8．2　第2课时　回归分析及非线性回归模型（教师版）

第2课时　回归分析及非线性回归模型
学习目标
1.结合实例，了解随机误差、残差、残差图的概念．　2.对回归模型会进行残差分析．　3.了解非线性回归模型的基本思想方法，能转化为一元线性回归模型解决实际问题．　4.能利用R2判断回归模型的拟合效果．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1　对于教材P105表8.2－1中的数据，由最小二乘法得儿子身高y关于父亲身高x的经验回归方程为＝0.839x＋28.957，那么当x＝172时，＝0.839×172＋28.957＝173.265(cm)，如果一位父亲的身高为172 cm，他儿子长大成人后的身高一定是173 cm吗？为什么？
提示：不一定，因为还有其他影响他儿子身高的因素，父亲的身高不能完全决定儿子的身高．
思考2　对于教材P105表8.2－1中的第6个数据，我们发现当父亲身高为172 cm时，儿子的身高实际为176 cm，实际身高与预测的身高相差了多少？
提示：176－173.265＝2.735(cm).
思考3　只要给出一组成对样本数据，利用最小二乘法就可求出经验回归方程吗？
提示：不一定，成对样本数据除了线性相关，还有非线性相关．
一　残差及残差分析
1．残差的概念
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为____________，通过经验回归方程得到的称为____________，观测值减去预测值所得的差称为________．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为____________．
2．残差分析
作图时__________为残差，____________可以选为样本编号，或身高数据等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．
[答案自填] 观测值　预测值　残差
残差分析　纵坐标　横坐标
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是(　　)
INCLUDEPICTURE "25RJS8-13.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-13.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)已知变量x和y的统计数据如下表：
x －2 －1 0 1 2
y 5 ？ 2 2 1
由表中的数据得到经验回归方程＝－x＋2.6，那么当x＝－1时残差为________．(注：残差＝观测值－预测值)
【解析】　(1)用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D选项的拟合精度最高．故选D.
(2)由题表知，＝＝0，则＝－＋2.6＝2.6，因此x＝－1时的观测值为5－(5＋2＋2＋1)＝3，而x＝－1时的预测值为－(－1)＋2.6＝3.6，所以当x＝－1时残差为3－3.6＝－0.6.
【答案】　(1)D　(2)－0.6
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预测精度越高．
(2)残差是随机误差的估计值，i＝yi－i.
[跟踪训练1] (1)已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第(　　)
INCLUDEPICTURE "A38.TIF" INCLUDEPICTURE "A38.TIF" \* MERGEFORMAT
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
解析：选C.原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大．
(2)某工厂为研究某种产品的产量x(单位：吨)与所需某种原材料的质量y(单位：吨)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x，y)，如表所示．(残差＝观测值－预测值)
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 m
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.7x＋.据此计算出在样本(4，3)处的残差为－0.15，则表中m的值为________．
解析：由题意可得x＝4时的预测值为3－(－0.15)＝3.15，
则有3.15＝0.7×4＋，所以＝0.35，即＝0.7x＋0.35，
又＝＝4.5，
＝＝，
故＝0.7×4.5＋0.35，
所以m＝4.5.
答案：4.5
二　非线性经验回归方程
1．非线性回归分析的思想
研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系．
2．非线性经验回归方程
当回归方程不是形如＝x＋(，∈R)时，称之为非线性经验回归方程．当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程．
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材P115问题)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位：℃)关于时间x(单位：min)的回归模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据及相应散点图，并对数据做初步处理，如下表：
INCLUDEPICTURE "25RJS8-14A.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-14A.TIF" \* MERGEFORMAT
(xi－)(yi－) (xi－)(wi－)
73.5 3.85 －95 －2.24
表中：wi＝ln (yi－25)，＝i，
假如该茶水温度y关于时间x的回归方程为y＝d·cx＋25，请求出此回归方程．
附：(1)对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－；
(2)参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60.
【解】　由y＝d·cx＋25，得y－25＝d·cx，两边取自然对数，得ln (y－25)＝ln d＋x ln c，令w＝ln (y－25)，则w＝ln d＋x ln c，
＝i＝＝3，(xi－)2＝(－3)2＋(－2)2＋(－1)2＋12＋22＋32＝28，结合题表数据，
得ln c＝＝＝－0.08，
结合参考数据可得c＝e－0.08≈0.92，由ln d＝－ln c＝3.85－3×(－0.08)＝4.09，得d＝e4.09≈60，
所以茶水温度y关于时间x的回归方程为＝60×0.92x＋25.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
解决非线性回归问题的方法及步骤
INCLUDEPICTURE "A43.TIF" INCLUDEPICTURE "A43.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练2] (1)如图是一组实验数据的散点图，拟合方程y＝＋c(x＞0)，令t＝，则y关于t的经验回归直线过点(2，5)，(12，25)，则当y∈(1.01，1.02)时，x的取值范围是(　　)
A．(0.01，0.02)　　　　　 B．(50，100)
C．(0.02，0.04) D．(100，200)
INCLUDEPICTURE "25RJS8-14.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-14.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选D.根据题意可得y＝bt＋c(t＞0)，由y关于t的经验回归直线过点(2，5)，(12，25)可得解得
所以y＝2t＋1，由y∈(1.01，1.02)可得1.01＜2t＋1＜1.02，
所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200.故选D.
(2)已知变量y关于x的回归方程为＝ebx－0.5，若对＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln 与x线性相关，现有一组数据如下表所示，当x＝5时，预测的值为________．
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
解析：对＝ebx－0.5两边取对数，
得ln ＝bx－0.5令z＝ln ＝bx－0.5，则
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
z 1 3 4 6
＝＝2.5，＝＝3.5，代入＝　－0.5得3.5＝·2.5－0.5，
故＝1.6，故z＝1.6x－0.5，＝e1.6x－0.5.　
当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e7.5.
答案：e7.5
三　残差平方和与决定系数R2
1．残差平方和法
残差平方和(yi－i)2________，模型的拟合效果越好，残差平方和________，模型的拟合效果越差．
2．利用决定系数R2刻画回归效果
R2＝1－，R2越______，模型的拟合效果越好；R2越______，模型的拟合效果越差．
[答案自填] 越小　越大　大　小
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知某种汽车新购入价格为14万元，但随着使用年限增加汽车会贬值．通过调查发现使用年限 x(单位：年)与出售价y(单位：万元)之间的关系有如下一组数据：
x 1 2 4 8 10
y 12 10 7 6 5
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)已知R2＝1－，当R2≥0.9时，经验回归方程的拟合效果非常好；当0.8＜R2＜0.9时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．(结果保留三位小数)
(附：用最小二乘法求经验回归方程＝x＋的系数公式＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ＝；＝－)
【解】　(1)由题意，得＝×(1＋2＋4＋8＋10)＝5，＝×(12＋10＋7＋6＋5)＝8，
iyi－5＝1×12＋2×10＋4×7＋8×6＋10×5－200＝－42，
(xi－)2＝(1－5)2＋(2－5)2＋(4－5)2＋(8－5)2＋(10－5)2＝60，
＝＝＝－0.7，
则＝－＝8＋0.7×5＝11.5，
所以y关于x的经验回归方程是＝－0.7x＋11.5.
(2)列出残差表：
xi 1 2 4 8 10
yi 12 10 7 6 5
i 10.8 10.1 8.7 5.9 4.5
yi－i 1.2 －0.1 －1.7 0.1 0.5
yi－ 4 2 －1 －2 －3
所以(yi－i)2＝1.22＋(－0.1)2＋(－1.7)2＋0.12＋0.52＝4.6，(yi－)2＝42＋22＋(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝34，
所以R2＝1－＝1－≈0.865，则0.8＜R2＜0.9，所以该经验回归方程的拟合效果良好．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)回归模型拟合效果的好坏可以通过计算决定系数R2来判断，其值越大，说明拟合效果越好．
(2)在含有一个解释变量的线性回归模型中，决定系数R2恰好等于样本相关系数r的平方．在线性回归模型中有0≤R2≤1，因此R2和两个变量的样本相关系数r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
[跟踪训练3] (1)通过对两个具有线性相关关系的变量x和y，利用两组不同的统计数据建立了模型：①＝7.5x＋2；②＝6.8x＋2.5.对这两个模型进行了残差分析发现：第①个线性回归模型比第②个线性回归模型拟合效果好．若用R，R，Q1，Q2分别表示模型①与模型②的决定系数与残差平方和，则下列结论正确的是(　　)
A．R＞R，Q1＜Q2
B．R＞R，Q1＞Q2
C．R＜R，Q1＜Q2
D．R解析：选A.用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，因为第①个线性回归模型比第②个线性回归模型拟合效果好，所以R＞R，Q1＜Q2.故选A.
(2)甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如下表：
甲 乙 丙 丁
散点图 INCLUDEPICTURE "25RJS8-15.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-15.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "25RJS8-16.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-16.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "25RJS8-17.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-17.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "25RJS8-18.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-18.TIF" \* MERGEFORMAT
残差平方和 115 106 124 103
则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度最高的同学是________．
解析：对于已经获取的样本数据，R2表达式中(yi－i)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大，由此知丁同学的回归模型的拟合精度最高．
答案：丁
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．为研究某航空公司最近一段时间的正点率，用模型①和模型②模拟正点率y(单位：%)与时间x(x的取值为5，10，15，20，25，30天)的回归关系：模型①y＝a＋bx，模型②y＝ec＋dx，设两模型的决定系数依次为R和R.若两模型的残差图分别如下图所示，则(　　)
INCLUDEPICTURE "25RJS8-19.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-19.TIF" \* MERGEFORMAT
A．RC．R>R　　　　　　 D．R，R关系不能确定
解析：选A.根据题图知，模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以RINCLUDEPICTURE "25RJS8-20.TIF" INCLUDEPICTURE "25RJS8-20.TIF" \* MERGEFORMAT
2．(多选)(教材P116思考改编)某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图．若去掉D(3，10)后，下列说法正确的是(　　)
A.样本相关系数r变小
B．决定系数R2变大
C．残差平方和变大
D．解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强
解析：选BD.根据题图可知，去掉点D(3，10)后，y与x的线性相关程度加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错误，D正确；去掉点D(3，10)后，残差平方和变小，则R2变大，B正确，C错误．故选BD.
3．已知变量x和y的统计数据如下表：
x 6 7 8 9 10
y 3.5 4 5 6 6.5
若由表中数据得到经验回归方程为＝0.8x＋，则当x＝10时的残差为________．
解析：＝＝8，＝＝5，故5＝0.8×8＋，解得＝－1.4，则当x＝10时，＝0.8×10－1.4＝6.6，故残差为6.5－6.6＝－0.1.
答案：－0.1
4．(教材P120练习T2改编)数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2018－2023年某市夜间经济的市场发展规模(单位：亿元)，其中2018－2023年对应的年份代码依次为1～6.
年份代码x 1 2 3 4 5 6
某市夜间经济的市场发展规模y/亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4
(1)已知可用函数模型y＝a·bx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程(a，b的值精确到0.001)；
(2)现用(1)中求得的回归方程预测2025年该市夜间经济的市场规模．
参考数据：
ivi e2.848 e0.148 1.167 1.168
3.366 73.282 17.25 1.16 2.83 3.28
其中vi＝ln yi.
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
解：(1)将y＝a·bx的等号左右两边同时取自然对数得ln y＝ln (a·bx)＝ln a＋x ln b，
所以v＝ln a＋x ln b.
＝＝3.5，
而＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91，
所以＝＝ eq \f(\i\su(i＝1,6,x)ivi－6\o(x,\s\up6(－))　\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,x)－6\o(x,\s\up6(－))2)
＝
＝≈0.148，
ln ≈3.366－0.148×3.5＝2.848.
所以＝2.848＋0.148x，
即ln ＝2.848＋0.148x，
所以＝e2.848＋0.148x＝17.25×1.16x.
(2)2025年对应的年份代码为8，
当x＝8时，＝17.25×1.168≈17.25×3.28＝56.58(亿元)，
即2025年该市夜间经济的市场规模约为56.58亿元.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：(1)残差的概念与残差图；(2)残差平方和及决定系数R2；(3)非线性经验回归方程．
2．须贯通：回归分析时，必须先画散点图，确定两个变量是否有关系，有什么样的关系，然后确定是哪种回归模型才能进一步求解．
3．应注意：混淆残差图法、残差平方和法和R2法的概念，导致刻画回归效果出错．