7.4.2　课后达标检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同．任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P(X＝2)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题意可得，P(X＝2)＝ eq \f(C,C) ＝.故选B．
2．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(　　)
A． eq \f(C,C) B． eq \f(C＋C＋C,C)
C．1－ eq \f(C,C) D． eq \f(CC＋CC,C)
解析：选C.由题意知，事件“出现二级品”的对立事件为“全是一级品”，事件“全是一级品”的概率为 eq \f(C,C) ，由对立事件的概率可知，出现二级品的概率是1－ eq \f(C,C) .故选C.
3．从含有7件次品的20件产品中，任意抽取4件，X表示抽取的次品个数，则 eq \f(CC＋C,C) 表示(　　)
A．P(X＝3) B．P(X＝4)
C．P(X>3) D．P(X≥3)
解析：选D．因为C表示从20件产品中任意选取4件，CC表示选取的4件产品中有3件次品，1件正品，C表示选取的4件产品全是次品，所以P(X≥3)＝ eq \f(CC＋C,C) .故选D．
4．某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)＝，则该社团的人数为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．10
解析：选C.设该社团共n人，所以P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，
因为P(X＝0)＝1－P(X>0)＝，
所以＝，
即(11n－18)(n－7)＝0，
又因为n∈N*，解得n＝7.故选C.
5．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则D(X)＝(　　)
A. 1 B．2
C． D．
解析：选C.根据题意可知，X的可能取值为1，2，3，且服从超几何分布，
故P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.故选C.
6．(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是(　　)
A.X表示取出的最大号码
B．X表示取出的最小号码
C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．X表示取出的黑球个数
解析：选CD．选项A，B不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即A，B不符合题意；选项C，D符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即C，D符合题意．故选CD．
7．有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个数，则E(2X＋1)＝________．
解析：由题意可得，X服从超几何分布，E(X)＝＝＝.
所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝.
答案：
8．在一次运动会上，某单位派出了6名主力队员和5名替补队员组成代表队参加比赛．如果随机抽派5名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为____________．
解析：将主力队员上场的人数记为X，则X>5－X，X>，则所求概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝ eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) ＋ eq \f(C,C) ＝.
答案：
9．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道题．现从这10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则他此次测试合格的概率为________．
解析：由题意，10道题中随机抽出3道题的总情况数为C＝120，答对其中2道的情况数为CC＝50，答对其中3道的情况数为CC＝10，故合格的概率P＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝＝.
答案：
10．某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
(1)求该学生能通过自主招生初试的概率；
(2)若该学生答对的题数为X，求X的分布列以及均值．
解：(1)该学生能通过自主招生初试的概率P＝ eq \f(CC,C) ＋ eq \f(C,C) ＝.
(2)该学生答对的题数X的可能取值为2，3，4，则P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝4)＝ eq \f(C,C) ＝，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为(　　)
INCLUDEPICTURE "25PM7.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM7.TIF" \* MERGEFORMAT
A． B．
C． D．
解析：选A.由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，
若任取的3个数中有0个阴数，
则概率为 eq \f(C,C) ＝；若任取的3个数中有1个阴数，
则概率为 eq \f(CC,C) ＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率P＝＋＝.故选A.
12．(多选)袋中有8个质地、大小相同的球，其中5个黑球，3个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(|Z－5|≤1)＝
B．E(X)C．D(X)＝D(Y)
D．E(Z)＝
解析：选BCD．X，Y均服从超几何分布，且X＋Y＝3，Z＝2X＋Y＝3＋X，
P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) ，k＝0，1，2，3，
对选项A，P(|Z－5|≤1)＝P(|X－2|≤1)＝1－P(X＝0)＝1－ eq \f(CC,C) ＝，A错误；对选项B，E(X)＝3×＝，E(Y)＝3－E(X)＝，所以E(X)13．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为________．
解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧上的三个四等分点，
INCLUDEPICTURE "25PM8.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM8.TIF" \* MERGEFORMAT
从A，B，C，D，E这5个点任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为C＝10.其中直角三角形有△ABC，△ABD，△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，因此，所求概率为P＝＝.
答案：
14．某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N*)个人数超过1 000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列和均值．
解：(1)由题意知共有n＋3个集团，取出2个集团的方法种数是C，其中全是大集团的情况有C种，故全是大集团的概率是 eq \f(C,C) ＝＝，
整理得到9n2－39n－30＝0，解得n＝5(负值已舍去).
若2个全是大集团，共有C＝10种情况；
若2个全是小集团，共有C＝3种情况，
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为＝.
(2)由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
15．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n(n∈N*)件，若用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数，则使X＝1的概率取得最大值时，n＝________．(参考数据：≈99.504)
解析：由题意可得P(X＝1)＝ eq \f(CC,C)
＝
＝，1≤n≤98，
且n∈N*，记函数f(x)＝x(x－99)(x－100)，1≤x≤98，
则由f′(x)＝3x2－398x＋9 900＝0，
解得x1＝≈33.17，
x2＝≈99.50(舍去)，
所以当1≤x0，f(x)单调递增；当x1≤x≤98时，f′(x)≤0，f(x)单调递减．
因为f(33)－f(34)＝33×66×67－34×65×66＝66>0，所以当n＝33时，X＝1的概率取得最大值．
答案：33
16．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从某市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和均值；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2，且p1＋p2＝，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得胜利的轮数的均值不小于6，那么理论上至少要参加多少轮答题？
解：(1)由题意可知ξ的可能取值有0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(ξ＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(ξ＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)他们在每轮答题中取得胜利的概率为
P＝Cp1(1－p1)Cp＋CpCp2(1－p2)＋CpCp
＝2p1p2(p1＋p2)－3(p1p2)2
＝p1p2－3(p1p2)2，
由0得≤p1≤1，
则p1p2＝p1＝p1－p
＝－＋，
因此p1p2∈[，]，
令t＝p1p2∈[，]，P＝t－3t2＝－3＋，于是当t＝时，Pmax＝.
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值.
设他们小组在n(n∈N*)轮答题中取得胜利的轮数为X，
则X～B，E(X)＝n，
由E(X)≥6，即n≥6，解得n≥10.125.
而n∈N*，则nmin＝11，所以理论上至少要参加11轮答题．