5.1.1　第1课时　数列的概念与通项公式（教师版）

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5．1　数列基础
5．1.1　数列的概念
第1课时　数列的概念与通项公式
|1.理解数列的有关概念与数列的表示方法，掌握数列的分类．　2.理解数列的通项公式，能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
观察以下几列数：
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807；
②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…；
③从学号1开始，记下本班的每一个学生参加高考的时间：2 025，2 025，…，2 025；
④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…；
⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……依次排成一列数：－，，－，，….
思考1　你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化．
思考2　对于①③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
提示：对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}；
对于③，an＝2 025，n∈{x|x是本班学生的学号}；
对于⑤，an＝，n∈N＋.
1．数列的概念
(1)数列：按照____________排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的____________都称为这个数列的项；数列的第1项也称为_____________________________.
(3)项数：组成数列的____________称为数列的项数．
2．数列的分类
一般地，项数________的数列称为有穷数列，项数__________的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的________．
点拨　数列中的项是有次序的，可以重复．
[答案自填] 一定次序　每一个数　首项
数的个数　有限　无限　末项
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)数列4，7，3，4的首项是4.(　　)
(2)在某数列中，若首项为3，则从第2项起，各项均不等于3.(　　)
(3)数列1，2，3，4与数列2，1，3，4为同一数列．　(　　)
(4)1，1，1，1是有穷数列．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．数列中的项可以是三角形
B．从小到大的自然数构成一个无穷数列
C．数列中的项不可能相等
D．数列1，2，3，4，…，20是有穷数列
解析：选BD．数列中的项必须是数，不能是其他形式，故A错误，B正确，C错误；数列1，2，3，4，…，20共有20项，是有穷数列，所以D正确．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)对数列相关概念的理解应把握好以下两点：
①概念中的“一列数”，即不止一个数；
②概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的．
(2)有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．　
1．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中________表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的通项．一般将整个数列简记为________．
2．通项公式：一般地，如果数列的第n项____________与____________之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的一个通项公式．
点拨　(1)数列中的项与项的序号是不同的，数列中的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项的序号是指这个数在数列中的具体位置；
(2)数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项．
[答案自填] an　{an}　an　n
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)写出下列数列的一个通项公式：
(1)0，3，8，15，24，…；
(2)1，－3，5，－7，9，…；
(3)0，，，，…；
(4)9，99，999，9 999，…；
(5)5，3，1，3，5，3，1，3，….
【解】　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1).
(3)因为5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为an＝.
(4)9＋1＝10，99＋1＝102，999＋1＝103，9 999＋1＝104，…，所以原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
(5)因为数列的周期为4，设该数列的通项公式为an＝k sin ＋b，联立
即解得
所以原数列的一个通项公式为an＝2sin ＋3.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)统一各项的结构形式，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．　
[跟踪训练1] 写出下列数列的一个通项公式：
(1)2，4，8，16，…；
(2)1，－，，－，，…；
(3)6，66，666，6 666，66 666，…；
(4)4，0，4，0，4，….
解：(1)a1＝21，a2＝4＝22，a3＝8＝23，a4＝16＝24，…，则an＝2n(n∈N＋).
(2)该数列的奇数项为正，偶数项为负，被开方次数依次递增，则an＝(－1)n＋1n.
(3)9，99，999，…的一个通项公式为bn＝10n－1；
则6，66，666，…的一个通项公式为
an＝(10n－1)＝(10n－1).
(4)方法一：因为数列的周期为2，设该数列的通项公式为an＝k cos (πn)＋b，
联立
即
解得所以4，0，4，0，4，…的一个通项公式为an＝－2cos (πn)＋2.
方法二：1，－1，1，－1，1，…的一个通项公式为bn＝(－1)n＋1，则4，0，4，0，4，…的一个通项公式为an＝(－1)n＋1×2＋2.
三　数列通项公式的应用
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知数列的通项公式为an＝n2－7n＋6.
(1)求这个数列的第4项；
(2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由．
【解】　(1)a4＝42－7×4＋6＝－6.
(2)令an＝n2－7n＋6＝150，即n2－7n－144＝0，
即(n－16)(n＋9)＝0，解得n＝16或n＝－9(舍去)，
故150是这个数列的项，是第16项．
【变式探究】
(设问变式)在本例中，条件不变．
(1)求该数列从第几项开始各项都是正数？
(2)求该数列的最小项是第几项，并求出最小项的值．
解：(1)令an＝n2－7n＋6＞0，(n－1)(n－6)＞0，解得n＜1或n＞6，
因为n为正整数，所以从第7项开始各项都为正数．
(2)由(1)知an＝n2－7n＋6＝－，因为n∈N＋，所以当n＝3或n＝4时，a3＝a4＝－6，即数列的最小项是第3项与第4项且最小项的值为－6.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求项或判断某数是否为数列的项的方法
(1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．
(2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．　
[跟踪训练2] 已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋.
(1)判断是否为该数列中的项；
(2)在区间内有无该数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
解：(1)因为an＝＝＝，令＝，得9n＝300，此方程无正整数解，故不是该数列中的项．
(2)令所以
所以所以＜n＜，
又n∈N＋，所以当且仅当n＝2时，上式成立，故区间内有该数列中的项，
且只有一项为a2＝.
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
1．下列选项表示无穷数列的是(　　)
A．△，○，□，…
B．1，2，3，4，…
C．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，……
D．11，22，33，44
解析：选B．A，C的各项不是数，故不是数列；D仅有4项，是有穷数列；B满足条件．故选B．
2．(多选)已知数列，，，，…，则下列说法正确的是(　　)
A．此数列的通项公式是
B．5是它的第17项
C．此数列的通项公式是
D．5是它的第18项
解析：选AB．依题意可得an＝，令an＝＝5，解得n＝17，所以5是它的第17项．故选AB．
3．(教材P7 T3改编)数列－1，，－，，…的一个通项公式为an＝________．
解析：观察数列－1，，－，，…可知其分母为n，其分子是－1，1交替出现，故分子可为n，所以该数列的一个通项公式为an＝.
答案：
4．(教材P7 T2改编)根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5项及第n＋1项．
(1)an＝；
(2)an＝(－1)n sin .
解：(1)依次取n＝1，2，3，4，5，代入通项公式中，得到数列的前5项分别为－，0，，，；
用n＋1代替通项公式an＝中的n，得到数列的第n＋1项是，即an＋1＝.
(2)依次取n＝1，2，3，4，5，代入通项公式中，得到数列的前5项分别为－，1，－，0，；用n＋1代替通项公式an＝(－1)n sin 中的n，得到数列的第n＋1项是(－1)n＋1·sin ，
即an＋1＝(－1)n＋1sin .
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：数列的概念与分类、数列的通项公式及简单应用．
2．须贯通：(1)要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解；(2)数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系．
3．应注意：(1)并非所有的数列都能写出它的通项公式；(2)并非所有数列的通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝