中小学教育资源及组卷应用平台
人教版（2024）七年级下学期期末模拟测试卷（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在实数，，，，3.14159，，0.2323323332中，无理数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（3分）下列选项中，能由原图平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，把一个含60°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺上，∠A＝60°，则∠1﹣∠2等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．（3分）如果m＞n，那么下列不等式成立的是（ ）
A．m﹣3＜n﹣3 B．m+4＜n+4 C．5m＜5n D．
5．（3分）下列叙述中，能确定位置的是（ ）
A．小欢家在学校的西北方向
B．小欢家距离学校200m
C．小欢沿北偏西45°的方向走就能到家
D．小欢出校门向西走60m，再向南走80m就能到家
6．（3分）已知是二元一次方程2x﹣y＝27的解，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
7．（3分）若a＞b，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．a﹣6＜b﹣6
C． D．6a﹣1＜6b﹣1
8．（3分）如图，已知AB∥CD，∠1＝120°，∠2＝80°，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
9．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份并外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？设井深为x尺，绳子长为y尺，所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…则点P2021 的坐标是（ ）
A．（674，﹣1） B．（674，1） C．（337，﹣1） D．（337，1）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知2a+5的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是1，c是的整数部分，则a﹣b+c的值为 ．
12．（3分）调查某市的空气情况采用的调查方式为 ．（填“抽样调查”或“全面调查”）
13．（3分）为培养学生阅读习惯，提高学生阅读兴趣和能力，某校把一批图书分给七年级（1）班学生去阅读．如果每人分2本，还剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本（但至少分得1本）．设七年级（1）班有x名学生，则下列四个结论中，正确的是 ．（只填序号）
①这批图书有（2x+48）本；
②这批图书有3（x+1）本；
③七年级（1）班最少有44名学生；
④七年级（1）班最多有50名学生．
14．（3分）如图，把木条a，b，l钉在一起，交点分别为点P，Q，∠1＝107°，∠2＝85°，将木条a绕点P以每秒钟3°的速度逆时针旋转一周，在旋转的过程中若木条a∥b，则旋转时间为 ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，过点A作AE∥BD，连接DE，BE，其中DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝126°，则∠C﹣∠EAB的值为 度．
三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
16．（7分）求不等式组：，并写出它的所有整数解．
17．（7分）如图，点B、O、C三点在同一直线上，∠DOE＝90°，
（1）若AO⊥BC，∠AOE＝65°，求∠COE的度数；
（2）若∠BOD：∠COE＝2：1，求∠COD的度数．
18．（7分）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A、CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整．
解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（已知），
所以 ∥CD（ ），
所以∠BCD+∠CBF＝180°（ ）．
因为AB⊥AE．
所以∠EAB＝ °（ ）．
因为BF∥AE（辅助线作法），
所以 +∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝90°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝ °．
四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19．（9分）某校九年级一班开展以“我最喜爱的体育项目”为主题的调查活动，调查围绕“篮球、排球、羽毛球和乒乓球，你最喜欢哪一项？（必选且只能选一项）”的问题，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中喜欢篮球运动的学生人数占所调查人数的40%．根据图中提供的信息，请解答以下问题：
（1）九年级一班共有多少名学生？
（2）计算喜欢乒乓球项目的人数；并补全条形统计图．
（3）若全校有3000人，请你估计全校喜欢排球项目的人数．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC与三角形A′B′C′的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）写出下列点的坐标：A ，B ，C ．
（2）已知三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的，若点P（x，y）是三角形ABC内部的一点，则三角形A′B′C′内与点P相对应的点P′的坐标是 ．
（3）求三角形A′B′C′的面积．
21．（9分）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价．
五．解答题（共2小题，满分27分）
22．（13分）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，∠COB＝2∠AOC，则∠AOC＝ ；
（2）如图2，若∠AOB＝120°，射线OM从射线OB位置开始，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当射线OM与射线OA重合时停止旋转，设旋转的时间为t秒，当射线OM是∠AOB的奇妙线时，求t的值；
（3）如图3，若∠AOB＝90°，射线OE，OF分别从OB，OA位置同时出发，射线OE绕点O以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OF绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转，当射线OE旋转360°与射线OB重合时两条射线都停止旋转，设旋转的时间为t秒，当射线OE是∠AOF的奇妙线时，请直接写出t的值．
23．（14分）如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG＝2∠HPK，过点P作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．（温馨提示：三角形的三个内角和为180°）中小学教育资源及组卷应用平台
人教版（2024）七年级下学期期末模拟测试卷（二）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D D A C B D A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在实数，，，，3.14159，，0.2323323332中，无理数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：2，2是整数，是分数，3.14159，0.2323323332是有限小数，它们不是无理数，
，是无限不循环小数，它们是无理数，共2个，
故选：C．
2．（3分）下列选项中，能由原图平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【解答】解：只有C的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到．
故选：C．
3．（3分）如图，把一个含60°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺上，∠A＝60°，则∠1﹣∠2等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】求出∠B＝30°，根据平行线的性质求出∠3＝∠1，根据三角形外角的性质求出∠3＝∠B+∠2，即可求解．
【解答】解：如图，
∵把一个含60°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺上，直尺的对边平行，
∴∠3＝∠1，
∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∵∠3＝∠B+∠2，
∴∠1﹣∠2＝∠3﹣∠2＝∠B＝30°，
故选：C．
4．（3分）如果m＞n，那么下列不等式成立的是（ ）
A．m﹣3＜n﹣3 B．m+4＜n+4 C．5m＜5n D．
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．
【解答】解：A、根据题意可知，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，m﹣3＞n﹣3，此选项错误，不符合题意；
B、根据题意可知，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，m+4＞n+4，此选项错误，不符合题意；
C、根据题意可知，不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变，5m＞5n，此选项错误，不符合题意；
D、根据题意可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，，此选项正确，符合题意．
故选：D．
5．（3分）下列叙述中，能确定位置的是（ ）
A．小欢家在学校的西北方向
B．小欢家距离学校200m
C．小欢沿北偏西45°的方向走就能到家
D．小欢出校门向西走60m，再向南走80m就能到家
【分析】根据平面坐标系中的点与有序实数对一一对应进行判断．
【解答】解：A、小欢家在学校的西北方向，不能确定具体位置，故本选项错误；
B、小欢家距离学校200m，不能确定具体位置，故本选项错误；
C、小欢沿北偏西45°的方向走就能到家，不能确定具体位置，故本选项错误；
D、小欢出校门向西走60m，再向南走80m就能到家，能确定具体位置，故本选项正确．
故选：D．
6．（3分）已知是二元一次方程2x﹣y＝27的解，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】将代入原方程解得k的值即可．
【解答】解：已知是二元一次方程2x﹣y＝27的解，
则2×3k+3k＝27，
解得：k＝3，
故选：A．
7．（3分）若a＞b，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．a﹣6＜b﹣6
C． D．6a﹣1＜6b﹣1
【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a﹣6＞b﹣6，故本选项不符合题意；
C．∵由a＞b，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
D．∵a＞b，
∴6a＞6b，
∴6a﹣1＞6b﹣1，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，已知AB∥CD，∠1＝120°，∠2＝80°，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】先利用三角形的外角性质可得∠A＝40°，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠D＝40°，即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠1是△AEF的一个外角，
∴∠A＝∠1﹣∠2＝120°﹣80°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝40°，
故选：B．
9．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份并外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？设井深为x尺，绳子长为y尺，所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“将绳三折测之，绳多四尺”，即绳长的减去4尺等于井深，得方程；根据“将绳四折测之，绳多一尺”，即绳长的减去1尺等于井深，得方程；由此即得结果．
【解答】解：根据“将绳三折测之，绳多四尺”，即绳长的减去4尺等于井深，得方程；根据“将绳四折测之，绳多一尺”，即绳长的减去1尺等于井深，
∴；
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…则点P2021 的坐标是（ ）
A．（674，﹣1） B．（674，1） C．（337，﹣1） D．（337，1）
【分析】根据所给动点的运用方式，依次求出点Pi的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点P1的坐标为（0，1）；
点P2的坐标为（1，1）；
点P3的坐标为（1，0）；
点P4的坐标为（1，﹣1）；
点P5的坐标为（2，﹣1）；
点P6的坐标为（2，0）；
点P7的坐标为（2，1）；
…，
由此可见，每运动六次，点Pi的横坐标增加2，且点Pi的纵坐标按1，1，0，﹣1，﹣1，0循环出现，
又因为2021÷6＝336余5，
所以2+2×336＝674，
所以点P2021的坐标为（674，﹣1）．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知2a+5的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是1，c是的整数部分，则a﹣b+c的值为 ﹣1 ．
【分析】先利用平方根、立方根的定义、夹逼法求出a、b、c的值，再把它们的值代入代数式计算即可求解．
【解答】解：∵2a+5的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是1，
∴2a+5＝9，3a+b﹣9＝1，
∴a＝2，b＝4，
∵，c是的整数部分，
∴c＝1，
∴a﹣b+c＝2﹣4+1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（3分）调查某市的空气情况采用的调查方式为 抽样调查 ．（填“抽样调查”或“全面调查”）
【分析】根据抽样调查，普查的定义结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：调查某市的空气情况采用的调查方式为抽样调查．
故答案为：抽样调查．
13．（3分）为培养学生阅读习惯，提高学生阅读兴趣和能力，某校把一批图书分给七年级（1）班学生去阅读．如果每人分2本，还剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本（但至少分得1本）．设七年级（1）班有x名学生，则下列四个结论中，正确的是 ①④ ．（只填序号）
①这批图书有（2x+48）本；
②这批图书有3（x+1）本；
③七年级（1）班最少有44名学生；
④七年级（1）班最多有50名学生．
【分析】设七年级（1）班有x名学生，则这批图书有（2x+48）本，根据“如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本（但至少分得1本）”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可得出七年级（1）班的最少学生数及最多学生数，再对照给出的四个结论，即可得出结论．
【解答】解：设七年级（1）班有x名学生，则这批图书有（2x+48）本，
根据题意得：，
解得：48＜x≤50，
∴七年级（1）班最少有49名学生，最多有50名学生，
∴正确的结论是①④．
故答案为：①④．
14．（3分）如图，把木条a，b，l钉在一起，交点分别为点P，Q，∠1＝107°，∠2＝85°，将木条a绕点P以每秒钟3°的速度逆时针旋转一周，在旋转的过程中若木条a∥b，则旋转时间为 4秒或64秒 ．
【分析】设旋转的时间是t秒，当旋转的度数小于85°时，得到73+3t＝85，求出t＝4；当旋转的度数大于85°时，得到3t﹣180＝85﹣73，求出t＝64，即可得到木条a旋转的时间．
【解答】解：∵∠1＝107°，
∴∠3＝180°﹣107°＝73°，
∴若木条a∥b，则∠2＝∠3，
设旋转的时间是t秒，
当旋转的度数小于85°时，
73+3t＝85，
∴t＝4；
当旋转的度数大于85°时，
3t﹣180＝85﹣73，
∴t＝64，
∴木条a旋转的时间为4秒或64秒．
故答案为：4秒或64秒．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，过点A作AE∥BD，连接DE，BE，其中DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝126°，则∠C﹣∠EAB的值为 36 度．
【分析】设∠ADE＝x，∠EAB＝y，由角平分线的定义得到∠ADE＝∠BDE＝x，由平行线性质得到∠AED＝∠BDE＝x，可得x+y＝54°，再根据平行线性质和垂直的定义得到x+∠C＝90°，即得∠C﹣y＝36°．
【解答】解：设∠ADE＝x，∠EAB＝y，
∵∠ADE＝∠BDE＝x，
由题意可得：∠AED＝∠BDE＝x，∠EAD+∠ADB＝180°，
∵∠AED+∠BAD＝126°，
∴∠ADE+∠BAD＝126°，
∴∠EAB+∠BDE＝180°﹣126°＝54°，
即x+y＝54°；
∵∠ADC+∠C＝180°，
∵ED⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∴∠ADE+∠C＝90°，
即x+∠C＝90°，x＝54°﹣y，
∴54°﹣y+∠C＝90°，
∴∠C﹣y＝90°﹣54°＝36°，
即∠BCD﹣∠EAB＝36°．
故答案为：36．
三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
16．（7分）求不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】先利用解一元一次不等式组的步骤求出其解集，再确定解集内的整数即可．
【解答】解：，
解不等式①得x＞3；
解不等式②得x≤5；
∴不等式组的解集为3＜x≤5，
∴它的所有整数解为4和5．
17．（7分）如图，点B、O、C三点在同一直线上，∠DOE＝90°，
（1）若AO⊥BC，∠AOE＝65°，求∠COE的度数；
（2）若∠BOD：∠COE＝2：1，求∠COD的度数．
【分析】（1）由垂直的定义可得∠AOC＝90°，再根据角度的和差可得出结论；
（2）由∠DOE＝90°，可得∠BOD+∠COE＝90°，再结合比例关系，代入可得∠COE的度数，再根据角度的和差可得出结论．
【解答】解：（1）∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOE＝65°，
∴∠COE＝90°﹣∠AOE＝25°；
（2）∵∠BOD+∠DOE+∠COE＝90°，∠DOE＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵∠BOD：∠COE＝2：1，
∴∠BOD＝2∠COE，
∴2∠COE+∠COE＝90°，
∴∠COE＝30°，
∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝120°．
18．（7分）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A、CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整．
解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（已知），
所以 BF ∥CD（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ），
所以∠BCD+∠CBF＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
因为AB⊥AE．
所以∠EAB＝ 90 °（ 垂直的定义 ）．
因为BF∥AE（辅助线作法），
所以 ∠ABF +∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝90°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝ 270 °．
【分析】过点B作BF∥AE，由于CD∥AE，则BF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，即∠ABF＝90°，于是得到结论．
【解答】解：如图，过点B作BF∥AE，
∵CD∥AE（已知），
∴BF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠BCD+∠CBF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠EAB＝90°，（垂直定义）
∵BF∥AE（辅助线作法），
∴∠ABF+∠EAB＝180°，
∴∠ABF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝270°．
故答案为：BF；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；90；垂直的定义；∠ABF；270．
四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19．（9分）某校九年级一班开展以“我最喜爱的体育项目”为主题的调查活动，调查围绕“篮球、排球、羽毛球和乒乓球，你最喜欢哪一项？（必选且只能选一项）”的问题，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中喜欢篮球运动的学生人数占所调查人数的40%．根据图中提供的信息，请解答以下问题：
（1）九年级一班共有多少名学生？
（2）计算喜欢乒乓球项目的人数；并补全条形统计图．
（3）若全校有3000人，请你估计全校喜欢排球项目的人数．
【分析】（1）由“篮球”人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各项目人数之和等于总人数求出“乒乓球”人数即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中喜欢排球项目的人数所占比例即可．
【解答】解（1）20÷40%＝50（人），
答：九年级一班共有50名学生．
（2）50﹣20﹣12﹣8＝10（人），
补全条形统计图如下：
（3），
答：估计全校喜欢排球项目的人数约有720人．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC与三角形A′B′C′的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）写出下列点的坐标：A （1，0） ，B （3，﹣4） ，C （5，﹣1） ．
（2）已知三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的，若点P（x，y）是三角形ABC内部的一点，则三角形A′B′C′内与点P相对应的点P′的坐标是 （x﹣5，y+4） ．
（3）求三角形A′B′C′的面积．
【分析】（1）根据点的坐标表示方法写出点A、B、C的坐标；
（2）由△ABC向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到△A′B′C′，得到平移的变换规律，即可得出答案；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）A（1，0），B（3，﹣4），C（5，﹣1）；
故答案为：（1，0），（3，﹣4），（5，﹣1）；
（2）∵△ABC向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到△A′B′C′，
∴三角形A′B′C′内与点P相对应的点P′的坐标是（x﹣5，y+4），
故答案为：（x﹣5，y+4）；
（3）三角形A′B′C′的面积＝4×44×14×22×3＝7．
21．（9分）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价．
【分析】设甲种型号书架的单价为x元，乙种型号书架的单价为y元，根据每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设甲种型号书架的单价为x元，乙种型号书架的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种型号书架的单价为200元，乙种型号书架的单价为300元．
五．解答题（共2小题，满分27分）
22．（13分）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，∠COB＝2∠AOC，则∠AOC＝ 20° ；
（2）如图2，若∠AOB＝120°，射线OM从射线OB位置开始，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当射线OM与射线OA重合时停止旋转，设旋转的时间为t秒，当射线OM是∠AOB的奇妙线时，求t的值；
（3）如图3，若∠AOB＝90°，射线OE，OF分别从OB，OA位置同时出发，射线OE绕点O以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OF绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转，当射线OE旋转360°与射线OB重合时两条射线都停止旋转，设旋转的时间为t秒，当射线OE是∠AOF的奇妙线时，请直接写出t的值．
【分析】（1）直接根据角的数量关系求解即可；
（2）由题可得，当射线OM是∠AOB的奇妙线时，射线OM是∠AOB的角平分线或三等分线，据此分类讨论，建立方程求解即可；
（3）根据OE和OF运动轨迹可知分两大类情况讨论，即射线OE越过OA之前和之和，每种情况又跟第二问一样由三种情况，再根据t的范围进行取舍即可得解．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，∠COB＝2∠AOC，
∴∠AOC∠AOB＝20°；
故答案为：20°；
（2）由题可得，当射线OM是∠AOB的奇妙线时，射线OM是∠AOB的角平分线或三等分线，且∠BOM＝10°t，
①当OM为∠AOB的角平分线时，，
∴10°t，
解得t＝6；
②当射线OM是∠AOB的三等分线时，∠BOM∠AOB或∠BOM∠AOB，
∴10°t120°或10°t120°，
解得t＝4或8；
综上，t的值为4或6或8；
（3）由题可知，当射线OE为∠AOF的奇妙线时，射线OE在∠AOF内部，且为∠AOF的角平分线或三等分线，
如图，当射线OE还没有越过OA时，0＜t7.5，
此∠AOE＝（90﹣12t）°，∠AOF＝6°t，
①当射线OE为∠AOF的角平分线时，，
∴90﹣12t6t，
解得t＝6；
②当射线OE为∠AOF的三等分线时，或，
∴90﹣12t6t或90﹣12t6t，
解得t或；
如图，当射线OE越过OA，要想OE在∠AOF内部，此时射线OF越过OB，
此时∠AOE＝360°﹣12°t+90°＝（450﹣12t）°，∠AOF＝6°t
令450﹣12t＝6t，
解得t＝25，
∴此时25＜t≤30，
①当射线OE为∠AOF的角平分线时，，
∴450﹣12t6t，
解得t＝30；
②当射线OE为∠AOF的三等分线时，或，
∴450﹣12t6t或450﹣12t6t，
解得t（大于30，舍去）或；
综上，t的值为6或或或30或．
23．（14分）如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG＝2∠HPK，过点P作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．（温馨提示：三角形的三个内角和为180°）
【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD＝180°°，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF＝90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK；再由邻补角的定义、角平分线的定义推得∠QPK∠EPK＝45°+∠HPK；然后由图形中角与角的和差关系求得∠HPQ＝45°即可．
【解答】（1）解：结论：AB∥CD．
理由：如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°．
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明；如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∠HPQ的大小不会发生变化，理由如下：
∵∠PHK＝∠HPK
∴∠PKG＝2∠HPK
∵GH⊥EG
∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK
∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK
∵PQ平分∠EPK
∴∠QPK∠EPK＝45°+∠HPK
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°
∴∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°．
