7．2　离散型随机变量及其分布列（教师版）

7．2　离散型随机变量及其分布列
学习目标
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．　2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．　3.理解两点分布．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
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射击比赛是一项体育赛事，自1900年第二届奥运会后，射击运动蓬勃发展．以后成为历届奥运会、世界锦标赛、亚运会的主要竞赛项目．
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思考1　运动员在射击训练中，射击一次，命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？
提示：试验结果：命中0环，命中1环，命中2环，…，命中10环，可以用数值表示试验结果：0，1，2，…，10.
思考2　掷一枚质地均匀的骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？
提示：共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果．
一　随机变量的概念及判定
1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．离散型随机变量：可能取值为____________或可以____________的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用________________表示随机变量，例如X，Y，Z；用__________表示随机变量的取值，例如x，y，z.
[答案自填] 唯一　有限个　一一列举　大写英文字母　小写英文字母
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　)
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　)
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(　　)
(4)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．(多选)下列随机变量中是离散型随机变量的是(　　)
A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D．某高中每年参加高考的人数
解析：选AD．对于A，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，A正确；对于B，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，不是离散型随机变量，B错误；对于C，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，C错误；对于D，每年参加高考的人数可一一列出，符合离散型随机变量的定义，D正确．故选AD．
3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示________________．
解析：由题意知，甲得3分，有两种情况：
甲赢一局输两局；甲、乙平局三次．
所以{ξ＝3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
答案：甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
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判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以按一定次序一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
二　离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率________________________为X的概率分布列，简称分布列．
[答案自填] P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例3)某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
【解】　由题意，X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝0.2，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝0.6，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝0.2.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.2 0.6 0.2
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求离散型随机变量的分布列的步骤
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[跟踪训练1] 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中任选1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4.
P(X＝1)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(X＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝4)＝ eq \f(C,C) ＝.
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
三　分布列的性质及应用
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)pi≥______，i＝1，2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝______．
[答案自填] 0　1
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)设X是一个离散随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－q q－q2
则实数q的值为(　　)
A． B．
C． D．或－
(2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P(【解析】　(1)由离散型随机变量分布列的性质，知＋1－q＋q－q2＝1，故q2＝，因为1－q≥0，q－q2≥0，所以q＝.故选B．
(2)因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，
所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝m(＋＋＋＋)＝1，解得m＝，
所以P＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝×＝.
【答案】　(1)B 　(2)
【变式探究】
(设问变式)本例(2)条件不变，则P(X≤4)＝________．
解析：P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－×＝.
答案：
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离散型随机变量的分布列性质的应用
(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．
(2)由于离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
[跟踪训练2] (1)若随机变量η的分布列如下：
η －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(ηA．x≤1 B．1≤x≤2
C．1解析：选C.因为P(η≤1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，P(η≤2)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＋0.1＝0.9，所以当1(2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则常数a＝________．
解析：因为P(X＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
所以a(1＋2＋3＋…＋10)＝1，
即55a＝1，所以a＝.
答案：
四　两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示：
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从__________或__________．
[答案自填] 两点分布　0—1分布
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　掷一枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数．
(1)求点数X的分布列；
(2)只关心点数6是否出现．若出现，则记Y＝1，否则记Y＝0.求Y的分布列．
【解】　(1)因为掷得的每个点数为等可能事件，所以点数X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
(2)因为P(Y＝1)＝，而P(Y＝0)＝，所以Y的分布列为
Y 0 1
P
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两点分布的4个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的．
(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0.
(3)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0)).
(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．
[跟踪训练3] (1)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.6.设Y＝3X－2，那么P(Y＝－2)＝(　　)
A.0.6 B．0.3
C．0.2 D．0.4
解析：选D．当Y＝－2时，由3X－2＝－2 X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－0.6＝0.4.故选D．
(2)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a2，P(X＝1)＝a，那么a＝________．
解析： 由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a2＋a＝1 a＝或a＝－1，由于a>0，所以a＝.
答案：
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．下列随机变量中，是离散型随机变量的为(　　)
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
解析：选C.对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5，是常量，A错误；对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误．故选C.
2．(多选)(教材P60T2改编)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>3”表示的试验的结果有(　　)
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为6点，第二枚为2点
解析：选ACD．因为5－1＝4>3，6－1＝5>3，6－2＝4>3，所以选项ACD符合题意，对于B：第一枚大于4点，可以是5点，6点，第二枚也大于4点，可以是5点，6点，因为5－5＝0<3，5－6＝－1<3，6－5＝1<3，6－6＝0<3，所以不符合题意．故选ACD．
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)＝________．
解析：因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X表示所选3人中女生的人数，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝ eq \f(C,C) ＋ eq \f(CC,C) ＝.
答案：
4．(教材P61T4改编)某一射手射击所得环数X的分布列如下：
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21
(1)求m的值．
(2)求此射手“射击一次命中的环数≤8”的概率．
解：(1)因为0.02＋0.05＋0.06＋0.08＋2m＋0.21＝1，所以m＝0.29.
(2)此射手“射击一次命中的环数≤8”的概率P＝1－0.21－m＝1－0.21－0.29＝0.5.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)随机变量、离散型随机变量的概念；(2)离散型随机变量的分布列的概念及性质；(3)两点分布．
2．须贯通：(1)实际问题中用随机变量表示随机试验的结果；(2)i＝1是分布列正确的必要不充分条件．
3．应注意：随机变量的取值意义不明确导致分布列求解错误．