7.4.2　超几何分布（教师版）

7．4.2　超几何分布
学习目标
1.理解超几何分布的概念及特征．　2.掌握超几何分布的均值的计算．　3.了解二项分布与超几何分布的区别与联系．　4.会用超几何分布解决一些简单的实际问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1　已知在10件产品中有4件次品，采用有放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列．
提示：采用有放回抽样时，X服从二项分布，
即X～B(3，0.4)，
其分布列为P(X＝k)＝C(0.4)k(1－0.4)3－k，k＝0，1，2，3.
思考2　已知在10件产品中有4件次品，采用不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，X还服从二项分布吗？你能求出P(X＝2)吗？
提示：若采用不放回抽样时，X不服从二项分布；“X＝2”表示“取出的3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正品中取出1件，共有CC种取法，故P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝.
一　超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
[答案自填] eq \f(CC,C)
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)超几何分布是不放回抽样．(　　)
(2)超几何分布的总体只有两类个体．(　　)
(3)对于同一个摸球模型，超几何分布与二项分布的均值相同．(　　)
(4)超几何分布与二项分布没有任何联系．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　)
A．抛掷三枚骰子，向上的点数是6的骰子的个数X
B．有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D．某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X
解析：选CD．选项A，B是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故A，B不符合题意；选项C，D符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布．故选CD．
3．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选m个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布. 若m＝3时，随机变量X的所有可能取值为________；若m＝8时，随机变量X的取值的最大值为________．
解析：根据超几何分布的概念，若m＝3时，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；若m＝8时，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，7，故随机变量X的取值的最大值为7.
答案：0，1，2，3　7
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应从以下三方面进行分析：
(1)总体是否可分为两类明确的对象；
(2)是否为不放回抽样；
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
二　超几何分布的概率与分布列
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例6)一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
【解】　(1)从袋中一次随机抽取3个球，所有取法的总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝.
(2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【变式探究】
1．(设问变式)在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．
解：由题意可知η的可能取值为0，1，服从两点分布．又P(η＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(η＝0)＝1－P(η＝1)＝，所以η的分布列为
η 0 1
P
2.(条件变式)将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？
解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P＝ eq \f(C×C×C×A,63) ＝.
(2)由题意知X的可能取值为0，1，2，3.
方法一：P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝ eq \f(C×3×3×3,63) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(C×3×3×3,63) ＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
方法二：可以根据X～B(3，)，由P(X＝k)＝C(1－)3－k()k求出各式概率，下同方法一．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求超几何分布的分布列的步骤
INCLUDEPICTURE "A5.TIF" INCLUDEPICTURE "A5.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练1] (1)某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门．学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程．从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为X门，则下列概率中结果为 eq \f(CC,C) 的是(　　)
A．P(X≤3) B．P(X＝3)
C．P(X≤5) D．P(X＝5)
解析：选D．某校开设了15门校本课程，要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程有C种选法，因为人文社科类6门，该学生选择的人文社科类的校本课程为5门有C种选法，然后从其他9门课程中选3门有C选法，所以该学生选择的人文社科类的校本课程为5门的概率为 eq \f(CC,C) ，即P(X＝5).故选D．
(2)一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为________．
解析：设有白球x个，因为从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，所以 eq \f(C,C) ＝＝1－，解得x＝5或x＝14(舍去)，所以白球的个数为5.
答案：5
三　超几何分布的实际应用及均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝＝________．
[答案自填] np
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　近年来，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱．某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施．为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15
品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5
(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；
(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和均值．
【解】　(1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件A；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件B，
所以选出的4间均为普通型民宿的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝ eq \f(C,C) × eq \f(C,C) ＝.
(2)由题表得这10家民宿中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，则随机变量X的可能取值有0，1，2，3，4，
则P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝4)＝ eq \f(C,C) ＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
方法一：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二：随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝4，所以E(X)＝＝＝.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
解决超几何分布问题的关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意参数N，M，n的取值及其意义，可直接套用，但不能混淆．
(2)根据超几何分布的概率计算公式P(x＝k)＝ eq \f(CC,C) ，计算出随机变量取每一个值时的概率，从而求出X的分布列．
(3)利用均值公式或套用超几何分布均值的公式E(X)＝求解．
[跟踪训练2] 一盘子中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个．
(1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
(2)设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与均值．
解：(1)依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为 eq \f(CC＋CC,C) ＝.
(2)X的可能取值为0，1，2,
则P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．下列随机变量中，不服从超几何分布的是(　　)
A．在10件产品中有3件次品，不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
解析：选C.依据超几何分布的定义可知，试验必须是不放回地抽取n次，A，B，D中随机变量X服从超几何分布，而C中的随机变量显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．故选C.
2．(多选)(教材P80练习T2改编)已知一个口袋中装有10个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸4个球，则其中恰好有1个白球的概率为(　　)
A．1－ eq \f(C＋CC,C) B． eq \f(CC＋CC,C)
C．1－ eq \f(C,C) D． eq \f(CC,C)
解析：选AD．从12个球中任意抽取4个，样本点总数为C，其中恰好有1个白球的样本点有CC个，所以恰好有1个白球的概率P＝ eq \f(CC,C) ；也可由对立事件计算可得P＝1－ eq \f(C＋CC,C) .故选AD．
3．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为学校迎新会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则E(ξ)＝ ________．
解析：方法一：由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0，1，2，且P(ξ＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(ξ＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝2)＝ eq \f(C,C) ＝，
因此，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二：由题意可知，随机变量ξ服从超几何分布，其中N＝7，M＝2，n＝2，
所以E(ξ)＝＝＝.
答案：
4．(教材P81T7改编)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：
(1)甲答对试题数X的分布列；
(2)乙所得分数Y的分布列．
解：(1)由题意，甲能答对10道试题中的6题，且X为甲答对随机抽出的3题的试题数，则随机变量X的可能取值为0，1，2，3.
所以P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)由题意随机变量Y的可能取值为5，10，15，
所以P(Y＝5)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(Y＝10)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(Y＝15)＝ eq \f(C,C) ＝，
所以随机变量Y的分布列为
Y 5 10 15
P
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1.已学习：(1)超几何分布的概念及特征；(2)超几何分布的概率、分布列、均值．
2．须贯通：(1)若X服从超几何分布，代入概率公式计算概率，得分布列；(2)利用均值公式求超
几何分布的均值．
3．应注意：(1)超几何分布与二项分布的区别与联系，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样；(2)超几何分布中各个参数的含义．