7.3.2　课后达标检测（教师版）

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1．若离散型随机变量X的标准差＝8，则随机变量Y＝2X－1的标准差为(　　)
A．8 B．15
C．16 D．32
解析：选C.＝＝＝2＝2×8＝16.故选C.
2．若X为离散型随机变量，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B．由D(aX＋b)＝a2D(X)＝4D(X)，解得a＝±2，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的必要不充分条件．故选B．
3．小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题意可知，X的可能取值为2，－2，0，
因为P(X＝2)＝×＝，
P(X＝－2)＝×＝，
P(X＝0)＝C××＝，
所以E(X)＝2×＋(－2)×＋0×＝，
故D(X)＝(2－)2×＋(－2－)2×＋(0－)2×＝.故选B．
4．某离散型随机变量X的分布列如下，若E(X)＝，P(X≥1)＝，则D(X)＝(　　)
X －1 0 1 2
P a b c
A. B．
C． D．
解析：选D．因为分布列的概率之和为1，
所以a＋b＋c＋＝1，
即a＋b＋c＝.①
因为E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×＝，所以－a＋c＝.②
因为P(X≥1)＝c＋＝，所以c＝，将c＝依次代入②，①，解得a＝，b＝，
则D(X)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.故选D．
5．已知投资甲、乙两种股票，每股收益(单位：元)的分布列分别如下表：
甲种股票收益分布列
收益X/元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
乙种股票收益分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.2 0.5 0.3
则下列说法正确的是(　　)
A．投资甲种股票的均值收益大
B．投资乙种股票的均值收益大
C．投资甲种股票的风险更高
D．投资乙种股票的风险更高
解析：选C.甲种股票收益的均值E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，
方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，
乙种股票收益的均值E(Y)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，
方差D(Y)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，
所以E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资甲种、乙种股票的均值收益相等，投资甲种股票比投资乙种股票的风险高．故选C.
6．(多选)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，下列说法正确的有(　　)
X 0 1 2
P 0.36 1－2q q2
A.q＝0.2 B．E(X)＝0.58
C．E(X2)＝0.76 D．D(X)＝0.297 6
解析：选ACD．由题意可知，0.36＋1－2q＋q2＝1，解得q＝0.2或q＝1.8，当q＝1.8时，1－2q＝－2.6，不符合题意，舍去，所以q＝0.2，故A正确；E(X)＝0×0.36＋1×(1－2×0.2)＋2×0.22＝0.6＋0.08＝0.68，故B错误；当X＝0，1，2时，X2＝0，1，4，E(X2)＝0×0.36＋1×(1－2×0.2)＋4×0.22＝0.6＋0.16＝0.76，故C正确；D(X)＝(0－0.68)2×0.36＋(1－0.68)2×(1－2×0.2)＋(2－0.68)2×0.22＝0.297 6，故D正确．故选ACD．
7．设抛掷一枚质地均匀的骰子的点数为随机变量X，则＝________．
解析：易知X的可能取值为1，2，3，4，5，6，且每种取值的概率都为，
所以E(X)＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝，
D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝×(1＋4＋9＋16＋25＋36)－()2＝，
所以＝.
答案：
8．已知盒子中装有n(n>1，n∈N*)个一等品和2个二等品，从中任取2个产品(取到每个产品都是等可能的)，用随机变量X表示取到一等品的个数，X的分布列如下表所示，则D(X)＝________．
X 0 1 2
P a b
解析：由题中分布列可得a＋b＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
所以n＝2或n＝1(舍去)，又P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝＝a，所以b＝，进而可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，故D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
答案：
9．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0解析：由题意可得随机变量X的可能取值为0，1，
且P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，所以E(X)＝p，D(X)＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2＝－(p－)2＋，
所以当p＝时，D(X)取得最大值；
＝＝2－
≤2－2＝2－2，
当且仅当2p＝，即p＝时等号成立，
所以的最大值为2－2.
答案：　2－2
10．袋中有20个除标号不同外其他完全相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n的有n(n＝1，2，3，4)个．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值、方差和标准差．
解：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，
方差D(ξ)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝，标准差σ(ξ)＝＝.
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11．已知集合A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上，其中n的值对应的随机变量为X，P(X＝n)＝Pn，X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，则下列结论中错误的是(　　)
A．P4＝3P2 B．P(3≤X≤5)＝
C．E(X)＝2 D．D(X)＝
解析：选C.因为A＝B＝{1，2，3}，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上，所以X的可能取值为2，3，4，5，6.从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，所以P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝.对于A，P4＝3P2，故A正确；对于B，P(3≤X≤5)＝＋＋＝，故B正确；对于C，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4，故C错误；对于D，D(X)＝(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(5－4)2×＋(6－4)2×＝，故D正确．
12．(多选)已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m(m>2，m∈N*)个和白色小球2m个，从中任取3个，记随机变量ξ为取出的3个球中黑球的个数，则(　　)
A．E(ξ)与m有关 B．E(ξ)与m无关
C．D(ξ)与m有关 D．D(ξ)与m无关
解析：选BC.由题可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(ξ＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，
故E(ξ)＝＋＋＝1，
D(ξ)＝＋＋＝×[2(2m－1)(2m－2)＋3×2m(m－1)＋4(m－1)(m－2)]
＝＝.
故选BC.
13．为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B，并在“十一黄金周”期间同时投放市场．为了了解这两款车型在“十一黄金周”的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销售量(单位：台)，得到如下数据：
　　　4S店车型　　　 甲 乙 丙 丁 戊
车型A 6 6 13 8 11
车型B 12 9 13 6 4
现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数，则D(X)＝________．
解析：由题表可知，车型A销量超过车型B销量的4S店有2家，则X的所有可能取值为0，1，2，
且P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.
答案：
14．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记ξ＝1；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记ξ＝0；若ξ＝1，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为.
(1)求出随机变量ξ的分布列，并求出均值及方差；
(2)求张老师当天穿西装的概率．
解：(1)将一枚骰子连续投掷两次共有6×6＝36个样本点，掷出的点数之和是3的倍数有(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12个样本点，
则掷出的点数之和不是3的倍数有24个样本点，
随机变量ξ的可能取值为0，1，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1
P
E(ξ)＝0×＋1×＝.
D(ξ)＝(0－)2×＋(1－)2×＝.
(2)设A表示穿深色，则表示穿浅色，B表示穿西装，则表示穿休闲装．
根据题意，穿深色衣物的概率为P(A)＝，则穿浅色衣物的概率为P()＝，
穿深色西装的概率为P(B|A)＝，穿浅色西装的概率为P(B|)＝，则张老师当天穿西装的概率为P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝×＋×＝.
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15．某校举办了“禁毒知识竞赛”，采用抽题问答形式．设抽题盒中有a道简单题，b道中等题，c道难题，且规定：抽中简单题并回答正确得1分，抽中中等题并回答正确得2分，抽中难题并回答正确得3分．现在从盒子中取出1道题并回答正确，记所得分为ξ.若E(ξ)＝，D(ξ)＝，则a∶b∶c＝________．
解析：根据题意，ξ的可能取值为1，2，3，
对应的概率为P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)＝＝，D(ξ)＝·＋·＋·＝，
所以，a＝b＋3c，7c＝a＋b，
所以，b＝2c，a＝5c，故a∶b∶c＝5∶2∶1.
答案：5∶2∶1
16．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t.
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：行驶路程不超过3 km时，收费5元，行驶路程超过3 km时，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
解：(1)由题意，得0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1.所以t＝0.1.
所以X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
所以E(X)＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1＋30×0.2＝25，
D(X)＝(－5)2×0.1＋(－3)2×0.2＋(－1)2×0.3＋12×0.1＋32×0.1＋52×0.2＝10.6.
(2)设此人一天中出车一次的收入为Y元，
则Y＝3(X－3)＋5＝3X－4(X>3，X∈N)，
所以E(Y)＝E(3X－4)＝3E(X)－4＝3×25－4＝71，D(Y)＝D(3X－4)＝32·D(X)＝95.4.
故此人一天中出车一次收入的均值为71，方差为95.4.