8．3　课后达标检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF"
1．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的(　　)
A．8倍 B．4倍
C．2倍 D．1倍
解析：选C.把公式χ2＝中所有值变为原来的2倍，
得(χ2)′＝
＝
＝2·＝2χ2，
故χ2的值也变为原来的2倍. 故选C.
2．观察下列等高堆积条形图，其中最有把握认为两个分类变量x，y之间没有关系的是(　　)
INCLUDEPICTURE "25-BS3.TIF"
INCLUDEPICTURE "25-BS3A.TIF"
解析：选B.根据题意，在等高堆积条形图中，当x1，x2所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量x，y之间有关系，由选项可得，B选项中，x1，x2所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量x，y之间没有关系．故选B.
3．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.974，下列结论正确的为(　　)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为变量x与y独立
D．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为变量x与y独立
解析：选B.因为当α＝0.05时，xα＝3.841，所以χ2＝3.974>xα＝3.841，所以变量x与y不独立，且这个结论犯错误的概率不超过0.05.故选B.
4．在某次独立性检验中，得到如下列联表：
B A 合计
A＝0 A＝1
B＝0 30 90 120
B＝1 24 a 24＋a
合计 54 90＋a 144＋a
最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的值可能是(　　)
A．72 B．30 C．24 D．20
解析：选A.因为两个分类变量A和B没有任何关系，所以χ2＝＝0，则30·a－90×24＝0，解得a＝72，验证可知a＝72满足题意．故选A.
5．有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下列联表：
单位：人
班级 成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 10 b 10＋b
乙班 c 30 30＋c
合计 10＋c 30＋b 105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.列联表中c的值为30，b的值为45
B．列联表中c的值为20，b的值为35
C．依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级有关系”
D．依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级没有关系”
解析：选C.因为在105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，所以成绩优秀的人数为105×＝30，非优秀人数为105－30＝75，所以c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，故A错误，B错误；经计算可得χ2≈6.109>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级有关系”，故C正确，D错误．故选C.
6．(多选)有两个分类变量X，Y，其一组的调查数据如下表所示，
X Y
Y1 Y2
X1 a 20－a
X2 15－a 30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值可以为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：选CD.由题中列联表中数据，得χ2＝＝>3.841，由a，15－a均为大于5的整数，得57．某组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作，在下面“性别与会法语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________．
单位：人
性别 是否会法语 合计
会 不会
男 a b 40
女 12 d
合计 36 100
解析：根据题表中的数据，因为志愿者的总人数为100，所以a＋b＋d＋12＝100，解得a＋b＋d＝88.
答案：88
8．为考察棉花种子是否经过处理与患病之间的关系，得如表所示的数据：
单位：颗
疾病 种子 合计
经过处理 未经过处理
患病 32 101 133
未患病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据得χ2的值是________．(精确到0.001)
解析：依题意χ2
＝
＝≈0.164.
答案：0.164
9．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验．整理所得数据后发现，若依据小概率值α＝0.005的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据小概率值α＝0.01的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2可取的整数值为________．
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解析：由题知χ2∈[6.635，7.879)，故χ2可取的整数值为7.
答案：7
10．为调查某城市居民对冰雪运动的了解情况，随机抽取了该市120名市民进行统计，得到如下2×2列联表：
单位：人
冰雪运动 性别 合计
男 女
了解 m p 70
不了解 n q 50
合计 60 60 120
已知从参与调查的男性市民中随机选取1名，抽到了解冰雪运动的概率为.
(1)直接写出m，n，p，q的值；
(2)能否根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为该市居民是否了解冰雪运动与性别有关？请说明理由．
附：χ2＝.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)由题知，m＝60×＝40，所以n＝60－m＝20，p＝70－m＝30，q＝50－n＝30.
所以m＝40，n＝20，p＝30，q＝30.
(2)能．理由如下：零假设为H0：该市居民是否了解冰雪运动与性别无关．
由题意知，
χ2＝＝
≈3.429>2.706＝x0.1，
所以根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为该市居民是否了解冰雪运动与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.1.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF"
11．为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下，提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，学校对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高堆积条形图，根据条形图，下列结论正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "25-BS4.TIF"
A．样本中不愿意选该门课的人数较多
B．样本中男生人数多于女生人数
C．样本中女生人数多于男生人数
D．该等高堆积条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
解析：选B.对于A，由题图乙可知，样本中男生和女生大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；对于B，C，D，由题图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，C，D错误．故选B.
12．(多选)某学校为了调查学生对“只要学习够努力，成绩一定有奇迹”这句话的认可程度，随机调查了90名本校高一、高二的学生，得到如下列联表．用样本估计总体，则下列说法正确的是(参考数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，x0.01＝6.635，x0.001＝10.828)(　　)
单位：人
年级 认可度 合计
认可 不认可
高一 20 20 40
高二 40 10 50
合计 60 30 90
A.高一、高二大约有66.7%的学生认可这句话
B．高一、高二大约有99%的学生认可这句话
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为学生对这句话认可与否与年级有关
D．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级无关
解析：选AC.随机调查了90名学生，其中一共有60名学生认可，所以认可率大约为66.7%，故A正确，B错误；
χ2＝＝＝9>6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级有关，且此推断犯错误的概率不超过0.01，故C正确，D错误．故选AC.
13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有________人．
参考数据及公式如下：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下：
单位：人
性别 追星 合计
喜欢 不喜欢
男 x
女
合计 x
若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则χ2≥3.841，
由χ2＝＝≥3.841，
解得x≥≈10.24，
因为，为整数，所以若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有12人．
答案：12
14．某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高堆积条形图，其中被调查的男女学生比例为3∶2.
INCLUDEPICTURE "25-BS5.TIF"
(1)求m，n的值(结果用分数表示)；
(2)完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，能否判断学生性别与是否有飞天宇航梦有关？
单位：人
性别 飞天宇航梦 合计
有 无
男
女
合计
附临界值表及参考公式：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)由题可知被调查的男女学生分别为1 000×＝600(人)，1 000×＝400(人)，男生有飞天宇航梦的学生有600×0.7＝420(人)，无飞天宇航梦的学生有600×0.3＝180(人)，
女生有飞天宇航梦的学生有400×0.6＝240(人)，无飞天宇航梦的学生有400×0.4＝160(人)，所以m＝＝，n＝＝.
(2)根据(1)中数据填表，
单位：人
性别 飞天宇航梦 合计
有 无
男 420 180 600
女 240 160 400
合计 660 340 1 000
零假设为H0：是否有飞天宇航梦与性别无关．
可得χ2＝
＝≈10.695<10.828＝x0.001，
所以根据小概率α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为学生性别与是否有飞天宇航梦无关．
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF"
15．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
单位：只
药物 疾病 合计
未患病 患病
服用 a 50－a 50
未服用 80－a a－30 50
合计 80 20 100
若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为________．(其中a≥40且a∈N*)(参考数据：≈2.58, ≈3.29)
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解析：由题意可得χ2＝
≥6.635，
整理得(100a－4 000)2≥502×42×6.635，所以100a－4 000≥200×≈200×2.58＝516或100a－4 000≤－200×≈－200×2.58＝－516，解得a≥45.16或a≤34.84，又因为a≥40且a∈N*，所以a≥46，所以a的最小值为46.
答案：46
16．近年来，短视频APP作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1 000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
类别 青年人 中年人 老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求 2a＋4b 200 a
对短视频剪接成长视频的APP无需求 a＋b 150 4b
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400.
(1)求a，b的值；
(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)由题意可得，
解得a＝b＝50.
(2)零假设为H0：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异．
由已知得，如下2×2列联表：
单位：人
对短视频剪接成长视频的APP 人群 合计
青年人 中老年人
有需求 300 250 550
无需求 100 350 450
合计 400 600 1 000
可得χ2＝≈107.744>10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人有差异，此推断犯错误的概率不大于0.001.