培优3　例析二项分布与超几何分布（教师版）

INCLUDEPICTURE "培优3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "培优3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　例析二项分布与超几何分布
1．建立模型
袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球，N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则：
摸球方式 X的分布 E(X) D(X)
放回摸球 二项分布B(n，p) np np(1－p)
不放回摸球 参数为N，n，M的超几何分布 np np(1－p)
2.区别与联系
区别 (1)二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要；(2)二项分布是“有放回”抽取(独立重复)，超几何分布是“不放回”抽取
联系 在n次不放回试验中，如果总体容量N很大，而试验次数n远远小于N，那么此时超几何分布可以近似为二项分布
INCLUDEPICTURE "典例LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　甲、乙两人去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其均值；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
【解】　(1)设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量，依题意可得X服从超几何分布，
所以P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
Y～B(3，)，
所以P(Y＝0)＝C()0()3＝，
P(Y＝1)＝C××()2＝，
P(Y＝2)＝C()2×＝，
P(Y＝3)＝C()3×()0＝，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(2)由(1)得E(X)＝E(Y)，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，
D(Y)＝np(1－p)＝3××＝，
因为D(X)【尝试训练】
1．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　)
A．P(X＝1)＝
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．E(X)＝
解析：选C.由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；X的可能取值为0，1，2，3，4，
则P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝4)＝ eq \f(CC,C) ＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故A，D错误．故选C.
2．一个盒子里有大小、形状均相同的1个红球、1个绿球、4个黄球，每次拿一个，共拿3次，记拿到黄色球的个数为X.若取球过程是无放回的，则事件“X＝2”的概率为________；若取球过程是有放回的，则E(X)＝________．
解析：无放回取球时，6个球任取3个，有C种不同的取法，其中黄球个数为2的取法有CC种，
故P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝.
有放回取球时，每次取到黄球的概率都是＝，取到黄球的个数X～B(3，)，取到黄球的个数的均值为E(X)＝np＝3×＝2.
答案：　2
3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.
INCLUDEPICTURE "25TS3.TIF" INCLUDEPICTURE "25TS3.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差．
解：(1)设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，则P(M)＝××＋××＝，
所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝.
所以小球落入A袋中的概率为，落入B袋中的概率为.
(2)易知ξ～B，
则ξ的分布列为
P(ξ＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4)，
故P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝4)＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)＝4×＝，
D(ξ)＝4××＝.
4．某企业举行“猜灯谜”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围．
解：(1)设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的可能取值分别为2，3，4.
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
P(X＝4)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
故小张猜中谜语道数的分布列为
X 2 3 4
P
设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y～B(4，p)，Y的可能取值分别为0，1，2，3，4，
P(Y＝0)＝(1－p)4，
P(Y＝1)＝Cp(1－p)3＝4p(1－p)3，
P(Y＝2)＝Cp2(1－p)2＝6p2(1－p)2，
P(Y＝3)＝Cp3(1－p)＝4p3(1－p)，
P(Y＝4)＝p4.
故小王猜中谜语道数的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P (1－p)4 4p·(1－p)3 6p2·(1－p)2 4p3·(1－p) p4
(2)由(1)可知E(X)＝2×＋3×＋4×＝3，E(Y)＝4p，若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3>4p，可得0