7．5　正态分布（教师版）

7．5　正态分布
学习目标
1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及曲线所表示的意义．　2.了解变量落在区间[ μ－σ，μ＋σ ]，[ μ－2σ，μ＋2σ ]，[ μ－3σ，μ＋3σ ]内的概率大小．　3.会用正态分布解决实际问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1　下列随机变量是不是离散型随机变量：
(1)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，用X表示所得点数；
(2)白炽灯的使用时间．
提示：(1)是．　(2)不是．
思考2　一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这样的现象很多，身高、电子产品的使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，这类变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？
提示：这类变量为连续型随机变量，可用正态分布概率模型来刻画．
一　正态曲线及其特征
1．正态曲线
若f(x)＝____________________，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
2．正态分布
(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝________，σ＝________时，称随机变量X服从标准正态分布．
(2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝______．
3．正态曲线的特点
(1)非负性：对 x∈R，f(x)＞0，它的图象在x轴的________；
(2)定值性：x轴与曲线之间的区域的面积为________；
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称；
(4)最大值：曲线在________处达到峰值；
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近________；
(6)当______一定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着______的变化而沿x轴平移，如图1.
(7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2.
INCLUDEPICTURE "25PM10.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM10.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案自填] e　0　1　μ　σ2
上方　1　x＝μ　x＝μ　x轴　σ　μ
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "25PM11.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM11.TIF" \* MERGEFORMAT
A．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．两类水果的质量服从的正态分布的参数σ1<σ2
D．甲类水果的平均质量μ1＝0.6 kg
(2)现已知随机变量Y服从正态分布N(2，4). 若随机变量Z＝aY－b(a，b为正实数)服从标准正态分布，则a＋b＝________．
【解析】　(1)由题图可知甲类水果的平均质量为μ1＝0.6 kg，D正确；乙类水果的平均质量为μ2＝0.8 kg，故甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小，A错误；由于甲曲线比乙曲线更“瘦高”，可知σ1<σ2，故甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，B错误，C正确．故选CD．
(2)随机变量Y服从正态分布N(2，4)，所以E(Y)＝2，D(Y)＝4，因为随机变量Z＝aY－b(a，b为正实数)服从标准正态分布，所以E(Z)＝0，D(Z)＝1，
所以E(Z)＝aE(Y)－b＝2a－b＝0，D(Z)＝a2D(Y)＝4a2＝1.
联立解得或(舍去)，
则a＋b＝＋1＝.
【答案】　(1)CD　(2)
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
正态曲线中μ，σ的认识
利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式.
[跟踪训练1] (1)(多选)关于标准正态分布N(0，1)的正态密度函数 f(x)＝eeq \s\up9(－)，下列选项正确的是(　　)
A．f(x)为偶函数
B．f(x)的最大值是
C．f(x)在(0，＋∞)上是单调递减
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
解析：选ABC.由正态密度函数f(x)＝eeq \s\up9(－)，可得f(x)的图象关于直线x＝0对称，所以f(x)为偶函数，所以A正确，D不正确；根据正态曲线的性质得，当x＝0时，函数f(x)取得最大值f(0)＝·e0＝，所以B正确；根据正态曲线的性质，可得f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以C正确．
(2)设有一正态总体，它的正态密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝eeq \s\up9(－) (x∈R)，则这个正态总体的均值是________；标准差是________．
解析：因为f(x)＝eeq \s\up9(－)＝eeq \s\up9(－)，所以σ＝2，μ＝10，即这个正态总体的均值与标准差分别为10与2.
答案：10　2
二　利用正态分布的对称性求概率
1．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积．
INCLUDEPICTURE "25PM12.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM12.TIF" \* MERGEFORMAT
2．服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________．
[答案自填] 0.682 7　0.954 5　0.997 3
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　设随机变量X～N(2，σ2)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)若σ＝3，求P(－4≤X≤8).
附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解】　(1)由题意，随机变量X～N(2，σ2)，且P(X>c＋1)＝P(X由正态分布的对称性可知，＝c＝2，故c的值为2.
(2)若σ＝3，则X～N(2，9)，
P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)
＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
【变式探究】
1．(条件变式)若本例条件σ＝3变为σ＝2，其他条件不变，求P(－4≤X≤8).
解：P(－4≤X≤8)＝P(2－3×2≤X≤2＋3×2)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
2．(综合变式)若本例条件σ＝3变为P(X<3)＝0.6，其他条件不变，求P(1解：由题意可得μ＝2，且P(X<3)＝0.6，则P(X≥3)＝P(X≤1)＝1－0.6＝0.4，所以P(1INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
利用正态分布求概率的两种方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别约是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．
[跟踪训练2] (1)已知随机变量X～N(4，22)，则P(8A．0.021 4 B．0.135 8
C．0.818 5 D．0.975 9
解析：选A.由题意，知μ＝4，σ＝2，所以该正态曲线关于直线x＝4对称．
所以P(0≤X≤8)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，　
P(－2≤X≤10)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，　
所以P(8(2)(多选)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　)
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
解析：选BC.由题知两正态分布均有σ＝0.1及正态分布的对称性得：P(X>2)2)1.8)＝0.5，B正确；P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，C正确；P(Y>2)＝P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8，D错误．故选BC.
三　正态分布的应用
角度1　应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题
INCLUDEPICTURE "25PM13.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM13.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(多选)(对接教材例题)小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，15(单位：min)，10次骑自行车所花时间的均值为15 min，方差为1.已知坐公交车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X，Y的分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线如图所示．若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是(　　)
A．坐公交车所花时间的均值为10，标准差为3
B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%的可能性会迟到
C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车
D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车
(2)某冰上项目组织计划招收一批9～14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10 000名青少年报名参加测试，其测试成绩X(满分100分)服从正态分布N(60，σ2)，成绩为90分以上者可以进入集训队，已知80分以上的人数为228，通过以上信息，推断进入集训队的人数为________．　
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解析】　(1)对于A，坐公交车所花时间的均值为×(7＋11＋8＋12＋8＋13＋6＋13＋7＋15)＝10，
方差为×[(7－10)2＋(11－10)2＋(8－10)2＋(12－10)2＋(8－10)2＋(13－10)2＋(6－10)2＋(13－10)2＋(7－10)2＋(15－10)2]＝9，标准差为3，故A正确；由题意知，X～N(10，32)，Y～N(15，12)，对于B，若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，有50%的可能性用时会超过10 min，即8点之后到校，会迟到，故B错误；对于C，D，由题图可知，P(X≤18)P(Y≤13)，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具，所以小明早上7：42出发，有18 min可用，则应选择骑自行车，故C正确；小明早上7：47出发，有13 min可用，则应选择坐公交车，故D正确．故选ACD．
(2)由题意得X～N(60，σ2)，可知μ＝60，80分以上的人数为228，则P(X>80)＝＝0.022 8，由正态曲线的对称性可得P(40≤X≤80)＝1－2P(X>80)＝0.954 4≈P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，得σ＝10，所以P(30≤X≤90)≈0.997 3，则P(X>90)≈＝0.001 35，则进入集训队的人数为10 000×0.001 35≈14.
【答案】　(1)ACD　(2)14
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题
解答此类问题的关键在于利用正态曲线的对称性把待求区间的概率向已知区间的概率进行等价转化，此过程体现了数形结合及转化与化归的数学思想．
角度2　3σ原则的实际应用
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下(单位：mm)：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209.设这10个数据的均值为μ，标准差为σ.
(1)求μ和σ；
(2)已知这批零件的内径X(单位：mm)服从正态分布N(μ，σ2)，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：mm)分别为：186，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解】　(1)μ＝×(192＋192＋193＋197＋200＋202＋203＋204＋208＋209)＝200，
σ2＝×(82＋82＋72＋32＋02＋22＋32＋42＋82＋92)＝36，
故σ＝＝6.
(2)由题意得X～N(200，36)，
P(200－18≤X≤200＋18)≈0.997 3，
即P(182≤X≤218)≈0.997 3，而五个零件的内径186，190，198，204，213均在[μ－3σ，μ＋3σ]＝[182，218]内，根据3σ原则，可以认为设备正常，这台设备不需要进一步调试．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
应用正态分布的3σ原则解决实际问题
(1)随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)；
(2)确定一次试验中的取值a是否落入区间[μ－3σ，μ＋3σ]内；
(3)作出判断，若a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则正常，若a [μ－3σ，μ＋3σ]，通常认为这种情况几乎不可能发生，即不正常．
[跟踪训练3] (1)(多选)某工厂为了提高工人的理论基础和实际操作技能，举办了青年工人“双能”大奖赛，满分为100分，60分及格，竞赛成绩X服从正态分布N(65，25)，则(　　)
A．竞赛成绩的平均值为65分
B．竞赛成绩的标准差为25
C．竞赛成绩的合格率约为0.84
D．不合格人数与80分以上人数大致相等
解析：选AC.μ代表均值，故竞赛成绩的平均值为65分，A正确；
标准差为＝5，B错误；
因为σ＝5，所以合格率P(X≥60)≈0.5＋≈0.84，C正确；
因为不合格的概率约为1－0.84＝0.16，而P(X＞80)≈≈0.001 4，D错误．
(2)某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)ξ～N(10，0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，若测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，则该厂这一天的生产状况________正常的．(填“是”或“不是”)
解析：因为ξ～N(10，0.22)，且正态变量几乎都取值于区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，
所以可通过判定抽得的产品是否落在这一区间来分析生产状况是否正常．
又μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6，μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，
且9.52，9.98均在[9.4，10.6]内，所以该厂这一天的生产状况是正常的．
答案：是
(3)在某次大型人才招聘活动中，共有2 000人参加笔试，笔试成绩位于区间[70，80)，[80，90)，[90，100]的人数分别为683，272，45，已知此次笔试满分为100分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标准差约为________．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
解析：由题意知，设笔试成绩X～N(μ，σ2)，由70分及以上的人数为683＋272＋45＝1 000，
得P(X≥70)＝＝＝P(X≥μ)，
故μ的值可估计为70，由参考数据知P(X>μ＋2σ)＝≈0.022 75，
而P(X≥90)＝＝0.022 5≈0.022 75，
故μ＋2σ的值可估计为90，
故σ≈＝10.
答案：10
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．(教材P87练习T2改编)若随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≥4)＝0.45，则P(X>0)＝(　　)
A．0.45 B．0.55
C．0.1 D．0.9
解析：选B．因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.45，所以P(X>0)＝1－P(X≤0)＝1－0.45＝0.55.故选B．
2．(多选)已知三个正态密度函数fi(x)＝·e－ eq \f(（x－μi）2,2σ) (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "25PM14.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM14.TIF" \* MERGEFORMAT
A．σ1＝σ2＝σ3 B．σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2>μ3 D．μ1<μ2＝μ3
解析：选BD．正态密度曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越远离y轴，σ越小图象越“瘦高”．因此，μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3.故选BD．
3．某地区有10 000名考生参加了高三模拟调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(92，42)，则数学成绩位于(96，100]的人数约为________．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
解析：由题意得P(96≈0.135 9，
则数学成绩位于(96，100]的人数约为0.135 9×10 000＝1 359.
答案：1 359
4．(教材P87T4改编)某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量(单位：g)服从正态分布N(500，52).
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率约为多少？
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．(概率小于0.000 1认为这种情况几乎不可能发生)
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为X(单位：g)，
由题意可知X～N(500，52).
由于485＝500－3×5，所以根据正态分布的对称性与3σ原则可知
P(X<485)＝[1－P(500－3×5≤X≤500＋3×5)]≈×(1－0.997 3)＝×0.002 7＝0.001 35.
所以正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率约为0.001 35.
(2)检测员的判断是合理的．
理由：如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，
质量都小于485 g的概率约为0.001 35×0.001 35＝1.822 5×10－6，
概率小于0.000 1，这几乎不可能发生，
所以有理由认为该生产线出现异常，检测员的判断是合理的．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)正态曲线及其特点；(2)利用正态分布的对称性求概率；(3)正态分布的应用及3σ原则．
2．须贯通：(1)利用“3σ”法求正态变量在某个区间内的取值概率；(2)利用3σ原则进行决策．
3．应注意：正态曲线中参数μ和σ含义混淆，不理解3σ原则在统计中的作用．