7.3.1　课后达标检测（教师版）

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1．设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则E(X)＝(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：选D．由题意得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，因为P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，所以解得P(X＝1)＝0.7，P(X＝0)＝0.3，所以E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.故选D．
2．随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝3a，则E(X)＝(　　)
X 1 2 3
P a b c
A. B．
C． D．1
解析：选C.由题意得解得a＝，b＝，c＝，则E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选C.
3．一个盒子中装有白色乒乓球4个，橘黄色乒乓球2个．现从盒子中任取2个乒乓球，记取出的2个乒乓球的颜色为橘黄色的个数为X，则E(X)＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
解析：选D．由题意可知X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(C,C) ＝，
所以可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝.故选D．
4．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4).又ξ的均值E(ξ)＝3，则a＋b＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.因为P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，
所以E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝30a＋10b＝3①；
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝10a＋4b＝1②，
由①②可解得a＝，b＝0，所以a＋b＝.故选A.
5．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值为(　　)
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
解析：选A.依题意得，X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.5)＝0.3，
P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，
P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2.
可得X的分布列如表所示：
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
所以E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.故选A.
6．(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则(　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a＝7 B．b＝0.4
C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62
解析：选ABC.由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，故B正确；
又E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9×0.4＝6.3，解得a＝7，故A正确；
所以E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，故C正确；
E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故D错误．
7．一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子中任意取出2个，则取到白米粽的个数的均值为________．
解析：设取到白米粽的个数为随机变量X，则X的可能取值为0，1，2，
所以P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
P(X＝2)＝ eq \f(C,C) ＝＝，
所以取到白米粽的个数的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：
8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的均值是______元．
解析：设可获收益为X万元，如果成功，X的取值为5×12%，如果失败，X的取值为－5×50%，
一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝，
所以一年后公司收益的均值为E(X)＝(5×12%×－5×50%×)×10 000＝4 760(元).
答案：4 760
9．一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则E(X)＝________．
解析：X的可能取值是1，2，3，4，5，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
P(X＝5)＝×××＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
答案：
10．某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向M，N两个目标投掷，先向目标M掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标N连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标M的概率为，套中目标N的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为X.求：
(1)小明恰好套中2次的概率；
(2)X的分布列及均值．
解：(1)记“小明恰好套中2次”为事件A，
分3种情况：第一次，第二次套中，第三次没有套中；第一次，第三次套中，第二次没有套中；第一次没有套中，第二次，第三次套中，
则P(A)＝×2××＋××＝，
小明恰好套中2次的概率为.
(2)由题意可得，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＝，
P(X＝2)＝×2××＝，
P(X＝3)＝×2××＝，
P(X＝4)＝××＝，
P(X＝5)＝××＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
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11．从1～20中随机抽取3个数，记随机变量ξ为这3个数中相邻数组(a，a＋1)的个数．如当这三个数为11，12，14时，ξ＝1；当这三个数为7，8，9时，ξ＝2.则E(ξ)的值为(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析：选B．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，
当ξ＝1时，所取的三个数中仅两个数相邻，当这三个数中含有1，2或19，20时，对应取法各为17种，其余情况取法为17×16种，
所以P(ξ＝1)＝ eq \f(2×17＋17×16,C) ＝＝，
当ξ＝2时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，
所以P(ξ＝2)＝ eq \f(18,C) ＝＝，
所以当ξ＝0时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有1 140－18－306＝816(种)，
所以P(ξ＝0)＝＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝0.3.故选B．
12．(多选)已知随机变量X的分布列如下表：
X －1 0 1
P a b
记“函数f(x)＝3sin π(x∈R)是偶函数”为事件A，则(　　)
A．P(A)＝ B．E(X)＝
C．E(X)＝－2a D．E(X2)＝
解析：选ACD．因为函数f(x)＝3sin π(x∈R)是偶函数，
所以π＝＋kπ，k∈Z，所以X＝2k＋1，k∈Z，
又因为X＝－1，0，1，
所以事件A表示X＝±1，
所以P(A)＝a＋b＝1－＝，E(X)＝(－1)×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a，故A，C正确，B错误．
随机变量X2的可能取值为0，1，
P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝a＋b＝，
所以E(X2)＝0×＋1×＝，故D正确．故选ACD．
13．甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元．若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金________元．
解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情况：
①胜第3局，甲赢的概率为，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为×＝，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为××＝，所以甲赢的概率为＋＋＝，所以E(X)＝800×＋0×＝700，则乙应得奖金800－700＝100(元).
答案：100
14．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 6 8 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)设每销售一件该商品获利1 000元，某天销售该商品获利情况如下表，完成下表，并求试销期间日平均获利数；
日获利(元) 0 1 000 2 000 3 000
频率
(2)求第二天开始营业时该商品的件数为3的概率．
解：(1)设日销售量为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.
由题意知，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
补充表格如下：
日获利(元) 0 1 000 2 000 3 000
频率
所以，试销期间日平均获利为0×＋1 000×＋2 000×＋3 000×＝1 850(元).
(2)由题意知，当第一天的销售量为0，2，3件时，第二天开始营业时该商品的件数为3，故所求概率P＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝.
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15．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则E(X)约为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A.由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，…，n，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝×＝，P(X＝4)＝，…，P(X＝n)＝，
所以E(X)＝2×＋3×＋4×＋…＋(n－1)×＋n×，①
则E(X)＝2×＋3×＋4×＋…＋(n－1)×＋n×，②
①－②得，E(X)＝1＋＋＋＋…＋－n×，即得E(X)＝3－.当n→＋∞时，E(X)≈3.故选A.
16．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
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(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值．
解：(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种).故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)由题意得P(Y＝51)＝P(X＝1)，
P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，
P(Y＝42)＝P(X＝4).
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1，2，3，4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝，得
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故所求Y的分布列为
Y 51 48 45 42
P
因此所求年收获量Y的均值为E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝46(kg).