第十五章 分式 单元小测（含解析）

2025-2026学年度八年级数学
第十五章分式单元小测
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．的结果是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-8
2．代数式，，，，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若分式有意义，则需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．我国自主研制的科学仪器“超分辨光学显微镜”的空间分辨率达到，用科学记数法表示该光学显微镜的空间分辨率（单位：）正确的是（ ）
A． B． C． D．
6． 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A． B． C． D．
7．学校图书馆有600册图书需整理．由于图书管理员当天还需完成其他任务，实际每小时整理的图书比原计划增加了，结果提前完成整理这600册图书的任务．小禾根据这一情景中的数量关系列出方程，则该方程中的未知数表示的意义为（ ）
A．实际每小时整理图书的数量 B．原计划每小时整理图书的数量
C．实际完成整理图书所需的时间 D．原计划完成整理图书所需的时间
8．已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．按顺序排列的若干个数：，，，…，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与前一个数的差的倒数，即：，，…．下列说法：
①若，则；
②若，则；
③当时，代数式的值恒为负．
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若分式的值为0，则x的值为 ．
12．若，则 ．
13．将分式，通分时，最简公分母是 ．
14．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为，根据题意可列方程 ．
15．已知，则的值 ；
三、解答题-计算题（共24分）
16．（8分）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号：
(1)； (2)．
17．（8分）（1）计算：． （2）解方程：．
18．先化简，再求值：，其中．
四、解答题-问答题（共30分）
19．（10分）已知关于的分式方程．
(1)若方程的增根为，求的值；
(2)若方程有增根，求的值；
(3)若方程无解，求的值．
20．（10分）计算：
(1)一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：． 解： 第一步 ……第二步 ……第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
(2)计算：．
(3)先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的(为整数)．
21．（10分）自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整．
题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围．
解：
五、解答题-应用题（共21分）
22．（10分）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
23．（11分）放映《哪吒之魔童闹海》的贵阳越界影城，因拥有亚洲第一巨幕火爆全网．影城附近某玩偶店老板准备购进一些哪吒玩偶，他了解到A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
(1)A，B两款哪吒玩偶的进货单价分别是多少元？
(2)老板计划购进100个哪吒玩偶，总费用不超过1200元，至少应购进A款哪吒玩偶多少个？
试卷第1页，共3页
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《第五章分式单元小测》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C B B B B D A
1．B
【详解】解：．
2．B
【详解】解：是整式，它不是分式；
中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式；
分母含字母，它是分式；
是整式，它不是分式；
分母含字母，它是分式；
分母含字母，它是分式，
∴属于分式的有、、，共3个，
3．D
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
4．C
【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为，
∴对于分式，需满足，
∴.
5．B
【详解】解：，
6．B
【详解】解：
方程两边同时乘以得，
7．B
【详解】解：设原计划每小时整理图书的数量为，则原计划所需时间为，
∵实际每小时整理数量增加，
∴实际每小时整理数量为，实际所需时间为，
∵提前完成，
∴，
该方程与小禾所列方程一致，
∴表示原计划每小时整理图书的数量，
8．B
【详解】解：∵，
∴，
∴．
，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．D
【详解】解：
方程两边同时乘得，，
解得：，
方程有增根，
，
解得：，
，
解得：，
10．A
【详解】解：①当时，
∴，，，，
∴每3个一组循环，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，，，，
∴每3个一组循环，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③根据题意，，，，
∴每3个一组循环，
∵，
∴，
∴
，
故③正确；
综上所述，正确的有①②③，共3个，
11．3
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得，
经检验时分母不为0，
12．
【详解】解：∵，
∴．
13．
【详解】解：第一个分母可因式分解为，第二个分母可因式分解为 ；两个分母的因式分别为 、和，因此最简公分母为这些因式的最小公倍式，即，
故答案为：；
14．
【详解】根据题意，可得
15．
【详解】解：计算序列的前几项：
，
，
，
，
，
，
由此可知序列周期为，即．
，
因此，
16．(1) (2)
【详解】（1）解：；
（2）解：．
17．（1）；（2）
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
．
经检验，是原方程的解．
18．；0
【详解】解：原式
，
把代入，原式．
19．(1) (2) (3)或
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
方程整理，得．
∵是原分式方程的增根，
∴，
解得．
（2）解：，
方程整理，得．
因为原分式方程有增根，所以或，
解得或．
∵不可能是整式方程的根，
∴原分式方程的增根为，所以，
解得．
（3）解：，
方程整理，得．
①当时，整式方程无解，
此时；
②当时，要使原方程无解，则或．
由（2），得．
综上所述，或．
20．(1)第一步开始出现错误，正确结果为； (2)；
(3)化简结果为，当时，值为
【详解】（1）解：第一步开始出现错误，错误原因是应用乘法分配律时，将与括号内第二项相乘，以及与第三项相乘时，均出现了符号错误．
正确解答：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
根据分式有意义的条件：，，，
在的整数中取，
将代入得：．
21．，过程见解析
【详解】解：，且分式总有意义，
∴
，
当，即时，的值不可能为0，
当时，不论取何实数，分式总有意义．
22．A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件．
【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件．
23．(1)A款哪吒玩偶的进货单价是10元，B款哪吒玩偶的进货单价是15元．
(2)至少应购进A款哪吒玩偶60个．
【详解】（1）解：设A款哪吒玩偶的进货单价是x元，则B款哪吒玩偶的进货单价是元．
根据题意，可得，
解得．
经检验，是该方程的解，且符合题意，
．
答：A款哪吒玩偶的进货单价是10元，B款哪吒玩偶的进货单价是15元．
（2）解：设购进A款哪吒玩偶a个，则B款哪吒玩偶购进了个．
根据题意，可得，
解得．
答：至少应购进A款哪吒玩偶60个．
答案第1页，共2页
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