5.3.2　第2课时　课后达标检测（教师版）

eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已知等比数列的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．72 B．81
C．90 D．99
解析：选B．由等比数列的性质，可得S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，即2＝9×，
解得S9－S6＝81，即a7＋a8＋a9＝81.
故选B．
2．设某厂去年的产值为1，从今年起，若该厂计划每年的产值比上年增长8%，则该厂从今年起到第十年的总产值为(　　)
A．1.089 B．1.0810
C． D．
解析：选C．因为去年的产值为1，该厂计划每年的产值比上年增长8%，所以从今年起到第十年，该厂这十年的产值构成一个首项为1.08，公比为1.08的等比数列，所以该厂这十年的总产值为.故选C．
3．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　)
A．60 B．10
C．15 D．20
解析：选A．设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
因为a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，
所以＝q3＝＝2，
a7＋a8＋a9＝q3＝8×2＝16，a10＋a11＋a12＝q6＝8×4＝32，
所以S12＝4＋8＋16＋32＝60.故选A．
4．已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝(　　)
A．1 B．4
C．12 D．36
解析：选C．由题意可得所有项之和S奇＋S偶是所有偶数项之和S偶的4倍，所以S奇＋S偶＝4S偶，故S偶＝S奇．设等比数列{an}的公比为q，设该等比数列共有2k(k∈N＋)项，则S偶＝a2＋a4＋…＋a2k＝q(a1＋a3＋…＋a2k－1)＝qS奇＝S奇，所以q＝，因为a＝a1a2a3＝64，可得a2＝4，因此，a1＝＝12.故选C．
5．记Sn为数列{an}的前n项和，则“{an}为等比数列”是“(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．若{an}是等比数列，
则a2＋a3＋…＋an＋1＝q(a1＋a2＋a3＋…＋an)，
a3＋a4＋…＋an＋2＝q(a2＋a3＋…＋an＋1)，
所以(a2＋a3＋…＋an＋1)2＝(a3＋a4＋…＋an＋2)(a1＋a2＋…＋an)，即(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)，充分性成立．
若(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)，令an＝0，即可满足条件，但{an}不是等比数列，必要性不成立．
所以“{an}为等比数列”是“(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)”的充分不必要条件．故选A．
6．(多选)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3， m，n∈N＋，Sm＋n＝SmSn，则(　　)
A．{an}是等比数列
B．a4＝54
C．a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝38
D．Sn＝3n
解析：选BD．因为a1＝3， m，n∈N＋，Sm＋n＝SmSn，
所以Sn＋1＝SnS1＝Sna1＝3Sn，又S1＝3，
所以{Sn}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以Sn＝3n，故D正确；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，
当n＝1时，a1＝3，不满足上式，
所以an＝故A错误；
因为a4＝2×33＝54，故B正确；
因为a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S4＝39－34>38，故C错误．故选BD．
7．在各项均为正数的等比数列中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝________．
解析：设等比数列的公比为q，由题可知q≠±1，
方法一：由已知条件可列出方程组
两式作商得1＋q10＝3，所以q10＝2，
所以S30＝＝(1＋q10＋q20)＝10×＝70.
方法二：由性质Sm＋n＝Sn＋qnSm得S20＝S10＋q10S10，
即30＝10＋10q10，
所以q10＝2，
所以S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70.
方法三：运用性质Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等比数列解答．
因为S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
而S10＝10，S20＝30，所以2＝S10·，
即2＝10×，
所以S30＝70.
方法四：运用结论＝.
由已知条件S10＝10，S20＝30，易得q≠±1，
所以＝，即＝，
所以q10＝2.
由＝，解得S30＝70.
答案：70
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋1，则数列{an}的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为________．
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2，又a1＝S1＝2，不满足上式，即数列{an}的前10项分别为2，1，2，4，8，16，32，64，128，256，所以数列{an}的前10项中S偶＝＝＝341，
S奇＝2＋＝2＋＝172，
所以＝.
答案：
9．“一尺之捶，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识，已知长度为4的线段AB，取AB的中点C，以AC为直径作圆(如图1)，该圆的面积为S1，在图1中取CB的中点D，以CD为直径作圆(如图2)，图2中所有圆的面积之和为S2，以此类推，则Sn＝____________．
INCLUDEPICTURE "25FF4.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/25FF4.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：由题意可知，S1＝π，后一个圆的半径为前一个圆半径的一半，
故各圆的面积是以π为首项，为公比的等比数列，
故Sn＝＝.
答案：
10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＝2an－a1.
(1)求{an}通项公式；
(2)记bn＝(－1)n－1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为Sn＝2an－a1，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，
则Sn－Sn－1＝an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1，因为a1＝1≠0，故an≠0，故＝2，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·2n＝，
则＝＝－4，且b1＝2，
所以{bn}是首项为2，公比为－4的等比数列，
故Tn＝＝(或Tn＝[1－(－4)n] ).
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．已知正项等比数列的前n项和为Sn，若S4＝4，则S2＋S6的最小值为(　　)
A．8 B．8－4
C．8 D．10
解析：选B．由正项等比数列可知S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，则2＝S2，又S4＝4，所以S6＝＋S2－4，所以S2＋S6＝＋2S2－4≥8－4，当且仅当＝2S2，即S2＝2时取等号，故S2＋S6的最小值为8－4.故选B．
12．(多选)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋m(m∈R)，则(　　)
A．m＝－1
B．等比数列{an}的公比为2
C．an＝2n
D．a＋a＋…＋a＝
解析：选BC．因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1＋m，当n≥2时，Sn－1＝2n＋m，则an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，因此，等比数列{an}的公比为2，当n＝1时，a1＝S1＝4＋m，显然4＋m＝2，则m＝－2，an＝2n，故A错误，B，C正确；而 eq \f(a,a) ＝＝4，于是得数列{a}是首项为4，公比为4的等比数列，则有a＋a＋…＋a＝，故D错误．故选BC．
13．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，等比数列{an}的前10项中，所有奇数项的和为S奇，所有偶数项的和为S偶，则S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝q(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝qS奇，
所以q＝＝＝2，又S奇＝＝＝341a1＝，则a1＝，因此，S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2·＝585.
答案：585
14．在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元；公司B：第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．
(1)若此人选择在一家公司连续工作n年，则第n年的月工资分别为多少？
(2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？(1.0510≈1.6)
解：(1)选择在公司A连续工作n年，第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元，则他第n年的月工资是3 000＋(n－1)×300＝300n＋2 700(元)；
选择在公司B连续工作n年，第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%.则他第n年的月工资是3 720×(1＋0.05)n－1(元).
(2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司A、公司B得到的报酬分别为：
公司A：12×[3 000＋＋…＋]
＝12×3 000×10＋12×300×＝522 000(元).　
公司B：12×3 720×(1＋1.051＋1.052＋…＋1.059)＝12×3 720×≈535 680(元)，
因为535 680>522 000，故从公司B得到的报酬较多．　
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15．已知一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：选B．设等比数列的项数为2n项，所有奇数项和为S奇，所有偶数项和为S偶，则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝2n－1，中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且6，2Sn，an成等差数列．
(1)求an；
(2)是否存在m∈N＋，使得a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1>6am对任意n∈N＋恒成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由．
解：(1)因为6，2Sn，an成等差数列，
所以4Sn＝an＋6，
因此有4Sn－1＝an－1＋6(n≥2)，两式相减，
得4an＝an－an－1，
即an＝－an－1(n≥2)，
当n＝1时，4S1＝a1＋6，所以a1＝2，
故{an}是以2为首项，－为公比的等比数列，
所以an＝2×(－)n－1.
(2)存在．anan＋1＝4×(－)2n－1，
所以题中不等式等价于4[(－)1＋(－)3＋…＋(－)2n－1]>12×(－)m－1，
即>3·(－)m－1，
即(1－)<(－)m－2对 n∈N＋恒成立，
因为1－<1，且当n→＋∞时1－→1，
所以(－)m－2≥，显然m为偶数，当m＝2时不等式成立；
当m≥4时，(－)m－2≤，
此时≥无解．
综上，存在m∈N＋，满足题意，m＝2.