8．2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计（教师版）
文档属性
| 名称 | 8．2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 345.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
8．2 一元线性回归模型及其应用
第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
学习目标
1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义． 2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 3.了解回归分析的基本思想方法和初步应用，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系，是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等．
思考 是否能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型来刻画两个变量之间的相关关系，并通过模型进行预测？
提示：能，当两个变量之间有较强的线性相关关系时，可以用一元线性回归模型刻画两个变量之间的关系．
一 一元线性回归模型
一元线性回归模型的完整表达式为其中，Y称为__________或__________，x称为自变量或__________；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的____________．
[答案自填] 因变量 响应变量 解释变量
随机误差
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)随机误差是一个随机变量，产生的原因是多方面的．( )
(2)在一元线性回归模型中，e是bx＋a与真实值y的随机误差，它是一个可观测的量．( )
答案：(1)√ (2)×
2．若某制造企业年收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该制造企业收入为10亿元，年支出预计不会超过( )
A．9亿元 B．9.5亿元
C．10亿元 D．10.5亿元
解析：选D.由题意得，Y＝0.7x＋3＋e.
当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．故选D.
二 经验回归方程与最小二乘法
1．经验回归方程的系数计算公式
经验回归方程 的计算公式 的计算公式
＝__________ ＝＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ＝－
2.最小二乘法
＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计．
3．经验回归方程的性质
(1)经验回归方程一定过点(____________)；
(2)一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是____________；
(3)(>0)的实际意义：当x增大一个单位时，________个单位．
[答案自填] x＋ ， >0 增大
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生 A B C D E
数学成绩x/分 88 76 73 66 63
物理成绩y/分 78 65 71 64 61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程．
参考公式：＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ＝，＝－.
【解】 (1)散点图如图所示．
INCLUDEPICTURE "25RJS8-10.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-10.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)因为＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054，
＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174，
所以＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)－5\o(x,\s\up6(－))2) ≈0.625，
＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.
因此y关于x的经验回归方程为＝0.625x＋22.05.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求经验回归方程的基本步骤
(1)画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；
(2)计算，，，iyi等的值；
(3)代入公式，求出＝x＋中参数，的值；
(4)写出经验回归方程并对实际问题作出估计．
[注意] 只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有实际意义．
[跟踪训练1] (1)对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据(1，0.3)，(2，4.7)，(3，m)，(4，8)，通过这组数据求得经验回归方程为＝2.4x－2，则m的值为( )
A．3 B．5 C．5.2 D．6
解析：选A.易知＝＝，＝，代入＝2.4x－2得＝2.4×－2，解得m＝3.故选A.
(2)为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y关于x的经验回归方程是_____________________．(精确到0.01)
解析：由题意知，i＝52和i＝228，
可得＝，＝，
可得＝ eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,8,x)－8\o(x,\s\up6(－))2) ≈2.62，
则＝－≈－2.62×＝11.47，
所以经验回归方程为＝2.62x＋11.47.
答案：＝2.62x＋11.47
三 利用经验回归方程对总体进行估计
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的2024年1－5月份内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据：
月份 1 2 3 4 5
违法驾驶员人数 120 105 100 90 85
参考公式：＝，＝－.
(1)请利用所给数据求违法驾驶员人数y与月份x之间的经验回归方程＝x＋；
(2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违法驾驶员人数．
【解】 (1)由题表中的数据可得＝＝3，
＝＝100，
所以(xi－)(yi－)＝－2×20－5＋0＋1×(－10)＋2×(－15)＝－85，
(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋0＋12＋22＝10，
所以＝＝－＝－8.5，＝－＝100＋8.5×3＝125.5，
所以违法驾驶员人数y与月份x之间的经验回归方程为＝－8.5x＋125.5.
(2)当x＝9时，＝－8.5×9＋125.5＝49，因此，预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违法驾驶员人数为49.
【变式探究】
(综合变式)假如该市在6月份针对不“礼让斑马线”进行为期一个月的整治活动后，在11月份抓拍不“礼让斑马线”违法驾驶员20人，问这次整治活动有无效果？
解：如果不进行整治活动，根据例2(1)所得经验回归方程＝－8.5x＋125.5，当x＝11时，＝－8.5×11＋125.5＝32，即11月份大约不“礼让斑马线”违法驾驶员32人，而实际只有20人，说明这次整治活动有效果．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用样本相关系数，也可以画散点图．
(2)求经验回归方程，注意运算的正确性．
(3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差．
[跟踪训练2] (1)(多选)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(单位：次/分钟)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程＝0.25x＋k，则下列说法正确的是( )
x 20 30 40 50 60
y 25 27.5 29 32.5 36
A.k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预测值为33.5 ℃
解析：选ABC.由题表中的数据，可得＝×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，＝×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30.
由经验回归方程为＝0.25x＋k，可得k＝－0.25＝30－0.25×40＝20，所以A正确；由经验回归方程可知＝0.25＞0，可得变量x，y呈正相关关系，所以B正确；由＝0.25，可得x的值增加1，则y的值约增加0.25，所以C正确；当x＝52时，可得＝0.25×52＋20＝33，所以D不正确．故选ABC.
(2)中医是中华民族五千年传统文化的瑰宝，是千百年医疗实践的结晶，也是世界优秀文化的精华．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x(单位：亿元)与产品收益 y(单位：亿元)的数据统计如下表：
研发投入x/亿元 1 2 3 4 5
产品收益y/亿元 3 7 9 10 11
用最小二乘法求得 y关于x的经验回归方程是＝x＋2.9，当研发投入为20亿元时，相应的产品收益估计值为________．
解析：由题表中的数据可得
＝＝3，＝＝8，
将样本中心点(，)代入经验回归方程可得3＋2.9＝8，解得＝1.7，所以经验回归方程为＝1.7x＋2.9，当x＝20时，＝1.7×20＋2.9＝36.9(亿元)，因此，当研发投入为20亿元时，相应的产品收益估计值为36.9.
答案：36.9
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
1．用最小二乘法得到一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)的经验回归方程为＝2x＋3，若i＝30，则i＝( )
A．11 B．13 C．63 D．78
解析：选D.依题意，因为i＝30，所以＝＝5，因为经验回归直线＝2x＋3一定过点(，)，所以＝2＋3＝2×5＋3＝13，所以i＝6×13＝78.故选D.
2．(多选)已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：
x/万元 0 1 2 3 4
y/万元 10 15 m 30 35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为＝6.5x＋9，则下列说法中正确的是( )
A．产品的销售额与广告费用成正相关
B．该经验回归直线过点(2，22)
C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
D．m的值是20
解析：选ABD.对于A，经验回归方程＝6.5x＋9中＝6.5＞0，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；对于D，＝＝2，＝＝ ，
代入＝6.5x＋9，得＝6.5×2＋9，解得m＝20，故D正确；对于B，由＝＝22，得该经验回归直线过点(2，22)，故B正确；对于C，取x＝10，得＝6.5×10＋9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．故选ABD.
3．(教材P113 T2改编)已知女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为＝0.81x＋25.82，当父亲身高每增加1 cm，则女儿身高平均增加________．
解析：由经验回归方程知，当父亲身高每增加1 cm，则女儿身高平均增加0.81 cm.
答案：0.81 cm
4．(教材P120习题8.2T2改编)某车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了五次试验，得到数据如下：
零件的个数x/个 1 2 3 4 5
加工的时间y/h 1.5 2.4 3.2 3.9 4.5
(1)求出 y 关于 x 的经验回归方程；
(2)试预测加工 9 个零件需要多少时间？
参考公式：＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ，＝－.
解：(1)由题表中数据得，
＝＝3，
＝＝3.1，
iyi＝54，＝55，
根据公式知，＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)－5\o(x,\s\up6(－))2) ＝＝0.75，
＝－＝3.1－0.75×3＝0.85，
所以经验回归方程为＝0.75x＋0.85.
(2)将x＝9代入经验回归方程得，＝0.75×9＋0.85＝7.6，
所以预测加工9个零件需要7.6 h．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)一元线性回归模型的概念；(2)由最小二乘法求经验回归方程；(3)利用经验回归方程进行预测．
2．须贯通：求经验回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程．
3．应注意：(1)不判断变量间是否具有线性相关关系；(2)盲目求解经验回归方程致误．
第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
学习目标
1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义． 2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 3.了解回归分析的基本思想方法和初步应用，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系，是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等．
思考 是否能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型来刻画两个变量之间的相关关系，并通过模型进行预测？
提示：能，当两个变量之间有较强的线性相关关系时，可以用一元线性回归模型刻画两个变量之间的关系．
一 一元线性回归模型
一元线性回归模型的完整表达式为其中，Y称为__________或__________，x称为自变量或__________；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的____________．
[答案自填] 因变量 响应变量 解释变量
随机误差
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)随机误差是一个随机变量，产生的原因是多方面的．( )
(2)在一元线性回归模型中，e是bx＋a与真实值y的随机误差，它是一个可观测的量．( )
答案：(1)√ (2)×
2．若某制造企业年收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该制造企业收入为10亿元，年支出预计不会超过( )
A．9亿元 B．9.5亿元
C．10亿元 D．10.5亿元
解析：选D.由题意得，Y＝0.7x＋3＋e.
当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．故选D.
二 经验回归方程与最小二乘法
1．经验回归方程的系数计算公式
经验回归方程 的计算公式 的计算公式
＝__________ ＝＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ＝－
2.最小二乘法
＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计．
3．经验回归方程的性质
(1)经验回归方程一定过点(____________)；
(2)一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是____________；
(3)(>0)的实际意义：当x增大一个单位时，________个单位．
[答案自填] x＋ ， >0 增大
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生 A B C D E
数学成绩x/分 88 76 73 66 63
物理成绩y/分 78 65 71 64 61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程．
参考公式：＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ＝，＝－.
【解】 (1)散点图如图所示．
INCLUDEPICTURE "25RJS8-10.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-10.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)因为＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054，
＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174，
所以＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)－5\o(x,\s\up6(－))2) ≈0.625，
＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.
因此y关于x的经验回归方程为＝0.625x＋22.05.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求经验回归方程的基本步骤
(1)画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；
(2)计算，，，iyi等的值；
(3)代入公式，求出＝x＋中参数，的值；
(4)写出经验回归方程并对实际问题作出估计．
[注意] 只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有实际意义．
[跟踪训练1] (1)对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据(1，0.3)，(2，4.7)，(3，m)，(4，8)，通过这组数据求得经验回归方程为＝2.4x－2，则m的值为( )
A．3 B．5 C．5.2 D．6
解析：选A.易知＝＝，＝，代入＝2.4x－2得＝2.4×－2，解得m＝3.故选A.
(2)为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y关于x的经验回归方程是_____________________．(精确到0.01)
解析：由题意知，i＝52和i＝228，
可得＝，＝，
可得＝ eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,8,x)－8\o(x,\s\up6(－))2) ≈2.62，
则＝－≈－2.62×＝11.47，
所以经验回归方程为＝2.62x＋11.47.
答案：＝2.62x＋11.47
三 利用经验回归方程对总体进行估计
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的2024年1－5月份内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据：
月份 1 2 3 4 5
违法驾驶员人数 120 105 100 90 85
参考公式：＝，＝－.
(1)请利用所给数据求违法驾驶员人数y与月份x之间的经验回归方程＝x＋；
(2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违法驾驶员人数．
【解】 (1)由题表中的数据可得＝＝3，
＝＝100，
所以(xi－)(yi－)＝－2×20－5＋0＋1×(－10)＋2×(－15)＝－85，
(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋0＋12＋22＝10，
所以＝＝－＝－8.5，＝－＝100＋8.5×3＝125.5，
所以违法驾驶员人数y与月份x之间的经验回归方程为＝－8.5x＋125.5.
(2)当x＝9时，＝－8.5×9＋125.5＝49，因此，预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违法驾驶员人数为49.
【变式探究】
(综合变式)假如该市在6月份针对不“礼让斑马线”进行为期一个月的整治活动后，在11月份抓拍不“礼让斑马线”违法驾驶员20人，问这次整治活动有无效果？
解：如果不进行整治活动，根据例2(1)所得经验回归方程＝－8.5x＋125.5，当x＝11时，＝－8.5×11＋125.5＝32，即11月份大约不“礼让斑马线”违法驾驶员32人，而实际只有20人，说明这次整治活动有效果．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用样本相关系数，也可以画散点图．
(2)求经验回归方程，注意运算的正确性．
(3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差．
[跟踪训练2] (1)(多选)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(单位：次/分钟)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程＝0.25x＋k，则下列说法正确的是( )
x 20 30 40 50 60
y 25 27.5 29 32.5 36
A.k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预测值为33.5 ℃
解析：选ABC.由题表中的数据，可得＝×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，＝×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30.
由经验回归方程为＝0.25x＋k，可得k＝－0.25＝30－0.25×40＝20，所以A正确；由经验回归方程可知＝0.25＞0，可得变量x，y呈正相关关系，所以B正确；由＝0.25，可得x的值增加1，则y的值约增加0.25，所以C正确；当x＝52时，可得＝0.25×52＋20＝33，所以D不正确．故选ABC.
(2)中医是中华民族五千年传统文化的瑰宝，是千百年医疗实践的结晶，也是世界优秀文化的精华．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x(单位：亿元)与产品收益 y(单位：亿元)的数据统计如下表：
研发投入x/亿元 1 2 3 4 5
产品收益y/亿元 3 7 9 10 11
用最小二乘法求得 y关于x的经验回归方程是＝x＋2.9，当研发投入为20亿元时，相应的产品收益估计值为________．
解析：由题表中的数据可得
＝＝3，＝＝8，
将样本中心点(，)代入经验回归方程可得3＋2.9＝8，解得＝1.7，所以经验回归方程为＝1.7x＋2.9，当x＝20时，＝1.7×20＋2.9＝36.9(亿元)，因此，当研发投入为20亿元时，相应的产品收益估计值为36.9.
答案：36.9
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( ))
1．用最小二乘法得到一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)的经验回归方程为＝2x＋3，若i＝30，则i＝( )
A．11 B．13 C．63 D．78
解析：选D.依题意，因为i＝30，所以＝＝5，因为经验回归直线＝2x＋3一定过点(，)，所以＝2＋3＝2×5＋3＝13，所以i＝6×13＝78.故选D.
2．(多选)已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：
x/万元 0 1 2 3 4
y/万元 10 15 m 30 35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为＝6.5x＋9，则下列说法中正确的是( )
A．产品的销售额与广告费用成正相关
B．该经验回归直线过点(2，22)
C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
D．m的值是20
解析：选ABD.对于A，经验回归方程＝6.5x＋9中＝6.5＞0，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；对于D，＝＝2，＝＝ ，
代入＝6.5x＋9，得＝6.5×2＋9，解得m＝20，故D正确；对于B，由＝＝22，得该经验回归直线过点(2，22)，故B正确；对于C，取x＝10，得＝6.5×10＋9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．故选ABD.
3．(教材P113 T2改编)已知女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为＝0.81x＋25.82，当父亲身高每增加1 cm，则女儿身高平均增加________．
解析：由经验回归方程知，当父亲身高每增加1 cm，则女儿身高平均增加0.81 cm.
答案：0.81 cm
4．(教材P120习题8.2T2改编)某车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了五次试验，得到数据如下：
零件的个数x/个 1 2 3 4 5
加工的时间y/h 1.5 2.4 3.2 3.9 4.5
(1)求出 y 关于 x 的经验回归方程；
(2)试预测加工 9 个零件需要多少时间？
参考公式：＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ，＝－.
解：(1)由题表中数据得，
＝＝3，
＝＝3.1，
iyi＝54，＝55，
根据公式知，＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)－5\o(x,\s\up6(－))2) ＝＝0.75，
＝－＝3.1－0.75×3＝0.85，
所以经验回归方程为＝0.75x＋0.85.
(2)将x＝9代入经验回归方程得，＝0.75×9＋0.85＝7.6，
所以预测加工9个零件需要7.6 h．
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1．已学习：(1)一元线性回归模型的概念；(2)由最小二乘法求经验回归方程；(3)利用经验回归方程进行预测．
2．须贯通：求经验回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程．
3．应注意：(1)不判断变量间是否具有线性相关关系；(2)盲目求解经验回归方程致误．