5.4　数列的应用（教师版）

5．4　数列的应用
|1.能够把实际问题转化成数列问题．　2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程．
eq \o(\s\up7())
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF"
我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物、分期付款已深入我们的生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！
一　分期还款与数列
角度1　等额本金还款法
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　某商店在2024年11月采用分期付款的方式促销一款价格为6 000元/台的电脑．商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分从本月月底开始，按每月月底以等额本金还款的方式支付欠款，12个月还清．已知欠款的月利率为0.5%，那么2025年7月底货主应还款________元．
【解析】　因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即6 000×＝4 000(元)，所以根据等额本金还款法，每月应还本金＝(元).
因为到2025年6月底货主交完还款后，货主还欠货款4 000－×8＝(元)，所以2025年7月底应还利息×0.5%＝(元)，所以2025年7月底货主应还款＋＝＝340(元).
【答案】　340
eq \a\vs4\al()
等额本金还款法
(1)“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．
(2)每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．　
角度2　等额本息还款法
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INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 　(对接教材例2)小明于某年10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6 000 元的手机，约定从下月5日按等额本息的方式(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元，1年还清．其中月利率为0.5%，则a＝________．(精确到个位)(参考数据：1.00511≈1.056，1.00512≈1.062，1.00513≈1.067)
【解析】　方法一：已知小明每月还款数为a元，第1月还款的本金为元；
第2月还款的本金为元；
…… ；
第12月还款的本金为元．
所以＋＋…＋＝6 000.
由等比数列求和公式可得
＝6 000，
所以a ＝ 30 ×≈514.
方法二：已知小明每月还款数为a元，则6 000×(1＋0.005)12＝a＋a(1＋0.005)＋a(1＋0.005)2＋…＋a(1＋0.005)11，所以6 000×1.00512＝，所以a＝ 30 × ≈514.
【答案】　514
eq \a\vs4\al()
等额本息还款法
(1)“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一期所还钱数相等．
(2)每期还款金额
＝.　
[跟踪训练1] 王某2024年12月31日向某银行贷款100 000元，若银行贷款年利率为5%，且此贷款分十年还清(2034年12月31日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元．
(1)设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；
(2)求每年的还款额．(精准到1元)
解：(1)由题意得a2＝100 000(1＋5%)2－(1＋5%)m－m＝110 250－2.05m.
(2)因为 100 000(1＋5%)10＝1.059×m＋1.058×m＋…＋m，
所以 100 000 ×1.0510＝，
解得 m≈12 950，即每年的还款额约为12 950元．
二　政府支出的“乘数”效应与数列
　某地为生态环境建设，2024年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2024年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内(2024年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0)
【解】　(1)2024年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×n－1万元，所以n年内的总投入为Sn＝1 000＋1 000×＋…＋1 000×n－1＝＝5 000×，
2024年收入为500万元，第2年收入为500×万元，第n年收入为500×n－1万元，
所以n年内的总收入为Tn＝500＋500×＋…＋500×n－1＝＝2 000×.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0，
即2 000×－5 000×>0，化简得5×n＋2×n－7>0，
设x＝n(x>0)，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0，
解得01(舍去)，即0＜n<，
不等式两边取常用对数可得n lg 即n>＝≈4.1，
所以n≥5，故至少到2028年旅游业的总收入才能超过总投入．
eq \a\vs4\al()
政府的财政支出(包括政府消费支出和政府投资支出)是一种与居民投资十分类似的高效能支出．政府在商品与服务上的一项采购，将会引发一系列的再支出．因此政府在选择经济政策时，究竟是采取扩张性政策还是紧缩性政策，在采取行动前必须知道实际的乘数究竟有多大，否则将会对国民经济造成负面影响．　
[跟踪训练2] 政府投资的某企业在2024年初的产值为 a万元，预计产值每年以n%递增，则该企业到2035年末的总产值是________万元．
解析：由题意知，每一年的产值构成以a为首项，以1＋n%为公比的等比数列，则该企业到2035年末的总产值为＝(万元).
答案：
三　数列与其他问题交汇
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" 　某林场去年底森林木材储存量为100万m2.若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐的木材量为x万m2.记an为第n年年底的木材储存量．
(1)写出a1，a2，并写出一个an＋1和an之间的递推关系，并表示成an＋1－k＝r的形式，其中k，r为常数；
(2)为了实现经过10年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少？(精确到0.01万m2)(参考数据：1.29≈5.2，1.210≈6.2)
【解】　(1)由题意知，a1＝100×(1＋20%)－x＝120－x，
a2＝a1(1＋20%)－x＝(120－x)(1＋20%)－x＝144－2.2x，
an＋1＝an(1＋20%)－x，整理可得an＋1－5x＝1.2(an－5x).　
(2)由(1)知{an－5x}是以1.2为公比，a1－5x＝120－6x为首项的等比数列，
所以an－5x＝(120－6x)×1.2n－1，
得an＝(120－6x)×1.2n－1＋5x，
因为10年木材储存量翻两番，
所以a10≥400，即(120－6x)×1.29＋5x≥400，
因为1.29≈5.2，
所以(120－6x)×5.2＋5x≥400，解得x≤≈8.55，
所以每年砍伐的木材量x的最大值为8.55万m2.
eq \a\vs4\al()
对于能够得出递推关系的数列应用题，可以利用递推关系构造新数列解决实际问题．　
[跟踪训练3] 小王2024年1月初向银行借了免息贷款10 000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2024年小王的农产品加工厂的年利润约为(参考数据：1.211≈7.4，1.212≈8.9)(　　)
A．38 720元　　　　 B．48 720元
C．31 520元 D．41 520元
解析：选C．1月底小王手中有现款a1＝(1＋20%)×10 000－800－400＝10 800(元)，
设n月底小王手中有现款an元，
月底小王手中有现款an＋1元，
则an＋1＝1.2an－1 200，an＋1－6 000＝1.2，
又a1－6 000＝4 800，
所以数列是首项为4 800，公比为1.2的等比数列，
所以a12－6 000＝4 800×1.211，
即a12＝4 800×1.211＋6 000≈41 520，
年利润约为41 520－10 000＝31 520(元).
故选C．
eq \o(\s\up7())
1．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π取3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)(　　)
A．14 m B．15 m
C．16 m D．17 m
解析：选B．纸的厚度相同，且各层同心圆直径构成的数列{dn}成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15 m．
2．(教材P50习题5－4AT3改编)某人从2024年起，每年的1月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2030年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(单位：元)的总数为(　　)
A．a(1＋p)6
B．a(1＋p)7
C．[(1＋p)6－(1＋p)]
D．[(1＋p)7－(1＋p)]
解析：选D．由题意，2024年1月1日存入a元，一年后存款及利息为a(1＋p)，两年后存款及利息为a(1＋p)2，……依次类推，由此可得，从2024年1月1日到2030年1月1日所有的存款及利息为a(1＋p)6＋a(1＋p)5＋…＋a(1＋p)＝＝[(1＋p)7－(1＋p)].
3．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于底层与顶层均为复式结构，因此底层价格为a1元/平方米，顶层由于景观好，价格为a2元/平方米，第2层价格为a元/平方米，从第3层开始每层在前1层价格上加价元/平方米，则该商品房各层的平均价格为________元/平方米．
解析：设第2层到第22层的价格构成数列{bn}，
则{bn}是等差数列，b1＝a，公差d＝，共21项，
所以其和为S21＝21a＋·＝23.1a，
故平均价格为(a1＋a2＋23.1a)元/平方米．
答案：(a1＋a2＋23.1a)
4．(教材P50习题5－4AT5改编)《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇．各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝______．
解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1.小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－.所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.
答案：2n－＋1
eq \a\vs4\al()
1．已学习：分期还款与数列、政府的支出“效应”与数列及数列的其他实际应用．
2．须贯通：(1)明确分期付款中的2种常见方式：等额本金还款法和等额本息还款法，前者为等差数列模型，后者为等比数列模型；
(2)解决以数列知识为背景的应用题的关键是正确处理数列中的递推关系．
3．应注意：实际问题中的首项和项数．