(250，σ2)，
且P(M<248)＝0.1，
所以P(M≥248)＝1－0.1＝0.9，
则这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率为C×0.92×0.1＝0.243.
(2)因为P(M<248)＝0.1，所以P(248≤M≤252)＝1－0.1×2＝0.8，
依题意可得X～B(K，0.8)，所以D(X)＝K×0.8×(1－0.8)＝0.16K，
因为D(X)>320，所以0.16K>320，K>2 000，又K为正整数，所以K的最小值为2 001.
18．(本小题满分17分)为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X(单位：nm).
(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10 nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个.记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X～N(9，0.04)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.977 2510≈0.794 4，0.954 510≈0.627 7.
解：(1)由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，则有
P(ξ＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)η的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，则有
P(η＝4)＝C()4()2＝，
P(η＝5)＝C()5()1＝，
P(η＝6)＝C()6＝.
所以技术攻坚成功的概率P(η≥4)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝，
因为η～B(6，)，
所以η的方差D(η)＝6××(1－)＝.
(3)由X～N(9，0.04)，
则可知μ＝9，σ＝0.2，
由于P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
则P(8.6≤X≤9.4)≈0.954 5，
所以P(9≤X≤9.4)
＝P(8.6≤X≤9.4)≈0.477 25，
所以P(X>9.4)＝－P(9≤X≤9.4)
≈0.022 75，
则P(X≤9.4)＝1－P(X>9.4)≈0.977 25.
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4 nm”为事件A，
则P(A)＝1－P()≈1－0.977 2510≈1－0.794 4＝0.205 6.
故至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率约为 0.205 6.
19．(本小题满分17分)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F(x)＝P(X≤x).已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压X(单位：V)服从正态分布N(40，4)，且X的累积分布函数为F(x)，求F(44)－F(38)；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T(单位：天)表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G(t)＝
①设t1>t2>0，证明：P(T>t1|T>t2)＝P(T>t1－t2)；
②若第n天元件A发生故障，求第n＋1天系统正常运行的概率．
附：若随机变量Y服从正态分布N(μ，σ2)，
则P(μ－σ≤Y≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤Y≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由题设得P(38≤X≤42)≈0.682 7，P(36≤X≤44)≈0.954 5，
所以F(44)－F(38)
＝P(X≤44)－P(X≤38)
＝P(40≤X≤44)＋P(38≈×(0.954 5＋0.682 7)＝0.818 6.
(2)①证明：由题设得
P(T>t1|T>t2)
＝
＝＝＝
＝＝＝4t2－t1，
P(T>t1－t2)＝1－P(T≤t1－t2)
＝1－G(t1－t2)＝4t2－t1，
所以P(T>t1|T>t2)＝P(T>t1－t2)成立．
②由①得P(T>n＋1|T>n)＝P(T>1)
＝1－P(T≤1)＝1－G(1)＝，
所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均为.
为使第n＋1天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作，
因此所求概率为1－(1－)2＝.
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设随机变量X～B(8，)，Y＝2X－1，则D(Y)＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选D．因为随机变量X～B(8，)，则D(X)＝8××(1－)＝2，又因为Y＝2X－1，则D(Y)＝4D(X)＝8.故选D．
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4，5)，则P(2≤X<5)＝( )
A． B．
C． D．
解析：选C.根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4，5)，由分布列的性质，
则有＝1，解得a＝15，故P(2≤X<5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝.故选C.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝“两次的点数均为偶数”，B＝“两次的点数之和为8”，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
解析：选C.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，样本点个数为6×6＝36，其中事件A包含3×3＝9个样本点，事件AB包含(2，6)，(4，4)，(6，2)共3个样本点，所以P(B|A)＝＝＝.故选C.
4．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1.5)＝m，P(2≤X<2.5)＝1－3m，则P(X<2.5)＝( )
A．0.25 B．0.5
C．0.75 D．0.85
解析：选C.因为随机变量X～N(2，σ2)，所以P(X≤1.5)＝P(X≥2.5)＝m，
P(X≥2)＝P(X≥2.5)＋P(2≤X<2.5)＝m＋1－3m＝0.5，解得m＝0.25，所以P(X<2.5)＝1－P(X≥2.5)＝0.75.故选C.
5．某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中的次数为( )
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
解析：选D．由题意得投篮命中次数X～B(14，0.6)，P(X＝k)＝C·0.6k·0.414－k，k＝0，1，2，…，14.
设最有可能命中m次，则
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·0.6m·0.414－m≥C·,0.6m－1·0.415－m，,C·0.6m·0.414－m≥C·,0.6m＋1·0.413－m，))
得8≤m≤9，因为m∈Z，
所以m＝8或m＝9.
最有可能命中8或9次．故选D．
6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是( )
A．A1，A2互斥 B．P(B|A1)＝
C．P(A2B)＝ D．P(B)＝
解析：选C.因为每次只取一球，故A1，A2是互斥事件，故A正确；
由题意得P(A1)＝，P(A2)＝，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝×＋×＝，故B，D正确；
因为P(A2B)＝×＝，故C错误．故选C.
7．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C.设第一次从甲盒中取出白球，红球，黑球的事件分别为A1，A2，A3，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，则P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝·＋·＋·＝≥，解得x≤6，x∈N，则x的最大值为6.故选C.
8．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X～B(n，p)，P(X＝i)＝(i，n∈N).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于3%的概率约为(参考数据：＝0.367 879…)( )
A．99% B．97%
C．92% D．74%
解析：选C.依题意， n＝100，p＝0.01，二项分布近似于泊松分布，
此时λ＝100×0.01＝1，
则P(X＝k)＝e－1，
于是P(X＝0)＝e－1＝，
P(X＝1)＝e－1＝，
P(X＝2)＝e－1＝，
所以次品率小于3%的概率约为P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋≈92%.故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列随机变量中属于离散型随机变量的是( )
A．某公司内的一部咨询电话1小时内被使用的次数记为X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg之间的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数记为X
D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
解析：选AC.电话1小时内被使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；体重无法一一列举，选项B不正确；人数可以列举，选项C正确；数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量，选项D不正确．故选AC.
10．已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(0≤X≤2)＋P(X>t)＝0.5，随机变量Y～B(t，p)，0
C．P(2≤Y≤3)＝ D．D(2Y)＝2
解析：选AC. 因为X～N(2，σ2)，且P(0≤X≤2)＋P(X>t)＝0.5，所以t＝4，故A正确；
因为E(X)＝2，所以E(Y)＝E(X)＝2.
因为Y～B(4，p)，所以E(Y)＝4p＝2，所以p＝，故B错误；
因为Y～B，所以P(2≤Y≤3)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝C()4＋C()4＝，故C正确；
因为D(Y)＝4××(1－)＝1，所以D(2Y)＝4D(Y)＝4，故D错误．故选AC.
11．一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A为“至少有1个红球”，事件B为“至少有1个白球”，事件C＝A∩B，则( )
A．事件A，B不互斥
B．事件A，B相互独立
C．P(A|B)＝P(B|A)
D．P(C|A)＋P(C|B)>2P(C)
解析：选AD．对于A，由于至少有一个红球和至少有一个白球，可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，A正确；
对于B，P(AB)＝ eq \f(CC,C) ＝ ，
P(A)＝ eq \f(C＋CC,C) ＝，
P(B)＝ eq \f(C＋CC,C) ＝，
所以P(AB)≠P(A)P(B)，故B错误；
对于C，P(A|B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝，故C错误；
对于D，P(C)＝P(AB)＝ ，
故P(C|A)＋P(C|B)＝＋
＝＋＝P(C)＋·P(C)
＝P(C)>2P(C)，
故D正确．故选AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机事件A，B，P(A)＝，P(B)＝，P(A|B)＝，则P(B|A)＝__________．
解析：由条件概率可得P(A|B)＝＝，
所以P(AB)＝×＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：
13．人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化，现假设人们经分析估计利率下调的概率为 0.75，利率不变的概率为0.25.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为 0.8，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为 0.3，则该支股票价格将上涨的概率为______．
解析：记“利率下调”为事件A，“价格上涨”为事件C，则“利率不变”为事件，由题意知，P(A)＝0.75，P()＝0.25，P(C|A)＝0.8，P(C|)＝0.3，所以P(C)＝P(A)P(C|A)＋P()P(C|)＝0.75×0.8＋0.25×0.3＝0.675.
答案：0.675
14．假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率均为1－p(0
所以4引擎飞机成功飞行的概率为P1＝Cp2(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4＝3p4－8p3＋6p2.
双引擎飞机成功飞行的概率为P2＝Cp·(1－p)＋Cp2＝－p2＋2p.
所以P1－P2＝3p4－8p3＋6p2－(－p2＋2p)
＝p(p－1)2(3p－2).
因为4引擎飞机比双引擎飞机更为安全，
所以P1－P2>0，
即p(p－1)2(3p－2)>0.
因为0
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求m；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解：(1)由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.
(2)由X的分布列可列下表
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
即随机变量η的可能取值为0，1，2，3，
可得P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)
＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
16.(本小题满分15分)智能制造离不开精密的零件，某车间生产精密零件，按照包装每箱10个，某工厂质检人员需要开箱随机检查零件质量．
(1)已知某箱零件中有2个次品，从中随机抽取3个零件检查，设随机变量X为次品个数，求E(X)；
(2)根据历年数据统计该车间生产的零件中，每箱有0个，1个，2个次品的概率分别为0.6，0.3，0.1，每箱随机检查3个零件，若发现有次品，则质检不合格，从某批次的产品中，任选一箱，求检测合格的概率．
解：(1)由题意可知，随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝2，n＝3，X的可能取值有0，1，2，则
P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
可知E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(2)记抽到0个，1个，2个次品的箱子分别为事件A1，A2，A3，检测合格为事件B，
则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.1，
且P(B|A1)＝1，P(B|A2)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(B|A3)＝ eq \f(C,C) ＝，
由全概率公式可得，P(B)＝P(B|A1)·P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)·P(A3)＝.
所以检测合格的概率为.
17．(本小题满分15分)已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M(单位：g)服从正态分布N(250，σ2)，且P(M<248)＝0.1.
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取K(K∈N*)包，记质量(单位：g)在[248，252]内的包数为X，且 D(X)>320，求K的最小值．
解：(1)由题意知每包牛肉干的质量M(单位：g)服从正态分布N(250，σ2)，
且P(M<248)＝0.1，
所以P(M≥248)＝1－0.1＝0.9，
则这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率为C×0.92×0.1＝0.243.
(2)因为P(M<248)＝0.1，所以P(248≤M≤252)＝1－0.1×2＝0.8，
依题意可得X～B(K，0.8)，所以D(X)＝K×0.8×(1－0.8)＝0.16K，
因为D(X)>320，所以0.16K>320，K>2 000，又K为正整数，所以K的最小值为2 001.
18．(本小题满分17分)为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X(单位：nm).
(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10 nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个.记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X～N(9，0.04)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.977 2510≈0.794 4，0.954 510≈0.627 7.
解：(1)由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，则有
P(ξ＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)η的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，则有
P(η＝4)＝C()4()2＝，
P(η＝5)＝C()5()1＝，
P(η＝6)＝C()6＝.
所以技术攻坚成功的概率P(η≥4)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝，
因为η～B(6，)，
所以η的方差D(η)＝6××(1－)＝.
(3)由X～N(9，0.04)，
则可知μ＝9，σ＝0.2，
由于P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
则P(8.6≤X≤9.4)≈0.954 5，
所以P(9≤X≤9.4)
＝P(8.6≤X≤9.4)≈0.477 25，
所以P(X>9.4)＝－P(9≤X≤9.4)
≈0.022 75，
则P(X≤9.4)＝1－P(X>9.4)≈0.977 25.
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4 nm”为事件A，
则P(A)＝1－P()≈1－0.977 2510≈1－0.794 4＝0.205 6.
故至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率约为 0.205 6.
19．(本小题满分17分)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F(x)＝P(X≤x).已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压X(单位：V)服从正态分布N(40，4)，且X的累积分布函数为F(x)，求F(44)－F(38)；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T(单位：天)表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G(t)＝
①设t1>t2>0，证明：P(T>t1|T>t2)＝P(T>t1－t2)；
②若第n天元件A发生故障，求第n＋1天系统正常运行的概率．
附：若随机变量Y服从正态分布N(μ，σ2)，
则P(μ－σ≤Y≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤Y≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由题设得P(38≤X≤42)≈0.682 7，P(36≤X≤44)≈0.954 5，
所以F(44)－F(38)
＝P(X≤44)－P(X≤38)
＝P(40≤X≤44)＋P(38
(2)①证明：由题设得
P(T>t1|T>t2)
＝
＝＝＝
＝＝＝4t2－t1，
P(T>t1－t2)＝1－P(T≤t1－t2)
＝1－G(t1－t2)＝4t2－t1，
所以P(T>t1|T>t2)＝P(T>t1－t2)成立．
②由①得P(T>n＋1|T>n)＝P(T>1)
＝1－P(T≤1)＝1－G(1)＝，
所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均为.
为使第n＋1天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作，
因此所求概率为1－(1－)2＝.