7.3.1　离散型随机变量的均值（教师版）

7．3　离散型随机变量的数字特征
7．3.1　离散型随机变量的均值
学习目标
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及均值的概念．　2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值．　3.掌握两点分布的均值．　4.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件．如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？如何比较两个选手的射击情况？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识．
假如某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.
思考1　此人射击所得的平均环数是多少？
提示：平均环数为
＝7×＋8×＋9×＋10×＝8.
思考2　7×＋8×＋9×＋10×式子中分数的含义是什么？
提示：每个分数表示相应数据的频率，如是7在数据中出现的频率．
一　离散型随机变量的均值
1．均值的定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝__________＝__________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
2．两点分布的均值
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
3．均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的____________．
[答案自填] x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　ipi
平均水平
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　)
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　)
(3)已知随机变量X的取值为0，1，若P(X＝0)＝，则E(X)＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
　　　　　　　　　　　　　　　
则X的均值E(X)＝(　　)
A．2 B．2或
C． D．1
解析：选C.由分布列的性质知，＋＝1，解得a＝1或a＝－2(舍去).所以E(X)＝0×＋1×＝.
3．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个．现从中任意取出3个小球，若取到红球得2分，取到黄球得3分，取到绿球得4分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的均值为________．
解析：依题设，ξ的可能取值为7，8，9，10，11.
则P(ξ＝7)＝ eq \f(C,C) ＝，P(ξ＝8)＝ eq \f(C＋C,C) ＝，
P(ξ＝9)＝ eq \f(C·C·C,C) ＝，
P(ξ＝10)＝ eq \f(C＋C,C) ＝，P(ξ＝11)＝ eq \f(C,C) ＝，
所以E(ξ)＝7×＋8×＋9×＋10×＋11×＝9.
答案：9
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求离散型随机变量均值的一般步骤
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值；
第二步是“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求均值”，利用均值的定义求均值．
二　离散型随机变量的均值的性质
如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝____________．
[答案自填] aE(X)＋b
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求E(X)；
(2)若Y＝2X－3，求E(Y).
【解】　(1)依题意，由分布列的性质得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，E(X)＝－2×－1×＋0×＋1×＋2×＝－.
(2)方法一：因为Y＝2X－3，
所以E(Y)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
方法二：因为Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
所以E(Y)＝－7×－5×－3×－1×＋1×＝－.
【变式探究】
1．(综合变式)本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值．
解：由本例知E(X)＝－，则E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15.
2．(设问变式)本例条件不变，求E(X－E(X))的值．
解：方法一：因为E(X)＝－，
所以E(X－E(X))＝E(X＋)＝E(X)＋
＝－＋＝0.
方法二：E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求随机变量Y＝aX＋b的均值的方法
(1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解即可．
[跟踪训练1] (1)若随机变量X服从两点分布，其中 P(X＝0)＝，则以下正确的是(　　)
A．E(X)＝ B．E(X)＝
C．E(2X＋2)＝ D．E(2X＋1)＝
解析：选D．因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，则P(X＝1)＝，故E(X)＝0×＋1×＝，故A，B错误；E(2X＋2)＝2E(X)＋2＝，故C错误；E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝，故D正确．故选D．
(2)已知X的分布列如表所示，且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝________．
X －1 0 1
P
解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
且Y＝aX＋3，E(Y)＝aE(X)＋3＝，
即－a＋3＝，解得a＝4.
答案：4
三　离散型随机变量均值的实际应用
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4)手机碎屏险，即手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机的普及，应运而生的保险．为方便手机用户，某品牌手机厂商针对A，B两款手机推出碎屏险服务，保修期为1年，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务，两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：
款式 A B
碎屏险费/元 a 50
屏幕意外损坏概率p 0.05 0.08
(1)某人分别为A，B款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为 0.05，0.08，手机屏幕意外损坏相互独立．记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为X，求X的分布列和均值；
(2)已知在该手机厂商售出的A，B两款手机中，分别有24 000部和10 000部上了碎屏险，两款手机更换屏幕的成本分别为400元和600元．若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于50万元，求A款手机的碎屏险费a最低应定为多少？(业务收入＝碎屏险收入—屏幕更换成本)
【解】　(1)X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝(1－0.05)×(1－0.08)＝0.874，
P(X＝1)＝0.05×(1－0.08)＋(1－0.05)×0.08＝0.122，
P(X＝2)＝0.05×0.08＝0.004，
X的分布列为
X 0 1 2
P 0.874 0.122 0.004
E(X)＝0×0.874＋1×0.122＋2×0.004＝0.13，故次数X的均值为0.13.
(2)依题意，可知A，B两款手机发生屏幕意外损坏分别有24 000×0.05＝1 200(部)，10 000×0.08＝800(部)，
屏幕更换总成本为1 200×400＋800×600＝960 000(元)，
碎屏险总收入为24 000a＋10 000×50，
业务收入为24 000a＋10 000×50－960 000＝24 000a－460 000，
则24 000a－460 000≥500 000，
得a≥40，故A款手机的碎屏险费a最低应定为40元．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
[跟踪训练2] 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的均值达到最大值？
解：(1)由题意得，随机变量X的可能取值为200，300，500，
可得P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.4，
所以随机变量X的分布列为
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以，只需考虑200≤n≤500，当300若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，所以E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.
当200≤n≤300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，所以E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n，所以当n＝300时，Y的均值达到最大值，最大值为520元．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．已知随机变量X服从两点分布，E(X)＝0.6，则其成功概率为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选D．因为随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，所以E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p＝0.6.故选D．
2．(多选)(教材P66T1改编)已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m n
则下列正确的是(　　)
A．E(2X)＝ B．E(X)＝
C．m＝ D．n＝
解析：选BCD．根据分布列的性质可知m＋n＝1－－＝①，
因为Y＝12X＋7，所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34，解得E(X)＝，则E(2X)＝2E(X)＝，故A错误，B正确；
又由分布列可得1×＋2×m＋3×n＋4×＝，整理得2m＋3n＝②，
联立①②解得m＝，n＝，故C，D正确．故选BCD．
3．(教材P67T2改编)掷一枚质地均匀的骰子，若将掷出的点数记为得分，则得分的均值为________．
解析：设得分为X，则X可能的取值为1，2，3，4，5，6，且P(X＝i)＝，其中i＝1，2，3，4，5，6，则得分的均值为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
答案：
4．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(单位：束)的统计(如表)计算，在今年节日期间进这种鲜花500束的利润的均值．
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
解：节日期间这种鲜花需求量的均值为
E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340.
设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，
所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706.
所以在今年节日期间进这种鲜花500束的利润的均值为706元．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)离散型随机变量的均值；(2)两点分布的均值；(3)离散型随机变量的均值的性质；(4)离散型随机变量的均值的实际应用．
2．须贯通：定义法求随机变量X的均值的四个步骤：写出X所有可能的取值；求出X取每个值时的概率P；写出分布列；利用定义求E(X)并回答均值所表示的结论．
3．应注意：不会应用均值对实际问题作出正确分析．