5.4 课后达标检测（教师版）
文档属性
| 名称 | 5.4 课后达标检测（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 154.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温为26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )
A．1 500 m B．1 600 m
C．1 700 m D．1 800 m
解析：选C．由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，－0.7 ℃ 为公差的等差数列，记此数列为{an}，a1＝26，d＝－0.7，所以14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m).
2．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后．蜂巢中蜜蜂的数量为( )
A．55 986 B．46 656
C．216 D．36
解析：选B．设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}为等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的数量为a6＝66＝46 656，故选B．
3．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还( )
A．万元
B．万元
C．万元
D．万元
解析：选B．设每年应还x万元，则有x＋x＋x(1＋P)2＋…＋x9＝M10，得 ＝M10，解得x＝.故选B．
4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100块面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A．块 B．块
C．块 D．块
解析：选A．将100块面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包．设较大的两份为20＋d，20＋2d，较小的两份为20－d，20－2d.由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，所以最小的一份为20－2d＝20－2×＝(块).
5．已知某公司今年获利5 000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10%，那么总利润达3亿元大约还需要( )
(参考数据：lg 1.01≈0.004，lg 1.06≈0.025，lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)
A．4年 B．7年
C．12年 D．50年
解析：选A．根据题意知每年的利润(单位：万元)构成一个等比数列{an}，其中首项a1＝5 000，公比q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000.于是得到＝30 000，整理得1.1n＝1.6，两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6，解得n＝≈5，故大约还需要4年．
6．(多选)计算机病毒危害很大，当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染的文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数．某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，若该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，若未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是( )
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数构成公比为2的等比数列
解析：选ABC．设第(n＋1)分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，
则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2，
由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，
两式相减，得an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an，
所以每分钟内新感染的病毒文件数构成以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n－1，所以在第3分钟内，该计算机病毒新感染了a3＝2×33－1＝18个文件，故选项A正确；
经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝35＝243个病毒文件，故选项B正确；
10分钟后，该计算机感染病毒文件的总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310＞×105，
所以该计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；
该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数构成公比为3的等比数列，故选项D不正确．
7．某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多两个座位，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有座位________个．
解析：从第1排开始每排座位数构成等差数列{an}，其中a1＝18，an＝36.公差为d＝2，则36＝18＋2(n－1)，解得n＝10.所以该电影院共有座位＝270(个).
答案：270
8．假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的，那么至少要清洗________次才能使存留的污垢不超过1%.
解析：设一件衣服有a单位的污垢， 洗涤次数为n，由题意可知，存留的污垢y是以a为首项，为公比的等比数列，所以有y＝()n·a，则()n·a≤1%·a，即n≥log4100＝log210，故n≥4，所以至少要清洗4次才能使存留的污垢不超过1%.
答案：4
9．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款________元．(参考数据：1.00811≈1.092，1.00812≈1.100，1.0811≈2.332，1.0812≈2.518)
解析：设每期应付款x元，第n期付款后欠款An元，
则A1＝2 000(1＋0.008)－x＝2000×1.008－x，
A2＝(2 000×1.008－x)×1.008－x＝2 000×1.0082－1.008x－x，…，
A12＝2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x.
因为A12＝0，所以2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0，
解得x＝＝≈176，即每期应付款176元．
答案：176
10．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时不会产生副作用．
(1)若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是多少毫克？
(2)若该患者坚持长期服用此药是否会产生副作用．
解：(1)设该患者第n(n∈N＋)次服药后，药在他体内的残留量为an毫克，由题意可得，a1＝200，a2＝200＋a1×(1－50%)＝200＋200×0.5＝300，a3＝200＋a2×＝200＋300×0.5＝350，
故第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量为350毫克．
(2)由(1)得，a1＝200，an＝200＋an－1×(1－50%)＝200＋0.5an－1(n≥2)，所以an－400＝0.5(an－1－400)(n≥2)，所以{an－400}是首项为a1－400＝－200，公比为0.5的等比数列，所以an－400＝－200×0.5n－1＜0，所以an＜400，所以若该患者长期服用此药，不会产生副作用．
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1，2，…，12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
解析：选C．根据题意可知，第n月的家用商品需求量为Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＝，令>1.5，即n2－15n＋54<0，解得612．(多选)如图给出的是一道典型的数学无字证明问题，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是( )
INCLUDEPICTURE "BS6.tif" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/BS6.tif" \* MERGEFORMAT
A．矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列
B．前9个矩形块中所填写的数字之和为
C．面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为
D．记bn为除了前n块之外的矩形块面积之和，则bn＝
解析：选ABD．对于A，由矩形块中所填数字可知，所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故正确；对于B，前9个矩形块中所填写的数字之和为S9＝＝，故正确；对于C，面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为a9＝×＝，故错误；对于D，前n块的矩形块面积之和为Sn＝＝1－，故bn＝1－＝，故正确．故选ABD．
13．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”中有如下叙述：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁…….某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一“遂”．其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为__________岁．
解析：根据题意可知，这20个老人年龄之和为1 520.设年纪最小者年龄为n岁，年纪最大者年龄为m岁，m∈[90，100].则有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋18)＋m＝19n＋171＋m＝ 1 520.
则有19n＋m＝1 349，则m＝1 349－19n.
所以90≤1 349－19n≤100.
解得65≤n≤66.
因为年龄为整数，所以n＝66.
则m＝1 349－19×66＝95.
答案：95
14．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比上一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种使该企业获利更多？用数据说明理由．(结果均保留两位小数，参考数据：1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665)
解：由题意，甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
甲方案获利为1＋＋2＋…＋9＝≈42.62(万元)，
银行贷款本息和为10×(1＋5%)10≈16.29(万元)，
所以甲方案的纯利润约为42.62－16.29＝26.33(万元)，
乙方案获利为1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝10×1＋×0.5＝32.50(万元)，
银行贷款本息和为1.05×[1＋＋2＋…＋9]＝1.05×≈13.21(万元)，
所以乙方案的纯利润约为32.50－13.21＝19.29(万元).
综上可得，甲方案能使该企业获利更多．
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
15.古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A，B，C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上．将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面．若A柱上现有3个金盘(如图)，将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动的次数为( )
INCLUDEPICTURE "25CSB4.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/25CSB4.TIF" \* MERGEFORMAT
A．5 B．7
C．9 D．11
解析：选B．设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动的次数记为{an}．
要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的n－1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动an－1次；把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n－1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an－1次，所以an＝2an－1＋1，a1＝1，故a2＝3，a3＝7.故选B．
16．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比a0＝55%及b0＝45%，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为an及bn，不考虑其它因素的影响．
(1)用bn表示bn＋1，并求实数λ，使是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
解：(1)由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为a0＝55%＝，b0＝45%＝.易知经过n次技术更新后an＋bn＝1，
则bn＋1＝(1－20%)bn＋5%·an＝bn＋＝bn＋，即bn＋1＝bn＋，
由题意，可设bn＋1－λ＝，
则bn＋1＝bn＋，所以＝，解得λ＝，
又b1＝b0＋＝×＋＝，b1－＝－＝，
从而当λ＝时，是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)可知bn－＝·n－1＝·n，
bn＝＋·n，又an＋bn＝1，
则an＝－·n，
所以经过n次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比an＝－·n.
由题意，令an>75%，得－·n> n< n lg则n>＝＝
≈＝＝5.592，
故n≥6，即至少需要经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温为26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )
A．1 500 m B．1 600 m
C．1 700 m D．1 800 m
解析：选C．由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，－0.7 ℃ 为公差的等差数列，记此数列为{an}，a1＝26，d＝－0.7，所以14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m).
2．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后．蜂巢中蜜蜂的数量为( )
A．55 986 B．46 656
C．216 D．36
解析：选B．设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}为等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的数量为a6＝66＝46 656，故选B．
3．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还( )
A．万元
B．万元
C．万元
D．万元
解析：选B．设每年应还x万元，则有x＋x＋x(1＋P)2＋…＋x9＝M10，得 ＝M10，解得x＝.故选B．
4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100块面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A．块 B．块
C．块 D．块
解析：选A．将100块面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包．设较大的两份为20＋d，20＋2d，较小的两份为20－d，20－2d.由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，所以最小的一份为20－2d＝20－2×＝(块).
5．已知某公司今年获利5 000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10%，那么总利润达3亿元大约还需要( )
(参考数据：lg 1.01≈0.004，lg 1.06≈0.025，lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)
A．4年 B．7年
C．12年 D．50年
解析：选A．根据题意知每年的利润(单位：万元)构成一个等比数列{an}，其中首项a1＝5 000，公比q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000.于是得到＝30 000，整理得1.1n＝1.6，两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6，解得n＝≈5，故大约还需要4年．
6．(多选)计算机病毒危害很大，当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染的文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数．某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，若该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，若未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是( )
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数构成公比为2的等比数列
解析：选ABC．设第(n＋1)分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，
则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2，
由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，
两式相减，得an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an，
所以每分钟内新感染的病毒文件数构成以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n－1，所以在第3分钟内，该计算机病毒新感染了a3＝2×33－1＝18个文件，故选项A正确；
经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝35＝243个病毒文件，故选项B正确；
10分钟后，该计算机感染病毒文件的总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310＞×105，
所以该计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；
该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数构成公比为3的等比数列，故选项D不正确．
7．某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多两个座位，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有座位________个．
解析：从第1排开始每排座位数构成等差数列{an}，其中a1＝18，an＝36.公差为d＝2，则36＝18＋2(n－1)，解得n＝10.所以该电影院共有座位＝270(个).
答案：270
8．假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的，那么至少要清洗________次才能使存留的污垢不超过1%.
解析：设一件衣服有a单位的污垢， 洗涤次数为n，由题意可知，存留的污垢y是以a为首项，为公比的等比数列，所以有y＝()n·a，则()n·a≤1%·a，即n≥log4100＝log210，故n≥4，所以至少要清洗4次才能使存留的污垢不超过1%.
答案：4
9．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款________元．(参考数据：1.00811≈1.092，1.00812≈1.100，1.0811≈2.332，1.0812≈2.518)
解析：设每期应付款x元，第n期付款后欠款An元，
则A1＝2 000(1＋0.008)－x＝2000×1.008－x，
A2＝(2 000×1.008－x)×1.008－x＝2 000×1.0082－1.008x－x，…，
A12＝2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x.
因为A12＝0，所以2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0，
解得x＝＝≈176，即每期应付款176元．
答案：176
10．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时不会产生副作用．
(1)若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是多少毫克？
(2)若该患者坚持长期服用此药是否会产生副作用．
解：(1)设该患者第n(n∈N＋)次服药后，药在他体内的残留量为an毫克，由题意可得，a1＝200，a2＝200＋a1×(1－50%)＝200＋200×0.5＝300，a3＝200＋a2×＝200＋300×0.5＝350，
故第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量为350毫克．
(2)由(1)得，a1＝200，an＝200＋an－1×(1－50%)＝200＋0.5an－1(n≥2)，所以an－400＝0.5(an－1－400)(n≥2)，所以{an－400}是首项为a1－400＝－200，公比为0.5的等比数列，所以an－400＝－200×0.5n－1＜0，所以an＜400，所以若该患者长期服用此药，不会产生副作用．
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1，2，…，12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
解析：选C．根据题意可知，第n月的家用商品需求量为Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＝，令>1.5，即n2－15n＋54<0，解得6
INCLUDEPICTURE "BS6.tif" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/BS6.tif" \* MERGEFORMAT
A．矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列
B．前9个矩形块中所填写的数字之和为
C．面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为
D．记bn为除了前n块之外的矩形块面积之和，则bn＝
解析：选ABD．对于A，由矩形块中所填数字可知，所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故正确；对于B，前9个矩形块中所填写的数字之和为S9＝＝，故正确；对于C，面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为a9＝×＝，故错误；对于D，前n块的矩形块面积之和为Sn＝＝1－，故bn＝1－＝，故正确．故选ABD．
13．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”中有如下叙述：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁…….某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一“遂”．其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为__________岁．
解析：根据题意可知，这20个老人年龄之和为1 520.设年纪最小者年龄为n岁，年纪最大者年龄为m岁，m∈[90，100].则有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋18)＋m＝19n＋171＋m＝ 1 520.
则有19n＋m＝1 349，则m＝1 349－19n.
所以90≤1 349－19n≤100.
解得65≤n≤66.
因为年龄为整数，所以n＝66.
则m＝1 349－19×66＝95.
答案：95
14．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比上一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种使该企业获利更多？用数据说明理由．(结果均保留两位小数，参考数据：1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665)
解：由题意，甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
甲方案获利为1＋＋2＋…＋9＝≈42.62(万元)，
银行贷款本息和为10×(1＋5%)10≈16.29(万元)，
所以甲方案的纯利润约为42.62－16.29＝26.33(万元)，
乙方案获利为1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝10×1＋×0.5＝32.50(万元)，
银行贷款本息和为1.05×[1＋＋2＋…＋9]＝1.05×≈13.21(万元)，
所以乙方案的纯利润约为32.50－13.21＝19.29(万元).
综上可得，甲方案能使该企业获利更多．
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15.古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A，B，C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上．将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面．若A柱上现有3个金盘(如图)，将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动的次数为( )
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A．5 B．7
C．9 D．11
解析：选B．设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动的次数记为{an}．
要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的n－1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动an－1次；把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n－1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an－1次，所以an＝2an－1＋1，a1＝1，故a2＝3，a3＝7.故选B．
16．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比a0＝55%及b0＝45%，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为an及bn，不考虑其它因素的影响．
(1)用bn表示bn＋1，并求实数λ，使是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
解：(1)由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为a0＝55%＝，b0＝45%＝.易知经过n次技术更新后an＋bn＝1，
则bn＋1＝(1－20%)bn＋5%·an＝bn＋＝bn＋，即bn＋1＝bn＋，
由题意，可设bn＋1－λ＝，
则bn＋1＝bn＋，所以＝，解得λ＝，
又b1＝b0＋＝×＋＝，b1－＝－＝，
从而当λ＝时，是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)可知bn－＝·n－1＝·n，
bn＝＋·n，又an＋bn＝1，
则an＝－·n，
所以经过n次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比an＝－·n.
由题意，令an>75%，得－·n> n< n lg
≈＝＝5.592，
故n≥6，即至少需要经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．