5.1.2　课后达标检测（教师版）

eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．数列1，，，，，…的递推关系可以是(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＋1＝an
D．an＋1＝2an
解析：选C．数列第一项是1，A，B是通项公式的形式，故A，B错误；观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，所以递推关系为an＋1＝an，故C正确，D错误．故选C．
2．已知数列满足an＋1＝1－，a1＝－1，则(　　)
A．a1C．a2解析：选B．当n＝1时，a2＝1－＝2，当n＝2时，a3＝1－＝，当n＝3时，a4＝1－＝－1.故选B．
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a5＝(　　)
A．－11 B．9
C．11 D．25
解析：选B．因为Sn＝n2，所以a5＝S5－S4＝25－16＝9.故选B．
4．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝，则a10＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．因为an＋1＝，则＝＝＋n，所以－＝1，－＝2，…，－＝9，以上各式相加可得，－＝1＋2＋3＋…＋9＝45，所以a10＝.故选B．
5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋1＝an＋an＋2，则a985＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选A．由题知an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝an＋1－an－an＋1＝－an，an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an，所以数列{an}具有周期性，且周期T＝6，因为985＝6×164＋1，则a985＝a1＝1.故选A．
6．(多选)已知Sn为数列的前n项和，且对任意的n∈N＋，an＋an＋1＝2n＋1，下列说法正确的是(　　)
A．S2＝3 B．a1＝1
C．S8＝36 D．an＝n
解析：选AC．数列中，对任意的n∈N＋，an＋an＋1＝2n＋1，S2＝a1＋a2＝2×1＋1＝3，S8＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋(a7＋a8)＝3＋7＋11＋15＝36，A，C正确；由a1＋a2＝3，知a1的值无法确定，则{an}的通项公式也无法确定，B，D错误．故选AC．
7．已知数列{an}满足an＋2＝，且a1＝，则a9＝________．
解析：由an＋2＝，得an＋4＝＝＝＝an，则a9＝a5＝a1＝.
答案：
8．已知在数列{an}中，n(an＋1－an)＝an(n∈N＋)，且a3＝π，则an＝________．
解析：由题意可知，＝，得＝，
即得＝(n≥2)，
显然有＝2，＝，得a2＝，a1＝，
由累乘法可得××××…×＝××××…×，所以＝n，可得an＝(n≥2)，而a1＝符合上式，所以an＝(n∈N＋).
答案：(n∈N＋)
9．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，…这些数量的石子，排成一个个如图所示的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是__________．
INCLUDEPICTURE "24S-3.tif" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/24S-3.tif" \* MERGEFORMAT
解析：依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列{an}，则a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a11－a10＝11，上式相加得a11－a1＝2＋3＋…＋11，则第11个三角形数是a11＝66.
答案：66
10．已知在数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an＋ln ，求数列{an}的通项公式．
解：由题设an＋1－an＝ln ，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋2＝2＋ln n且n≥2，显然a1＝2满足上式，所以an＝2＋ln n．
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11．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N＋)个圆环所需的最少移动次数，{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个圆环所需的最少移动次数为(　　)
A．7 B．10
C．12 D．22
解析：选A．由已知可得a2＝2a1－1＝1，
a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7.
所以解下4个圆环最少需要移动7次．故选A．
12．(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝－1，则下列说法正确的是(　　)
A．{Sn}是递减数列 B．{an}是递增数列
C．an＜0 D．Sn＋an＝1
解析：选ABC．数列{an}的前n项和Sn＝－1，因为随着n的增大而不断减小，
所以{Sn}是递减数列，故A正确；
数列{an}的前n项和Sn＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－＝－，
当n＝1时，a1＝S1＝－1＝－，上式也成立，
所以an＝－，因为－随着n的增大而不断增大，所以{an}是递增数列，且an＜0，故B，C正确；所以Sn＋an＝－1－＝－1，故D错误．故选ABC．
13．已知数列{an}满足a1a2·…·an＝(n∈N＋)，则a9＝________．
解析：当n＝8时，有a1a2·…·a8＝，当n＝9时，有a1a2·…·a9＝，两式相除，可得a9＝.
答案：
14．已知数列{an}满足a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值．
解：若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，
若a1为偶数，则＝2，a1＝4.
若a3为偶数，则＝4，a3＝8.
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)，
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4，5，32.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
15．(多选)已知数列的前n项和为Sn，a2＝1，am＋n＝aman，则下列结论正确的是(　　)
A．a2 024＝1
B．a2 023＝1
C．若S2 024＝2 024，则a1＝1
D．若S2 025＝－1，则a1＝－1
解析：选ACD．数列中，a2＝1，am＋n＝aman，
令m＝n＝1，得a＝a2＝1，解得a1＝±1，
令m＝2，则an＋2＝ana2＝an，
因此a2 024＝a2＝1，a2 023＝a1＝±1，A正确，B错误；
显然a2n＝1，a2n－1＝a1，则S2 024＝1 012a1＋1 012a2＝1 012a1＋1 012＝2 024，解得a1＝1，C正确；
S2 025＝1 013a1＋1 012a2＝1 013a1＋1 012＝－1，
解得a1＝－1，D正确．故选ACD．
16．已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nSn＋1，求数列的通项公式．
解：因为Sn＝nSn＋1，显然Sn>0，所以＝，
当n≥2时，由累乘法得···…·＝××××…×，
则＝，又S1＝a1＝1，
所以Sn＝，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，
当n＝1时，a1＝1也符合，
所以an＝.