第十五章 分式 综合检测（含解析）

2025-2026学年度八年级数学
第十五章分式综合检测
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．计算：（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．下列各式中：，，，，，分式的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．在人工智能的神经网络训练中，经常会遇到非常小的数值，例如，计算神经元的激活概率．假设一个神经网络模型输出的一个神经元的激活概率为．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
7．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（ ）
A．200件 B．300件 C．400件 D．500件
8．小组活动中，淇淇所在小组采用接力的方式求一元一次方程的解，规则是每人只能看前面一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图，接力过程中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．淇淇 B．嘉嘉 C．珍珍 D．乐乐
9．若实数使得关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的的值之和是（ ）
A．20 B．17 C．15 D．12
10．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　）
A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如果分式的值为0，那么x的值是 ．
12．已知，，则分式的值为 ．
13．分式，，的最简公分母是 ．
14．昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，若全程运行时间缩短9分钟(不考虑停靠站点)，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，则可列方程为 ．
15．观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
17．（8分）（1）计算：； （2）解方程：．
18．（8分）解决下列问题：
(1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中．
19．（9分）已知关于x的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值．
20．（9分）七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数．
小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍．
小慧：我读完这本书比你多用了4天．
21．（11分）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．
(1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值．
(2)若分式的“巧整式”为．
①整式 ；
②判断是否是“巧分式”．
22．（11分）某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务．
(1)求原计划每小时播种多少万平方米？
(2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？
23．（11分）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来．
(1)计算：；
(2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《第五章分式综合检测》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D A A C A C A
1．C
【详解】解：，
2．A
【详解】解：，，，，中：，为分式，共两个，其余为整式；
3．B
【详解】解： 与不是同类项，不能合并，故 A选项错误．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故 B选项正确．
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故 C选项错误．
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故 D选项错误．
4．D
【详解】解：∵分式有意义，∴，∴，
5．A
【详解】解：，
6．A
【详解】解：，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
即方程的解是，
7．C
【详解】解：设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
因此，人工每小时分拣400件包裹．
8．A
【详解】解：方程，去分母得：，淇淇解析出现错误；
方程，去括号得：，嘉嘉解析正确；
方程，移项合并得：，珍珍解析正确；
方程，系数化1得：，乐乐解析正确；
9．C
【详解】解：分式方程，
去分母得：，
去括号合并得：，
∴，
由题意得：，即且是正整数，
∴或或，
∴或或，
∴所有满足条件的的值之和为3+4+8=15，
10．A
【详解】解：，
∵，
∴，，
即．
所以他这样做采光条件变好了．
11．
【详解】解：由题意得：，解得：
12．
【详解】解：
当，时，
原式，
13．
【详解】解：分式中，分母为，
分式，分母为，
分式，分母为，
∴分式，，的最简公分母是，
14．
【详解】解：由题可知昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，
则昌九城际铁路的设计速度为千米/时，
根据题意可列方程为
即
15．
【详解】解：根据分式的分子和分母的规律可得，
第个分式是．
16．(1)正确 (2)不正确，应改为 (3)不正确，应改为 (4)正确
【详解】（1）解：分式分子、分母同时除以公因式，得，
故原式化简正确．
（2）解：分式分子、分母同时除以公因式，得，
故原式化简不正确，应改为．
（3）解：分式分子、分母同时除以公因式，得，
故原式化简不正确，应改为．
（4）解：分式，分子、分母同时除以公因式，得，
故原式化简正确．
17．（1）1 （2）原方程无实根
【详解】（1）解：，，；
（2）解：，
因式分解，得：，
等式两边同时乘，得：，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为，得：，
检验：把代入，
∴原方程无实根．
18．(1) (2)，
【详解】（1）解：
（2）解：
，
当时，
原始．
19．(1) (2)a的值为3
【详解】（1）解：分式方程的根是，，解得；
（2）去分母得，
整理得，
分式方程有增根，或，
当时，，此时不存在a的值；
当时，，解得，
综上，a的值为3．
20．小慧每天读这本名著20页
【详解】解：设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
答：小慧每天读这本名著20页．
21．(1) (2)①；②是“巧分式”
【详解】（1）解：分式（为常数）是一个“巧分式”，
它的“巧整式”为，
，
，
．
（2）解：①．
【详解】∵分式的“巧整式”为，
．
②
．
是整式，
是“巧分式”．
22．(1)原计划每小时播种8万平方米 (2)甲播种机至少要播种20小时
【详解】（1）解：设原计划每小时播种x万平方米，
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，
答：原计划每小时播种8万平方米．
（2）解：设甲播种机播种a小时，
则乙播种机播种小时，
根据题意得
解得
答：甲播种机至少要播种20小时．
23．(1) (2)不能全部倒完，理由见详解
【详解】（1）解：
（2）解：不能全部倒完，理由如下：
第1次倒出的水量是：；
第2次倒出的水量是：；
第3次倒出的水量是：；
第4次倒出的水量是：，
第n次倒出的水量是：；
前n次总共倒出水量是：
∵，
∴容器中的这1升水最终不能全部倒完．
答案第1页，共2页
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