5.1.1　第2课时　课后达标检测（教师版）

eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
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1．已知an＋1－an＝11(n∈N＋)，则数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上选项都不对
解析：选A．由题意可知an＋1－an＝11>0，即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列．故选A．
2．已知an＝－n2＋25n(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是(　　)
A．a12 B．a13
C．a12或a13 D．a10或a11
解析：选C．an是关于n的二次函数，其图象的对称轴为直线x＝.因为n∈N＋，所以a12或a13是数列{an}的最大项．故选C．
3．已知函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 025＝(　　)
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：选D．根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 025＝x3＝5.故选D．
4．已知数列的通项公式为an＝n2＋kn，则“k>－3”是“为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
解析：选D．数列的通项公式为an＝n2＋kn，若为递增数列，则an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)＝2n＋1＋k>0对于任意n∈N＋恒成立，即k>－2n－1对于任意n∈N＋恒成立，故k>(－2n－1)max＝－3，则“k>－3”是“为递增数列”的充要条件．故选D．
5．已知函数f(x)＝x＋，设an＝f(n)，则下列说法中错误的是(　　)
A．是无穷数列 B．是递增数列
C．不是常数列 D．中有最大项
解析：选D．对于A ，显然是无穷数列，故A正确；对于B，因为an＋1－an＝n＋1＋－n－＝1－>0，即an＋1>an，即是递增数列，故B正确；对于C，因为a1＝2，a2＝2＋＝，a1≠a2，故不是常数列，故C正确；对于D，由B知，是递增数列，当n趋近于正无穷大时，an＝n＋也趋近于正无穷大，所以中无最大项，故D错误．故选D．
6．(多选)如果数列为递增数列，则的通项公式可以为(　　)
A．an＝ B．an＝2n－1
C．an＝2n2－5n D．an＝2n－1
解析：选BCD．对于A，可知a1＝2，a2＝1，故不是递增数列，故A不符合；对于B，an＋1－an＝2n＋1－＝2>0，故是递增数列，故B符合；对于C，an＋1－an＝22－5－＝4n－3>0，故是递增数列，故C符合；对于D，an＋1－an＝2n＋1－1－＝2n>0，故是递增数列，故D符合．故选BCD．
7．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝________．
解析：符合条件的数列有：，，，….
答案：(答案不唯一)
8．若数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则这个数列中的最大项是第________项．
解析：an＝ ＝ ，
因为n＋≥2＝28，
当且仅当n＝14时，n＋有最小值28，
所以当n＝14时，取得最大值.
答案：14
9．已知函数f(x)＝x2，定义数列{an}如下：an＋1＝f(an)，若给定a1的值，得到无穷数列{an}，且满足对任意的正整数n，均有an＋1＞an，则a1的取值范围是________．
解析：由题意，知an＋1＝f(an)＞0，即数列{an}从第二项开始各项均为正数．因为an＋1＞an，所以a＞an，当n＝2时，a＞a2，解得a2＞1，
所以a2＝a＞1，解得a1＜－1或a1＞1.
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
10．已知数列的通项公式是an＝，判断该数列是递增数列还是递减数列，并求出这个数列的最小项．
解：令2n－7≥0，则n≥，故当n<时，2n－7<0，所以an＝故该数列既不是递增数列也不是递减数列，
又a1>a2>a3＝a4＝1故数列的最小项为第3，4项，即a3＝a4＝1.
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11．已知数列是递增数列，且an＝则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．因为数列是递增数列，
且an＝
所以
解得12．(多选)费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…).若bn＝，则(　　)
A．数列的最大项为b1
B．数列的最大项为b6
C．数列的最小项为b1
D．数列的最小项为b5
解析：选BD．bn＝＝，令f(n)＝2n－36，因为函数f＝2n－36单调递增，且当n≤5时，bn<0，当n≥6时，bn>0，所以数列的最大项为b6，数列的最小项为b5.故选BD．
13．已知函数f(x)＝数列满足an＝f(n)，n∈N＋，若an≥a3，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≤a时，函数f(x)单调递减，当x>a时，函数f(x)单调递增．因为数列满足an＝f(n)，n∈N＋，若an≥a3，则a3是数列的最小项，所以3≤a<4，故实数a的取值范围是[3，4).　
答案： [3，4)
14．在数列中，已知an＝，且a2＝，a3＝.
(1)求通项公式an；
(2)求证：是递增数列．
解：(1)由an＝，且a2＝，a3＝可得
解得
所以数列的通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)证明：an＋1－an＝－
＝
＝>0，
即an＋1>an，
故是递增数列．
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15．若数列不是递增数列，但数列是递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．当an＝2－2n时，是递减数列，＝因为－＝4－6<0，当n≥2时，|an|＝2n－2单调递增，所以是递增数列，
所以是T数列，故A错误；
当an＝n时，易知不是递增数列，因为＝4n，所以是递增数列，所以是T数列，故B错误；
因为＝，所以是递减数列，因为＝≥0，且是递增数列，所以是T数列，故C错误；
当an＝时，an>0，a1＝1>a2＝，所以不是递增数列，所以不是T数列，故D正确．故选D．
16．已知数列，的通项公式分别为an＝2n，bn＝2n－1；若λ>0，求对所有的正整数n都有2λ2－kλ＋2>成立的实数k的取值范围．
解：由已知得＝2－2n·，
所以－＝2－2n－2·－2－2n·＝2－2n－2<0，
所以数列为递减数列，
所以≤＝，即的最大值为，因为对所有的正整数n都有2λ2－kλ＋2>成立，
所以2λ2－kλ＋2>，由λ>0可得k<2λ＋，
所以k<2λ＋(λ>0)恒成立，只需满足k<即可，
又y＝2λ＋≥2＝，
当且仅当2λ＝，即λ＝时等号成立，
所以＝，故k<，所以实数k的取值范围为.